La méthode d’Euler est au programme des sections scientifiques pour approximer l’équation différentielle y’ = y.
Les manuels scolaires n’utilisent que la méthode dite explicite. Nous nous proposons d’illustrer l’intérêt d’utiliser aussi la méthode implicite.

L’article proposé ici est construit autour d’une conférence de Dominique Tournès, directeur de l’IREM de La Réunion, chercheur au CNRS en épistémologie et histoire de mathématiques.

son site : les instruments du calcul savant est d’une richesse impressionnante et contient entre autres, des vidéos d’instruments anciens.

Pour résoudre y’=y avec une condition initiale, y(0) = 1, Euler [1] propose de remplacer, localement, la courbe par sa tangente. Il trouve un nouveau point (x1,y1) approximation de (x1,f(x1)), puis recommence le procédé : la courbe est donc remplacée par une fonction affine par morceaux : c’est la méthode classique, dite explicite.

Une autre façon de procéder est de formaliser un peu plus la démarche : y’ = y s’écrit aussi dy = ydx et, en différences finies, ∆y = y∆x : c’est cette écriture qui peut être plus facilement interprétée de deux manières différentes :

En effet dans la relation y(n+1)-y(n) = y.(x(n+1)-x(n)) on peut choisir pour y soit la valeur connue y(n) soit la valeur à calculer y(n+1).

Comme on le voit ci-dessus les deux méthodes aboutissent à des calculs simples. Et pour illustrer la convergence, on peut faire un fichier dynamique sur tableur.

Dans la feuille de calcul proposée au téléchargement, on partage [0, 3] en n parties égales, n allant de 2 à 100. Voici les résultats :

pour n = 8

et pour n = 40

Ce qui donne avec le tableur pour les mêmes valeurs de n que ci-dessus :

et pour n = 40, on constate la grande précision de cette moyenne des deux méthodes

Télécharger le fichier Excel associé :