Le sujet est clair : on construit des rectangles. Alors certes, il n’en fait pas grand-chose par la suite (en tant que rectangles), mais nous devons les construire ! Une fois cela fait, il serait bien de réellement les utiliser : orientons alors l’algorithme vers un côté plus géométrique, assez proche de celui du sujet :

Saisir la borne inférieure a ;

Saisir la borne supérieure b ;

Saisir la fonction f ;

Saisir le découpage n ;

Initialisation de la variable aire à 0 ;

Pour i allant de 1 à n faire

Construction du rectangle supérieur sur l’intervalle n° i ;

aire augmente de celle du rectangle construit ;

FinPour

Afficher aire ;

Son implémentation en CaRScript (dans le module JavaScript de CaRMetal) est la suivante :

Et son exécution donne :

Cela fonctionne plutôt bien. La valeur attendue pour n = 4 est de 1,642 à 10^-3 prêt et c’est exactement ce que l’on obtient.

Fort de ce succès, testons sur une autre fonction pas trop compliquée : la fonction carré par exemple. Après exécution, on obtient :

Zut : Les rectangles sont en dessous ! En réfléchissant un peu, on s’aperçoit que cela vient du fait que cette fonction est croissante sur chaque intervalle   : l’image de est inférieure à celle de et clairement, le rectangle est de hauteur . Il nous faut donc déterminer, sur chaque intervalle de la subdivision, l’abscisse du maximum de la fonction. Cela se passe ainsi et tout ira alors pour le mieux :

L’algorithme fonctionne maintenant pour des fonctions croissantes et décroissantes dont les représentations graphiques sont dans le demi-plan des ordonnées positives.

Que se passe-t-il pour une fonction représentée dans l’autre demi-plan. Essayons avec par exemple l’opposée de la fonction carrée.

On obtient alors ceci :

Le résultat est négatif. C’est bien ce que nous donne la théorie de l’intégration, mais…. de la façon dont elle a été calculée cette valeur (somme d’aire de rectangles), ne devrait-on pas trouver une valeur positive ? Et bien non car dans CaRMetal, l’aire d’un polygone non croisé étant calculée à l’aide de déterminants, elle dépend du signe de la mesure principale de l’angle . On se rend compte alors que lors de la création du rectangle, l’ordre _p,_q,_r_,_s avait une importance. Voilà qui assure tout de même à cette méthode géométrique un bel arrière analytique…