par Alain Busser, Patrice Debrabant
Ce qui devait arriver arriva : à force de mener des expériences génétiques sur des tortues mutantes, certaines d’entre elles se virent dotées d’un capital génétique différent afin d’être implantées dans des univers parallèles. Sur la planète disque de Poincaré de l’univers hyperbolique, il fait froid et toute matière subit une forte contraction, surtout vers l’horizon...
Dans la version 4.3 de CaRMetal on a implémenté des commandes de tortue dynamique hyperbolique (pour le disque de Poincaré). Ces commandes permettent de développer un regard nouveau sur la géométrie hyperbolique et facilitent la construction de pavages hyperboliques dynamiques. [1]
Parcourir le disque de Poincaré à l’aide d’une tortue dynamique est un moyen simple de se familiariser avec sa géométrie et de se l’approprier. C’est ce que l’on propose de faire ici.
Plan
I) Introduction
II) Présentation des CaRCommandes tortue de géométrie hyperbolique
III) A la découverte du disque de Poincaré
A) Géodésiques
B) Cercles
C) Polygones
D) Triangle de Sierpinski hyperbolique
IV) Construction de pavages hyperboliques
A) Pavages par des polygones réguliers
B) Pavages par des polygones ayant des angles égaux à $2\pi/2k_i$
C) Pavages par un polygone dont la somme des angles est un diviseur de l’angle plein
D) Construire le pavage par un script récursif
V) Groupes de papiers peints hyperboliques
VI) Thermodynamique du plan hyperbolique
VII) Prolongements
I) Introduction
Pour explorer le monde hyperbolique, les chercheurs ont décidé, fort prudemment, de ne pas chercher eux-mêmes, mais de laisser la tortue explorer les fins fonds de cet univers à leur place. On ne sait jamais à quoi s’attendre. La tortue joue donc le rôle d’un rover (on dit aussi « astromobile ») d’exploration du disque de Poincaré.
Une première mission du rover consiste simplement à aller tout droit. En effet, les généticiens connaissent les shadoks et s’en inspirent volontiers pour définir les protocoles expérimentaux. Voici un extrait du compte-rendu de cette expérience :
- Houston ici Rover ;
- Roger, Rover. Vous êtes où ?
- J’ai atterri sur le disque.
- Très bien. Vous avez le feu vert, Rover. Avancez tout droit !
- Vers où ?
- Vous voyez quelque chose d’intéressant ?
- Non. C’est pareil dans toutes les directions.
- Ah bon ?! C’est bizarre, pourtant on vous a pas envoyé au centre du disque.
- Pour moi, c’est pareil dans toutes les directions.
- Dans ce cas choisissez une direction et avancez tout droit à vitesse constante.
- Jusqu’où ?
- Jusqu’à la fin du disque. Vous vous arrêtez au bout. Faites gaffe de pas dépasser et de rester sur le disque !
- Roger, Houston. J’avance.
- Rover ici Houston. Nous avons un problème, votre trajectoire s’incurve vers la droite. Vous parcourez un arc de cercle !
- Non, mon compas de bord indique que je vais tout droit, pas à droite. Droit. Par contre la météo a changé, il fait de plus en plus froid, on se les gèle !
- Rover ici Houston, je vous entends mal. Droit ou froid ? Revenez à la base !
- ...
- Rover, m’entendez-vous ?
- ...
On ne sait ce qu’est devenue cette première tortue expédiée dans le disque de Poincaré. D’après le professeur Raymond-Seymour Poinpertaré (un medium), la tortue serait encore en train d’aller tout droit à vitesse constante (!), et elle aurait de plus en plus froid.
La tortue de CaRMetal n’est pas la première tortue hyperbolique. Il existe en particulier une tortue hyperbolique dans GéoTortue, qui est un logiciel tortue souvent utilisé.
Mais dans tous ces logiciels la tortue hyperbolique n’est pas dynamique, par conséquent elle ne permet pas réellement d’explorer l’espace hyperbolique.
En pratique, les ressources actuelles dédiées à la tortue hyperbolique sont très rares. Celles de GéoTortue sont difficiles à trouver [2]. On peut dénicher sur le site officiel ce script :
Comme annoncé, ce script permet de construire un triangle rectangle isocèle dans les différents modèles implémentés, y compris donc en géométrie hyperbolique dans le disque de Poincaré.
C’est intéressant, certes, mais cela n’éclaire pas du tout les différences qui existent entre la géométrie euclidienne et la géométrie hyperbolique (et pour cause : c’est un script de « géométrie absolue », autrement dit un script valable dans « toutes » les géométries, y compris non euclidiennes).
En quoi est-ce différent quand on chevauche une tortue hyperbolique dynamique ?
L’article a pour mission de répondre à cette question.
II) Présentation des CaRCommandes tortue de géométrie hyperbolique de CaRMetal
Les CaRCommandes de géométrie hyperbolique de CaRMetal sont dynamiques (autrement dit créent des objets dynamiques).
III) A la découverte du disque de Poincaré
A) Géodésiques
Au coeur de l’implémention proposée par CaRMetal, le disque de Poincaré $\mathbf{D}$ est le disque ouvert centré en l’origine et de rayon 1.
Dans le cadre d’une approche exploratrice avec CaRMetal, on peut commencer par créer un point et deux curseurs : un pour fixer l’orientation et un autre pour la longueur du déplacement (cette longueur étant la longueur hyperbolique dans le disque de Poincaré, autrement dit la longueur subjective d’un être qui serait plongé dans le disque).
On crée une nouvelle figure dans le disque de Poincaré (menu Fichier), le point A et les deux curseurs.
Puis on exécute ce script tortue :
On obtient cette figure dynamique :
On voit que les « segments » sont des arcs de cercle dont le cercle support est perpendiculaire au cercle de rayon 1 (appelé cercle horizon).
Les droites (ou géodésiques, autrement dit les courbes qui réalisent le plus court chemin entre deux points) sont des arcs de cercle privés des extrémités, celles-ci étant sur le cercle horizon.
Avec cette distance hyperbolique il serait de bon ton que
AvancerDP(a)
AvancerDP(b)
ait le même effet que AvancerDP(a+b)
On peut vérifier expérimentalement que c’est bien le cas, et même le démontrer...
B) Cercles
Houston : - Tracez 20 rayons d’une roue de bicyclette. Qu’on voit si vous êtes capable de tracer un cercle.
Rover : - Evidemment que je sais tracer un cercle ! J’y peux rien si vous n’êtes pas fichus de voir ce qu’il faut !
Houston : - On vous regarde, soyez précis, faites un effort.
Rover : - F U !
Houston : - Roger !
Rover : - Voilà, j’ai fini. Vous voyez un cercle ?
Houston : - Oui. C’est un cercle parfait.
Rover : - Vous voyez que j’y arrive, bande de cons !
Houston : - Rover, we have a problem...
Rover : - Quoi encore ?!
Houston : - Le centre du cercle n’est pas au centre du cercle.
Rover : - Quoi !?!... La roue de bicyclette est déformée ?
Houston : - Non. La roue est très bien. C’est les rayons.
Rover : - Ben quoi les rayons ?...
Houston : - Ils n’ont pas la même longueur. Et ils sont pas droits.
Rover : - Hein !?! Nan, mais allo Houston... Faut arrêter de picoler !
On peut maintenant essayer de tracer un cercle, défini comme l’ensemble des points situés à une distance donnée d’un point donné. Pour mieux appréhender la situation, on matérialise des rayons du cercle.
Pour tracer uniquement quelques rayons du cercle, on a un script très simple :
Ce script produit cette figure dynamique :
Pour construire le cercle hyperbolique lui-même (une approximation polygonale de ce cercle), le script est plus compliqué. On peut le faire en utilisant une liste des sommets.
Il produit la figure dynamique suivante :
On obtient un cercle euclidien, mais dont le centre euclidien ne coïncide pas avec le centre hyperbolique.
Un autre façon d’appréhender un cercle consiste à l’appréhender en géométrie de la tortue comme une courbe à courbure constante.
L’algorithme :
répéter 360 fois
Avancer(0.01)
TournerGauche(1°)
en donne une bonne approximation.
CaRMetal donne la possibilité de tracer la courbe euclidienne et la courbe hyperbolique sur la même figure.
Le dynamisme par rapport à A permet d’observer une relation étonnante entre le rayon des deux cercles :
C) Polygones
On va maintenant s’intéresser aux polygones, et à leur construction par script.
Il y a trois points libres A, B, C. Il s’agit simplement de les relier (par un script tortue qui ne fera pas mieux ici que l’outil segment hyperbolique, mais on peut considérer que c’est un échauffement).
Le script suivant fait nécessairement l’affaire :
On obtient cette figure dynamique :
Houston : - Parcourez un triangle.
Rover : - Roger !
Houston : - C’est pas un triangle, c’est le string de Nabila. Arrêtez de déconner !
Rover : - Je vous dit que je vise l’objectif et que je vais tout droit, bande de trous du cul !
On voit que les triangles sont du type « fin », autrement dit qu’il ont de petits angles dont la somme est inférieure à 180°.
On voit aussi que cette somme n’est pas constante.
A l’aide des outils de l’interface, on peut faire afficher les angles (hyperboliques) et les distances hyperboliques.
Ce premier triangle ABC étant construit, on va maintenant chercher à construire un triangle DEF ayant les mêmes angles que ABC.
En fait, on peut conjecturer la propriété : si deux triangles ont les mêmes angles, alors ils sont isométriques !
Et on est même tenté de penser que c’est la situation naturelle sur une variété riemanienne. Paradoxalement, c’est l’espace euclidien qui apparaît excentrique ! Le monde euclidien est une anomalie riemannienne.
On poursuit avec ce script emblématique d’un carré dynamique par rapport à deux points en géométrie euclidienne.
Houston : - Décrivez un carré.
Rover : - C’est un quadrilatère qui a quatre côtés égaux et quatre angles droits
Houston : - Très drôle ! Faites un carré !
Rover : - J’aimerais bien, mais c’est pas possible ! Vous pouvez carrément vous le carrer dans le disque !
Avec Papert c’était pourtant tout simple. Le carré était la première réalisation de tout enfant euclidien en programmation Logo : Répéter 4 fois la séquence « avancer puis tourner d’un angle droit ». Là tout d’un coup ça semble ne plus fonctionner :
Insistons :
Mais c’est pas possible, n’y a-t-il pas moyen de dessiner ce carré ?
Peut-être fallait-il commencer ailleurs ?
Décidément, rien à faire, le carré ne se ferme jamais.
Quand on en a marre de voir la tortue, on la cache :
On peut voir que l’on n’arrive jamais à complètement « refermer le carré », même si l’on arrive à s’en approcher.
Une conclusion s’impose : il n’existe pas de carré en géométrie hyperbolique. C’est carrément délirant !
Ce résultat était prévisible dans la mesure où la somme des angles d’un triangle est toujours inférieure à 180°. On s’attend donc à un résultat similaire pour les rectangles (quatre angles droits).
On va maintenant s’intéresser aux polygones convexes réguliers (possédant des côtés égaux et des côtés égaux), en commençant par le triangle ou trilatère (selon que l’on fixe initialement l’angle ou la longueur).
Comme on sait que la somme des angles d’un triangle est inférieure à 180°, on utilisera un curseur entre 0 et 60° qui fixera l’angle du triangle régulier.
On peut construire un triangle régulier quel que soit l’angle a, mais cela fixe le côté c.
Réciproquement, on peut construire un triangle régulier quel que soit c, mais cela fixe a.
De plus, a et c sont « inversement proportionnels » (au sens commun du terme).
Enfin, (à aInit fixé) on arrive à construire un seul triangle présentant une symétrie de rotation (au sens euclidien et hyperbolique du terme) par rapport au centre du disque.
La situation est analogue pour le quadrilatère régulier (que l’on n’appellera pas carré) et pour les autres polygones réguliers, que l’on construira plus loin, dans le cadre de pavages.
D) Triangle de Sierpinski hyperbolique
Le script suivant permet de construire un triangle de Sierpinski euclidien :
Ce script peut être transplanté en géométrie hyperbolique.
Il produit cette figure dynamique :
IV) Construction de pavages dynamiques
Si on dispose d’un polygone d’un des types suivants, alors ce polygone pave le plan (l’argument étant valable dans le disque de Poincaré mais aussi en géométrie euclidienne !)
a) Si on a un polygone régulier dont les angles sont égaux à un diviseur de l’angle plein
En effet, on peut alors opérer récursivement une symétrie axiale (une inversion) par rapport aux côtés. Cela ne produira pas de chevauchement et créera un pavage.
La vraie question est de savoir si l’on dispose ou pas de ce polygone.
En géométrie euclidienne, seuls le triangle équilatéral, le carré et l’hexagone régulier ont des angles égaux à un diviseur de l’angle plein.
Dans le plan de Poincaré, comme on l’a vu plus haut pour le triangle, quel que soit n il existe un polygone régulier à n côtés ayant des angles égaux à un diviseurs de l’angle plein. (D’un point de vue objectif, il en existe même une infinité, mais pas d’un point de vue subjectif, les figures isométriques étant ressenties identiques).
Remarque : une symétrie centrale par rapport au milieu du côté ayant le même effet sur un polygone régulier qu’une symétrie axiale par rapport à un côté, on peut si l’on préfère opérer des symétries centrales plutôt que des symétries axiales (la raison de cette préférence est que la symétrie centrale est une isométrie directe, contrairement à la symétrie axiale, et qu’elle pourra donc être appliquée avec une méthode différente comme on le verra plus bas).
b) Si on a un polygone hyperbolique convexe dont tous les angles sont égaux à un diviseur de l’angle plat
En effet, on peut alors opérer récursivement une symétrie axiale (une inversion) par rapport aux côtés. Cela ne produira pas de chevauchement et créera un pavage.
Dans ce cas, on ne peut pas remplacer les symétries axiales par des symétries centrales (l’effet sur le polygone considéré n’étant pas le même, contrairement au a))
c) Si on a un polygone hyperbolique convexe dont la somme des angles est un diviseur de l’angle plein
En effet, on peut alors opérer récursivement une symétrie centrale par rapport aux milieux des côtés. Cela ne produira pas de chevauchement et créera un pavage.
Pour construire un pavage, la difficulté principale va être de créer le pavé (le polygone pavant).
A) Pavages par des polygones réguliers
En chaque sommet, il va y avoir un nombre entier constant p de polygones réguliers.
Donc les angles du polygone régulier seront égaux à $\dfrac{2\pi}{p}$
Cela implique une valeur du côté qu’il faut déterminer.
On peut ensuite tout masquer pour ne garder que les curseurs n et p.
Puis on ajoute un point libre B et un curseur aInit entre 0 et 360° comme précédemment.
Le script suivant construit le polygone régulier :
On va maintenant s’efforcer de construire un pavage en couleur avec des polygones remplis.
Au final, on obtient ce pavage dynamique en D et en le curseur aInit (la solution avec un deuxième point donnerait un pavage dynamique avec une meilleure « manipulation directe »).
On peut masquer n et p qui ne sont pas (ou qui ne sont plus, après que le script ait été lancé) des éléments dynamiques.
Les pavages dynamiques ci-dessous ont été obtenus de la même façon (application « à la main » de la macro).
Pour les valeurs paires de p, on peut colorier en damier (ce sera très pratique quand on construira au D) tout le pavage par un script récursif).
Remarque (voir le VI plus bas) : Dans le roman Flatland, le héros habite une maison carrée. Ses angles droits relient 4 murs. Son cousin hyperbolique qui lui aussi aime les angles droits, habite une maison pentagonale, qui rappelle un peu le ministère de la défense des USA. Cette maison comporte 5 murs, ce qui fait un mur de plus par lequel la chaleur peut s’échapper. On verra plus bas une explication thermodynamique à ce phénomène, par le mouvement brownien dans le disque de Poincaré.
B) Pavages par des polygones ayant des angles égaux à $\dfrac{2\pi}{k_i}$
La première difficulté consiste à construire une instance du polygone qui va paver.
On peut prendre l’exemple d’un quadrilatère ayant pour angles : 90°, 60°, 45° et 60° (un « genre de » cerf-volant).
On va utiliser quatre curseurs pour les $k_i$, et trois curseurs pour les longueurs des côtés (le quatrième sera déterminé automatiquement sans avoir à passer par un curseur [6]).
Pour les deux dernier curseurs pour les côtés on utilisera impérativement une expression transformée en curseur car la valeur du curseur sera fixée par un script.
L’idée, c’est de créer un script qui joue le rôle d’outil pour fixer c2 et c3.
C) Pavages par un polygone dont la somme des angles est un diviseur de l’angle plein
On crée une instance du pave comme au B), on crée le pavage comme au A) par application de symétries centrales successives.
D) Construire le pavage par un script récursif
On va traiter ici le cas A) des polygones réguliers en appliquant des symétries axiales.
Voici le script, qui utilise une procédure « main gauche » et une procédure « main droite ».
Paradoxalement, il faut éviter les positions trop précises, certaines macros fonctionnant sur des arcs de cercles mais pas des segments (cas limite).
On fait en sorte de ne pas construire deux fois le même polygone.
On obtient ces pavages :
V) Groupes de papiers peints hyperboliques
Les groupes de papiers peints hyperboliques de $\mathbb{D}$ sont les sous-groupes discrets d’isométries de $\mathbb{D}$. Les sous-groupes qui ne contiennent que des isométries qui préservent l’orientation des angles sont appelés des groupes fuchsiens.
Alors qu’il n’existe que 17 groupes de papiers peints dans le plan euclidien il en existe une infinité dans le disque de Poincaré.
Le motif du papier peint peut avoir une frontière plus ou moins simple :
Poincaré a démontré dans un article célèbre(voir ce résumé) qu’un groupe fuchsien pouvait être construit à partir d’un pavage de $\mathbf{D}$ et réciproquement. Le pavé (domaine fondamental) correspondant au motif apparaît comme un concept fondamental des groupes discrets.
On peut construire quelques papiers peints hyperboliques dans le cas simple (i) où le domaine fondamental est un polygone fini (que l’on prendra régulier).
VI) Pourquoi fait-il si froid dans le disque de Poincaré ?
On a vu plus haut que les bâtiments à angles droits étant pentagonaux, ont plus de murs par lesquels la chaleur peut se sauver (25 pourcents de plus à isoler thermiquement), mais même sans maison, la chaleur s’évade plus vide dans le disque de Poincaré que dans le plan euclidien. Pour le vérifier expérimentalement, voici une simulation de mouvement brownien, effectuée avec le logiciel GeoTortue :
Et voici les trajectoires browniennes obtenues, dans le plan euclidien et dans le plan hyperbolique : Mouvement brownien dans
le plan euclidien | le plan hyperbolique |
On constate que, si dans les deux cas, la tortue a parfois tendance à faire du sur place, c’est près de son point de départ dans le cas euclidien, mais avec éloignement dans le cas hyperbolique. Cela signifie que le mouvement brownien, qui est récurrent dans le plan euclidien, est transient dans le plan hyperbolique : Les particules, sous l’effet du mouvement brownien, tendent à s’échapper vers l’infini, contrairement au plan euclidien où elles reviennent régulièrement vers leur point de départ. Or le mouvement brownien est à l’origine du phénomène de température (A. Einstein, 1905) et ainsi, dans le plan hyperbolique, la chaleur s’échappe plus vite que dans le plan euclidien : Il fait froid, comme l’avait signalé Rover, qui, en réalité, ne disait pas « Roger » mais « Rhô, gelé » !
VII) Prolongements
A) Les articles d’Etienne Ghys sur les géométries non euclidiennes sont des références, en particulier celui-ci .
B) La géométrie hyperbolique sous l’angle de l’axiomatique de Bachman a été présentée dans ces articles d’Yves Martin sur le site de l’IREM de la Réunion :
C) Cet article de Jos Leys sur Images des maths présente des pavages et une application pratique assez inattendue. ;)