L’enseignement de la géométrie dans l’espace a toujours posé problème en France, du moins aussi loin que je me souvienne et que mes lectures me le permettent. Je me réfère donc à une période qui débute dans les années 50. L’incident que je qualifierai d’incident de la géométrie spatiale, il y a quelques années au baccalauréat en est à mon avis un révélateur flagrant. Si une notion enseignée tout au long du cursus scolaire et des connaissances en principe établies en classe de première peuvent à l’occasion d’une épreuve posée au baccalauréat, générer une réprobation aussi violente des associations de parents et des professeurs, c’est que, cette notion, ces connaissances n’ont pas fait l’objet d’un traitement semblable aux autres notions et connaissances inscrites dans le même programme national.

Une analyse détaillée des causes d’un tel traitement, allant du rejet total de l’enseignement de cette notion (souvent justifié par la lourdeur des programmes et la nécessité d’un choix qui écarte son enseignement ) jusqu’à une approche rapide dans le sens où elle interdit un réel apprentissage, n’est pas l’objet de cet article. Je vais me contenter de mettre en exergue deux des paramètres didactiques qui doivent être pris en compte pour comprendre la place curieuse de la géométrie dans l’espace dans l’enseignement français des Mathématiques : la géométrie dans l’espace qui aurait du être la géométrie de l’espace comme la géométrie euclidienne plane, ne l’a pas été car la visualisation, la « modélisation fidèle » par les figures planes n’a jamais eu son équivalent pour visualiser, analyser les objets de l’espace. La géométrie descriptive, certes permettait de ramener les problèmes spatiaux qu’elle traitait aux deux problèmes plans des deux projections de la figure sur deux plans perpendiculaires mais cette simplification formelle était en réalité une complexification de la tâche de l’apprenti qui devait faire appel à des connaissances déjà solides.

1. Le problème de la représentation des objets de l’espace est à mon avis le problème crucial :
   Je ne connais guère d’ouvrage scolaire où ses règles de représentation soient clairement explicitées. En particulier en ce qui concerne la perspective cavalière, combien d’enseignants savent que cette représentation est une projection sur un plan suivant une direction donnée (simulable par l’ombre d’un objet éclairé par une source lumineuse lointaine). J’ai même observé avec stupeur la présentation d’une première leçon de géométrie dans l’espace de l’année, en classe de seconde faite par une stagiaire IUFM de Toulouse qui a consisté en la mise en évidence des axiomes de cette géométrie mélangés aux règles de représentations en perspective cavalière. C’est d’ailleurs depuis cette date que je me suis intéressé à l’utilisation de Cabri géomètre pour réaliser des représentations en perspectives cavalières ou militaires d’objets de l’espace avec pour but de proposer un modèle plus réaliste que la feuille de papier. Cette modélisation devait avoir pour objectif de traiter les problèmes de l’espace tout en introduisant les règles d’utilisation du modèle ainsi que ses limites et inconvénients. Je me dois de dire que le professeur stagiaire dont il a été question plus haut était un professeur stagiaire sérieux, intéressé par son métier ayant une culture mathématique supérieure à la moyenne de ses camarades de promotion. Cela permet de comprendre que l’ensemble des étudiants en Mathématiques ne reçoit ni au lycée ni à l’université la culture minimum qui lui permettrait de dominer l’enseignement ultérieur de la géométrie dite dans l’espace.
2. L’appréhension dynamique des figures de l’espace :
   Le logiciel de géométrie dynamique Cabri 3D qui est un prolongement naturel de Cabri 2 et qui en est à sa version 2, a atteint une maturité qui lui permet d’être un bon modèle de représentation de l’espace : il permet de créer des objets dans l’espace réel tout en les traitant dans l’espace qu’il modélise : Cabri 3D comme Cabri 2 crée des figures, c’est à dire des objets qui conservent par déformations les propriétés qui les ont générées. On comprend que ce détail a une importance capitale d’un point de vue didactique : on sait depuis les travaux de Duval sur l’appréhension figurale, qu’une figure de géométrie a plus de chance de conduire vers la solution du problème qu’elle illustre, si elle est appréhendée de manière opérationnelle, c’est à dire en particulier si on est capable d’imaginer des déformations qui mettent en évidence des invariants, ce que la géométrie dynamique permet.
   A travers quelques exemples nous allons voir en quoi l’utilisation de Cabri 3D peut radicalement changer l’approche de l’enseignement de la géométrie de l’espace pour l’enseignant et l’enseigné, la rendre plus réaliste et passionnante en même temps mais aussi doit changer l’approche que l’institution doit en avoir dans la rédaction des programmes

1. UNE APPROCHE DU MODELE PAR LES POLYEDRES

– L’entrée dans le logiciel

L’ouverture d’une page Cabri3D se fait sur une représentation en perspective centrale d’un plan horizontal dont un rectangle est visualisé sous la forme d’un parallélogramme. Est aussi représenté un repère orthonormé de l’espace par l’intermédiaire de 3 vecteurs dont les deux premiers sont donnés dans le plan horizontal précédent que nous qualifierons de plan horizontal de référence. La manipulation fondamentale à connaître avant toute découverte ou utilisation du logiciel est celle qui utilise la fonction dite « caméra » : il s’agit par un clic droit persistant de changer le point de vue et cela est possible à tout moment même pendant la réalisation d’une construction nécessitant plusieurs clics de validation.

L’avant dernier icône donne accès au menu de création des 5 polyèdres réguliers représentés ci-dessous. Chacun d’eux a été créé par trois clics, le premier pour choisir le plan de la première face (ci-dessous nous avons choisi le plan horizontal de référence), le second pour choisir l’emplacement du centre de cette face et le troisième pour déterminer un sommet du polygone représentant cette face. Notons que Cabri 3D comme son aîné Cabri 2 est vraiment interactif (n’oublions pas que Cabri veut dire Cahier de brouillon interactif) : il dialogue avec l’utilisateur pour le guider et faire les bons choix (Cabri proposera par exemple de créer un point sur un objet dont le curseur se rapproche)

On peut noter une grande similarité de la barre d’outils de Cabri 3D représentée ci-dessous avec celle de Cabri 2 Plus. Néanmoins, il ne faut pas s’y tromper, même si les outils déroulés par les menus sont en nombre réduit (ce qui fait la spécificité ergonomique réussie de ce logiciel), ces outils sont pour une grande part différents de ceux connus dans Cabri 2 Plus.

– Exemples de traitement des polyèdres (les patrons)
Un seul clic sur chaque polyèdre permet d’en réaliser son ouverture appelée par Cabri 3D, « Patron ». Tout patron peut être ouvert ou fermé en tirant avec la souris.

Notons qu’on peut demander au logiciel d’afficher le patron plan de tout polyèdre qui sera affiché sur une nouvelle page créée sous la page de travail ; cette fonctionnalité permet un lien avec l’environnement papier crayon puisque cette page est évidemment imprimable

– Les assemblages de polyèdres réguliers
L’outil « Cube » propose aussi d’accoler un cube sur toute face carrée qu’il approche comme suit :

On peut créer des lettres par une itération de cette procédure. Cela peut constituer un excellent exercice d’approche de l’espace avec ce logiciel pour tous publics, débutants, collégiens, lycéens ou même enseignants en formation.

Dans le « HO ! » d’étonnement qui précède, certains cubes ont été masqués.
Cette même technique est disponible pour accoler des polyèdres qui peuvent l’être par des faces de même nature . En voici quelques exemples.

Ici, on a accolé des tétraèdres réguliers entre eux après en avoir accolés deux à un icosaèdre régulier.

Alors que là, on a réalisé un assemblage d’octaèdres réguliers ; notons un type de problème nouveau qui peut émerger à la suite de telles constructions :
« Est-il possible après une série de constructions de ce type que le dernier octaèdre construit ait un sommet appartenant au plan de départ ou mieux, qu’une des ses faces appartienne au plan de départ ? »

2. UNE PRATIQUE PAR DES PROBLEMES OUVERTS LUDIQUES

Il est possible d’entrer aussi dans le logiciel et dans la logique de l’espace avec ses outils adaptés, de manière ludique. Montrons par exemple comment on peut modéliser « Claude se balançant sur sa balançoire » (Claude est le fils ou la fille virtuelle de Kate Mackrell de la Queen’s University de Kingston dans l’Ontario au Canada).

La figure va mobiliser pour sa construction 14 des 57 outils disponibles dans les 10 menus de la barre d’outils. Notons au passage que chaque menu contient en moyenne moins de 6 outils, ce qui est une des caractéristiques ergonomiques de Cabri par rapport à ses concurrents. Nous allons donner le programme de construction de cette figure afin de montrer la simplicité de prise en main des outils de Cabri 3D. Cette simplicité est due à la grande analogie de cette construction avec le montage d’un objet concret qui modéliserait cette figure avec des tiges rigides, des boules et des systèmes de glissières linéaires ou circulaires.

– Programme de construction simplifié :
Construire deux droites perpendiculaires au plan horizontal de référence en A et B
Construire un plan perpendiculaire à cette première droite en l’un de ses points H
Construire le segment [HK] où K est l’intersection de ce plan avec la seconde droite construite. Ce plan est ensuite masqué.
Construire m milieu de [HK] et la verticale passant par m comme parallèle à la première droite construite
Construire une autre parallèle à cette même direction passant par un point V du segment [HK] puis son image par le demi-tour autour de la verticale passant par m
Construire le segment [VR] puis le segment [WS] comme image du segment précédent par le demi-tour déjà utilisé et enfin le segment [RS]. Les objets construits non visibles ont été masqués
Construire uns sphère symbolisant Claude avec son centre sur la verticale passant par m et passant par n qui est situé au milieu de [RS]
Construire les deux yeux de Claude comme deux points de la sphère
Construire un cercle ayant pour axe le segment [HK] et passant par le point E de la première verticale
Construire les images des segments [VR], [RS] et [RW], de la sphère représentant Claude et des deux point représentant les yeux de Claude par la rotation d’axe [HK] (Cabri dira « autour de [HK]) qui transforme le point E en le point v qu’on créera sur le cercle précédent.
Construire sur ce même cercle l’arc A₁EA₂
Redéfinir le point v sur l’arc créé.
On peut aussi cacher Claude et sa balançoire avant transformation

– Expérimentation (Claude qui se balance)
On peut obtenir le balancement réaliste de Claude en lançant une animation du point v sur son arc d’appartenance.
La figure qui suit est une figure que vous pouvez manipuler et qui a été réalisée avec le PLUG-IN de Cabri 3D qui permet d’insérer un fichier Cabri Manipulable dans un document Office (Word, Powerpoint) ou même une page HTML. Cette fonctionnalité remplace donc avantageusement la génération des applets « Cabrijava ». Notons que ces PLUG-IN sont maintenant disponibles pour traiter les fichiers Cabri 2 Plus.

Si vous ne visualisez pas la figure, vous pouvez télécharger le plugin sur le site Cabri.com
Sinon, vous pouvez également télécharger la figure pour la visualiser en local : figure

3. UNE DÉMYSTIFICATION DE LA LIAISON CONIQUES-FONCTIONS DE RÉFÉRENCE

Les fonctions carrées et inverses qu’on aborde en classe de seconde, le sont généralement d’une manière plus que classique. Le plus souvent, cela se résume à une présentation ex abrupto formelle suivie d’une vérification longue et ennuyeuse des propriétés du programme. A cette occasion les mots de parabole et d’hyperbole sont prononcés et plus tard ils seront invoqués comme des représentations des deux fonctions carrées et inverses sans qu’on en comprenne l’intérêt pédagogique. Voici une piste de modification de ces pratiques qui donne du sens à l’utilisation des nouvelles technologies tout en montrant l’intérêt des changements de cadre de présentation (cadre formel, cadre géométrique dans un environnement de géométrie dynamique de l’espace)

– Possibles sections d’une surface conique et d’un plan (coniques)

1. Découverte des ellipses et hyperboles
   
   Avec un minimum de clics, on génère la figure ci-dessus où on reconnaît le début de la construction de la balançoire de Claude qui va servir à construire le plan (MNV) qui sera un plan tournant commandé par l’animation de V le long de son cercle d’appartenance.

Après avoir créé ce plan avec deux clics (l’un sur le segment [MN] et l’autre sur le point V on peut visualiser son intersection avec le cône violet. Cette intersection est matérialisée grâce à l’outil « Courbe d’intersection » présent dans le troisième menu. On peut constater que lorsqu’on approche le curseur de cette courbe, elle est reconnue sous le nom d’ellipse.

Ici un point G est créé sur le cercle de base du cône initial afin de matérialiser la demi-droite [SG) qui est une partie d’une génératrice du cône. Ceci permet de créer le cercle passant par un point G’ de cette génératrice autour du même axe que le cône initial. Ce cercle est un autre cercle de base du même cône. Par conséquent le cône créé ici de sommet S et de cercle de base le cercle que nous venons de tracer est le même cône que le précédent, mais Cabri 3D nous en affiche une partie plus grande que l’on peut d’ailleurs étendre en tirant sur G’.

Cette construction de ce nouveau cône permet d’éviter des ennuis du genre de ceux qu’on peut observer dans la figure suivante (ce qui peut arriver quand le Professeur fait manipuler une telle figure à ses élèves).

Le logiciel représente l’intersection avec la surface conique qui est générée par le sommet et la courbe de base donnée. Le Professeur doit donc savoir que Cabri connaît la définition d’une surface conique mais qu’il a adopté une règle de représentation bien précise.

L’ennui précédent est surmonté en rajoutant sur la figure le symétrique du cône tracé par rapport au sommet. En réalité, il s’agit du même cône mais tout cela est un exercice de voltige sur les multiples représentations du même cône.

On peut en explorant les positions relatives des objets de cette figure arriver à une intersection qui est reconnue par Cabri comme étant une hyperbole dont les deux branches sont affichées même si l’une des deux parties du cône ne l’est pas.

1. Découverte des paraboles
   Notons qu’avec la construction précédente, la probabilité d’obtenir le cas de la parabole est nulle pour des raisons que j’ai développées dans ma thèse sur la démarche expérimentale dans l’environnement Cabri. Néanmoins lorsque les constructions sont les constructions qui donnent une parabole, Cabri 3D reconnaît effectivement une parabole. C’est le cas de la figure suivante où le plan de section est un plan parallèle à un plan tangent au cône.

La droite (D) est une perpendiculaire à la droite (GO) où O est le centre du cercle de base du cône dans le plan de référence. (D’) est la parallèle passant par H à la génératrice (SG) du cône. Le plan défini par (D) et (D’) est un plan qui théoriquement vérifie la condition désirée (parallèle au plan tangent au cône incluant la génératrice (SG)). La figure suivante valide bien dans l’environnement Cabri 3D cette affirmation montrant ainsi que Cabri 3D prouve dans le sens où il démontre (on lui donne des hypothèses et il propose des conclusions qui sont compatibles avec les mathématiques qu’il modélise).

1. Les autres cas (pas tout à fait tous les autres cas)
   Les figures qui suivent montrent qu’on peut obtenir les autres intersections classiques en prenant comme plan de section un plan parallèle au plan de référence ou un plan incluant le sommet.

Là Cabri reconnaît bien un cercle intersection.

Ici Cabri reconnaît une conique dégénérée en deux droites.

– Les courbes des fonctions carrées et inverses sont des coniques
On peut envisager que les figures précédentes soient abordées construites ou explorées avant d’aborder les fonctions de référence afin que les élèves aient en tête qu’une parabole ou une hyperbole peuvent être intersections de cônes et de plans (c’est ce que l’activité fait apparaître). On peut grâce aux explorations qui suivent leur montrer que les courbes de la fonction carrée et de la fonction inverse sont bien des intersection du plan qui les contient avec des cônes que nous leur ferons visualiser.

1. La fonction carrée
   On peut commencer par préparer notre expérimentation en réalisant un quadrillage succinct d’un plan vertical (celui contenant les deux derniers vecteurs du repère par défaut de Cabri). On pourra à cette occasion utiliser des translations, des symétries centrales et des demi-tours pour faire de ce travail si on le fait réaliser par les élèves, un travail où technique et mathématiques sont mêlées et s’enrichissent.

On peut constater qu’on a créé quatre des points de ce quadrillage, A, A’, B et B’ qui sont des points de la courbe de la fonction carrée. On a tracé la conique passant par ces quatre points et par l’origine qui visuellement semble être la courbe de la fonction carrée. Notons que Cabri reconnaît cette conique sous le nom de parabole.
Il est possible de valider plus sûrement que cette courbe tracée par Cabri est bien celle de la fonction carrée en utilisant les outils « Coordonnée et équations », « Calculette », « Report de mesure » pour créer un point générique de la courbe de la fonction carrée. On constate alors que ce point est bien sur la courbe tracée et qu’il y reste même quand on change son abscisse en tirant sur le point x qui le commande.

Cette validation est visualisée sur la figure précédente par l’activation de la trace de M avant de tirer sur x qui commande ce point. Ceci a pour effet de laisser la trace rouge de M sur la courbe jaune.
Il s’agit maintenant de montrer qu’il existe bien un cône de l’espace dont l’intersection avec le plan du tableau noir est bien la courbe tracée. C’est que ce que nous allons faire ci-dessous en présentant une succession d’écrans qui devraient vous faire deviner la démarche d’analyse suivie pour découvrir un tel cône.

1. La fonction inverse
   Un travail analogue peut être fait avec la fonction inverse qui est résumé avec les écrans suivants :

4. UNE EXPLORATION DES POLYɈDRES POUR RETOURNER À L’ANALYSE ET À LA TRIGONOMÉTRIE

– Sections d’un cube par un plan variable
AB étant la diagonale d’un cube, sur la demi-droite [AB) on définit le segment [AE]. On place sur ce segment le point variable V par lequel on fait passer le demi-plan perpendiculaire à cette demi-droite. On tire sur V afin que ce demi-plan coupe le cube de départ

On tronque ensuite le cube suivant le plan tracé. Nous allons étudier les variations donnant le volume du cube tronqué en fonction de la distance AV. Après avoir affiché ces deux mesures et les avoir reportées sur les deux vecteurs verts et bleus respectivement, on construit l’un des points W de la courbe représentant cette fonction.

Il suffit d’activer ensuite la trace de ce point puis de tirer sur V pour voir apparaître la trace
de la courbe.

On peut constater qu’on ne peut avoir une fonction du second degré à cause du changement de concavité. Ce type de remarques permet de comprendre que le sens de l’analyse critique qui est une des qualités à développer dans la démarche scientifique, trouve des occasions de se développer dans cet environnement de modélisation et de recherche.

– Conjectures angulaires sur les polyèdres
Il est possible comme on le voit ci-dessous de couper un dodécaèdre régulier suivant un de ses plans de symétrie, en quelques clics et sans entrer dans une enfilade interminable de menus emboîtés. On peut ensuite mesurer les angles de la face de section pour en conjecturer rapidement des valeurs approchées (certainement pas 120° comme beaucoup le conjecturent).

Arriver à ce résultat papier crayon ne pouvait être envisagé qu’au prix d’un travail lourd mobilisant des connaissances d’un niveau qui n’est ni celui de nos lycéens, ni celui de nos jeunes enseignants. Nous n’avons pas à déplorer cet état de fait mais nous devons nous féliciter que la technologie, Cabri 3D en l’occurrence nous offre les outils d’exploration et de conjecture qui permettent à tous d’aborder des problèmes mathématiquement difficiles en les traitant dans un environnement qui est l’environnement virtuel que la société offre à la génération actuelle.

Cette dernière figure montre qu’exploration n’est pas synonyme de présentation brouillonne et qu’en plus, les qualités graphiques du logiciel encouragent l’expérimentateur à prolonger ses expérimentations au delà des questions qu’on lui pose ou des questions qu’il pensait aborder.

5. CONCLUSION

Cette présentation montre que le logiciel Cabri 3D garde les mêmes orientations didactiques que Cabri 2 Plus qui en font sa spécificité par rapport aux autre logiciels de géométrie dynamique : Cabri est un logiciel « déterministe » dans la mesure où dès qu’un point commandant une figure revient à sa position de départ, la figure retrouve exactement la position qu’elle avait au départ. Néanmoins, Cabri respecte dans la mesure où ce n’est pas incompatible avec le principe précédent le principe de continuité qui permet aux déformations de ce se faire sans saut brusque, ce qui donne cette impression de dynamicité réaliste.
Cabri est orienté « Outils » : cela veut dire que pour travailler avec Cabri comme le fait n’importe quel artisan, il faut choisir l’outil avant d’aller sur les objets auxquels on veut l’appliquer. D’une certaine manière, c’est cette caractéristique qui fait sa puissance et l’intuitivité reconnue de son utilisation : ce choix explique pourquoi les menus sont si réduits si on compare aux autres logiciels : il y a moins d’outils ou d’actions à mettre dans les menus de Cabri qu’il n’y a d’objets réalisables. Dans la plupart des autres logiciels orientés « Objets », les menus sont encombrés par la quantité souvent pléthorique d’objets réalisables ce qui complique l’approche cognitive sans compter qu’il y a une obligation de connaissance de l’action à réaliser sur des objets à sélectionner avant toutes choses : l’expérimentateur n’a pas droit à l’hésitation sur les objets à traiter une fois qu’il a l’outil en main car les objets à traiter sont imposés.

Il ne reste plus qu’à essayer d’expérimenter avec Cabri 3D en ayant en arrière plan ces quelques remarques. Elles peuvent aider l’enseignant à comprendre qu’un logiciel de mathématiques, non seulement doit être sous-tendu par un modèle mathématique consistant et cohérent mais que son orientation « Outils » ou « Objets » est un choix important pour sa formation et pour l’apprentissage de ses élèves qui doit être un apprentissage des Mathématiques où la technologie doit être la plus transparente possible.