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Sommaire > N°54 - mars 2017 > Mesure des montagnes et cratères lunaires

Mesure des montagnes et cratères lunaires
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Mis en ligne le 10 février 2017, par David Crespil

J’ai tenu dans cet article à présenter quelques méthodes permettant de mesurer la hauteur d’une montagne lunaire ou la profondeur d’un cratère lunaire.
Le logiciel Moon de P.Boeuf permet d’apprécier l’angle des rayons solaires avec le plan horizontal d’un lieu et de déterminer corrélativement la hauteur d’une montagne lunaire . La rigueur mathématique déployée pour tenir compte de la sphéricité lunaire dans la méthode de calcul de la hauteur d’une montagne lunaire par B.Morando est des plus instructives.
Différents logiciels seront mis à contribution tel le logiciel Salsaj, l’atlas virtuel de la lune ou le logiciel Coelix qui fourniront toutes sortes d’indications utiles sur le plan astronomique.
Le dossier sur le terminateur de la lune N°53 permettra au lecteur de se familiariser avec cette notion qui sera évoquée dans cet exposé lors de l’utilisation de la méthode des différences de longitude sélénographiques.
Bien sûr, nous n’avons pas oublié Galilée qui il y a 400 ans environ déterminait magistralement la hauteur des montagnes lunaires en procédant lors d’un quartier de lune.

A Bruno Morando

Le cratère Tycho

Notions de mathématiques utilisées

- le théorème de Pythagore
- la trigonométrie sphérique
- la trigonométrie plane
- angles alternes internes
- les équations du second degré
- les cosinus directeurs d’un vecteur
- projection orthogonale d’un segment sur un plan
- distance de deux points en repère orthonormé de l’espace

Notions d’astronomie utilisées

- le terminateur de la lune : lire en ligne l’article
- longitude et latitude sélénographique
- les coordonnées écliptiques
- angle de phase
- éphémérides

Les logiciels utilisés :

- Cabri 3D : n’utiliser que le navigateur Firefox ou internet explorer et télécharger le plug-in Cabri 3D.
- MOON
- Atlas virtuel de la lune
- Geogebra
- Coelix : utiliser une version gratuite de démonstration
- SalsaJ

A) Mesurer le diamètre d’un cratère de la Lune

D’après un article de Philippe. Bœuf reproduit avec l’aimable autorisation de l’auteur.

Il s’agit obtenir la taille d’un cratère lunaire à partir d’une photo dont on ne voit qu’un morceau du limbe (son pourtour).

JPEG - 29.9 ko
Schéma 1

L’astuce sera de déterminer dans un premier temps la taille de la Lune sur l’image, à partir de la forme de son limbe. Ensuite, on comparera la taille d’un cratère mesurée sur l’image avec celle de la Lune obtenue précédemment. Le rapport des deux tailles sur l’image est le même que celui existant en réalité, le diamètre lunaire étant de 3475 km, on aura celui du cratère.

Comment trouver le diamètre d’un cercle connaissant la forme de son limbe ?

Voici notre situation : seule la portion de cercle supérieure est visible. On peut y mesurer "h" et "L" sans problème, après avoir tracé une corde q quelconque sur l’image.
Si on applique le théorème de Pythagore dans le schéma ci-contre, on trouve :

GIF - 3.3 ko
Schéma 2
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Schéma 3

Par exemple, sur l’image n° 3, on mesure L = 292 pixels, h = 36 pixels

Donc R = 1202 pixels ou bien, le diamètre de la Lune sur l’image correspond à 2404 pixels (3475 km en réalité).

Quel est le diamètre d’un cratère maintenant ?

Le plus gros situé sur l’image est Aristote. Sur la première image, on estime son diamètre (le grand axe, car à cause de son inclinaison par rapport à nous, il semble elliptique) à 62 pixels.
Une simple proportionnalité nous dit que le cratère lunaire fait en réalité :

(62 x 3475) / 2404 ≈ 90 km, alors qu’un coup d’œil dans un atlas lunaire nous indique qu’il est estimé à 88 km.

B) Mesurez la hauteur d’une montagne sur la Lune avec le logiciel Moon de P. Bœufet le logiciel SalsaJ.

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Schéma 4

Voici une image du cratère Archimède (83 km de diamètre d’après les atlas, ce qui peut servir d’échelle). On peut s’en servir pour trouver la hauteur du pic, à condition de connaître la hauteur angulaire du Soleil à cet endroit lors de la prise de vue.

Utilisons le logiciel SalsaJ pour mesurer la longueur de l’ombre.

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Schéma 5
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Schéma 6

Spécifions l’échelle dans la rubrique analyse en exprimant que ce trait a pour longueur environ 84 km.

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Schéma 7

Le trait jaune entre le sommet de la montagne et l’extrémité de l’ombre mesure 10 cm.

Déterminons à présent la hauteur approximative de la montagne.

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Schéma 8

En effet, le Soleil est à une hauteur a = angle SOB, S est le sommet, B le point à la verticale du sommet, O limite de l’ombre SB=h

La hauteur de la montagne SBG est h = SO sina

Mais comment donc déterminer la hauteur du Soleil ?

On prend en même temps une image "grand champ" de la Lune, où elle sera visible en entier. Cela donnera :

JPEG - 43.2 ko
Schéma 9

Le logiciel Moon produit par Philippe.Bœuf va nous fournir la hauteur du soleil.

En voici une copie d’écran concernant la situation qui nous occupe :

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Schéma 10

Ce logiciel, très simple d’utilisation, vous permet, après avoir positionné les deux "pôles du croissant" lunaire, de placer le terminateur (en rouge), et le cercle d’égale hauteur du Soleil : celui qui passe par le cratère Archimède en jaune donne une hauteur de 10° environ.

Dans ce cas :

hauteur en km = 10 sin (10°) ≈ 1,75

On l’aura compris, il n’est pas facile de mesurer les ombres avec une grande précision mais on obtient tout de même une approximation honorable.

Important :

On veillera en allant sur propriétés à renseigner les rubriques de compatibilité : Ainsi avec Windows 8, il faut avoir le panneau suivant :

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Schéma 11

C) Méthode approchée des différences de longitudes sélénographiques

Les paragraphes 0 ; 1 ; 2 et 3 sont destinés à préparer le paragraphe 4.

0) Les coordonnées sélénographiques

Le cercle (C) est l’équateur lunaire.

Les coordonnées sélénographiques sont à la lune ce que sont les coordonnées géographiques à la terre.
Il existe un méridien origine en bleu par rapport auquel on mesure la longitude de m qui en valeur arithmétique est égale à la mesure de l’arc AM.

La longitude est affecté du signe + à l’est et - à l’Ouest d’après les conventions de l’UAI (union astronomique internationale).

La latitude est en valeur arithmétique la mesure de l’arc Mm et se trouve affectée du signe + dans l’hémisphère nord et - dans l’hémisphère sud.

Les expériences de télémétrie laser ont permis de bien définir ce système de coordonnées.

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Schéma 12

1) Justification angulaire

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Schéma 13

Ouvrir le fichier justification angulaire terminateur :

Cabri géomètre 3 - 43.3 ko

La droite (TM) en provenance du soleil est perpendiculaire au plan du terminateur et le point T appartient au terminateur.

le méridien de M est le grand cercle passant par les pôles nord et sud de la lune et par M.

On peut faire varier M sur son méridien et aussi en longitude grâce au point vert et constater que plus M est proche de l’équateur lunaire et du plan du terminateur plus la mesure de l’angle TOM se rapproche de l’angle que fait le terminateur avec le plan du méridien contenant M, c’est à dire de la différence de longitude θ entre le plan du terminateur et le point M.

Regardons ce que représente 12° de latitude sur la lune, latitude à laquelle TOM ≈ θ

Le périmètre de la lune est : 2π.1737 km ≈ 10900 km

Par une règle de trois , on trouve que 12° de latitude représente environ 360 km.

Plus nous nous éloignerons de l’équateur lunaire et moins la méthode des longitudes que nous allons exposer sera fiable, méthode qui repose sur l’ombre de la montagne lunaire.

2) Projection orthogonale d’un segment.

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Schéma 14

Posons angle TVU = α = angle des 2 plans

Théorème : ab = AB cosα

Ce théorème est vrai aussi si α désigne l’angle (AB) avec le plan de projection.

3) La colongitude du terminateur

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Schéma 15

Le terminateur est la ligne de séparation entre la partie sombre et la partie éclairée de la lune.

En vert la limite de la face visible de la lune pour un observateur terrestre.

Le demi cercle en jaune est le terminateur du soleil levant ou terminateur du matin, délimitation produite entre la nouvelle lune et la pleine lune.

Le demi cercle en rouge est le terminateur du soleil couchant ou terminateur du soir, délimitation produite entre la pleine lune et la nouvelle lune.

Définition : La colongitude est la longitude du terminateur du matin comptée de 0°à 360° dans le sens des aiguilles d’une montre pour un observateur situé au nord et regardant l’équateur céleste.

Si la colongitude est dans l’intervalle ]90° , 270°[, on observe le terminateur du soleil couchant.

Si la colongitude est dans l’intervalle [0°, 90°] ou [270°, 360°] on observe le terminateur du soleil levant.

Définition : La longitude du terminateur est la longitude d’un point de ce terminateur.

Le logiciel ATLAS VIRTUEL DE LA LUNE affiche à une certaine heure :
colongitude = 283,1° ce qui signifie que l’on observe le terminateur du soleil levant et que sa longitude est : 360°-283,1° = 76,9°

Le logiciel COELIX permet de connaître directement la longitude du terminateur du soleil levant et la longitude du terminateur du soleil couchant.

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Schéma 16

4) Le logiciel Salsaj et le logiciel atlas virtuel de la lune

Utiliser le logiciel atlas virtuel de la lune

Le point rouge désigne le cratère TYCHO

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Schéma 17

Données et photos extraits de : http://www.sciencesalecole.org/documentsSAE/astro_a_lecole/bilan1314/borgnon/Profondeur%20dun%20cratre.pdf

Utiliser le logiciel SalsaJ, ouvrir cette image de la lune obtenue sur l’atlas virtuel de la lune le 10 janvier 2014 à 12 h 49 m 58 s.

Prendre l’outil sélection rectiligne et tracer sur l’image un diamètre de la lune.

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Schéma 18
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Schéma 19

La ligne jaune correspond au diamètre de la lune.

Entrez dans « Analyse » puis « indiquer l’échelle ».

Dans la fenêtre qui va s’ouvrir, entrer la distance réelle de la Lune (3476 km) et l’unité de mesure en km et faire « Oui ». Vous pouvez désormais mesurer la longueur de l’ombre d’un cratère en km.

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Schéma 20

Après agrandissement de la zone du cratère, on trouve 25,23 km environ pour la longueur de l’ombre.

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Schéma 21

Avec le logiciel atlas virtuel de la lune , nous notons :
Longitude du cratère TYCHO = 11,2° Ouest
Longitude du terminateur = 21,7°

Les explications qui suivent ne font pas partie de l’article cité.

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Schéma 22

S est l’intersection d la ligne soleil P avec le plan horizontal de B, B étant le point de la lune que l’on étudie, ici le cratère TYCHO. 

Les angles BSP et BOT sont des angles à côtés perpendiculaires donc égaux.

Dans le c/1nous avons vu que l’angle BOT représente approximativement la différence de longitude entre le terminateur et le point étudié :
21,7°-11,2°= 10,5°

Or dans le triangle rectangle SBP, l’angle BSP représente l’angle que fait le soleil avec l’horizon et l’on a : tan BSP = BP/PS

BP est la hauteur cherchée : BP = tanBSP . PS

PS est la longueur lue sur la photo, soit 25,3 km qui est la longueur apparente et il nous faut connaître la distance réelle.

Or l’angle que fait le plan du méridien de B avec le premier méridien de la lune , celui sur lequel se fait notre vision en perspective, est par définition la longitude de B, ici la longitude du terminateur : notre vision ne perçoit que les projections orthogonales sur ce plan et cette longitude vaut 12,6° Ouest.

Appliquons alors le résultat du paragraphe C2 :

d apparente = d réel.cos(11,2°)

PS = d réel = 25,23km/cos(11,2°) soit environ 25,71 km.

La hauteur cherchée est donc tan(10,5°).25,71 ≈ 4,76 km soit 4760 m
On peut vérifier cette valeur grâce à l’Atlas qui indique 4 800 m.

Que donne le logiciel MOON ?

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Schéma 23

tan(10°).25,71 ≈ 4,53 km soit 4530 m

La différence avec le résultat exact vient de ce que l’on essaye de positionner au mieux le terminateur.
Cependant cette méthode avec le logiciel MOON donne un résultat satisfaisant.

Ne pas tenir compte du signe - pour les hauteurs et partir du terminateur avec l’arc bleu pour rejoindre le cratère. (Le logiciel présente quelques bugs non rédhibitoires ).

Attention : la méthode des différences de longitude peut donner des résultats aberrants si l’on est trop loin de l’équateur lunaire.

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Schéma 24

Nous somme à une latitude de 48° et la mesure de l’angle TOM s’écarte de 5° de la différence de longitude.

On pourra observer que si l’on déplace le petit point vert vers la droite ou la gauche (on fait ainsi varier la longitude du point M), le fait d’être proche de l’équateur lunaire n’introduit pas d’erreur notable.

D) Méthode de Galilée

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Schéma 25
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Schéma 26

source : http://images.math.cnrs.fr/Il-y-a-quatre-cents-ans-Sidereus.html

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Schéma 27

E centre de la lune, A , la base de la montagne , D le sommet de la montagne
C le point de rencontre du terminateur avec le rayon lumineux éclairant le point D. Les points E, A , D sont donc alignés.

N, la projection de C sur le terminateur qui est porté ici par l’axe nord sud de la lune puisque nous sommes à l’un des deux quartiers de la lune. L’angle Tea vaut 90°.

M et N les projetés orthogonaux de D et C sur le plan marron qui est le plan perpendiculaire à la droite terre lune passant par E.

Avec les notations du schéma précédent :

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Schéma 28

Au premier quartier, le terminateur en projection orthogonale est un segment de droite perpendiculaire à l’équateur lunaire.

Par conséquent MN mesuré sur une photo et en tenant compte de l’échelle sera égale à CD, N étant la projection orthogonale sur le terminateur qui ici est une droite.

Sur la photo, les points A et D seront confondus et nous mesurerons en réalité la longueur de l’arc AC. Or plus on s’éloigne du terminateur et moins la longueur de l’arc AC est proche de la longueur DC. Cette méthode est approximative mais néanmoins donne une idée d la hauteur de certaines montagnes lunaires.
on a : (R+AD)² =DC² +R²

R le rayon de la lune ≈ 1734 km
Galilée observe des montagnes telles que MN = 1/10 rayon lunaire =173,4 km Par exemple la montagne correspondant à la première flèche à partir du haut.

Or MN = DC donc AD = hauteur ≈ 8,6 km.

E) Méthode de l’angle de phase qui ne tient pas compte de la sphéricité du sol lunaire.

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Schéma 29

En jaune le rayon solaire.
Soit I la base de la montagne, J le sommet de la montagne : deux options vont se présenter selon que les calculs tiendront ou non compte de la sphéricité de la lune.
- on se sert du point K intersection du rayon solaire avec le plan horizontal en I
- ou bien l’on se sert du point J’ intersection du rayon solaire avec la surface de la lune.

Dans tous les cas, la longueur de l’ombre mesurée sur une photo de la montagne sera la longueur d de l’arc IJ’ mais le calcul de la hauteur de la montagne sera fonction de ce que l’on considère que d provient du point J’ou du point K.
Si c’est du point K, le calcul sera plus simple mais moins précis comme nous allons le voir.

Nous allons établir que si d désigne la longueur de l’ombre apparente (du sommet de la montagne à l’extrémité de l’ombre ) alors la hauteur de la montagne est si Ls et Li de même signe :

H = (dcosφ cos(θ-δ))/(sinϑ)

ϑ angle de phase et δ longitude arithmétique du lieu I et φ latitude du lieu I.

Si Ls et Li de signe contraire H = (dcosφ cos(θ+δ))/(sinϑ)

Ls et Li désignant les longitudes sélénographiques du lieu I et du soleil S.


Selon la convention adoptée par l’UAI, les longitudes Est sont positives, les Ouest sont négatives.

Considérons le schéma 28 suivant et les notations qui s’y rapportent :
I base de la montagne lunaire
J sommet de la montagne
K intersection du rayon lumineux passant par le sommet J avec le plan horizontal du lieu I
(P) le plan perpendiculaire en O à la droite (centre terre centre lune).

(Q) le plan de l’écliptique confondu avec le plan de l’équateur lunaire par souci de simplification
L’œil ne perçoit pas JK mais AB, A étant la projection orthogonale de K sur (P) et B étant la projection orthogonale de J sur (P).
L’angle JKI est l’angle que fait le rayon solaire avec le plan horizontal.
Appelons cet angle α.

Posons θ = angle de phase = angle terre soleil vu du centre de la lune = angle WOE

Le repère (OX, Oy,OZ) est orthonormé.

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Schéma 30

Le même schéma sans la lune

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Schéma 31

Les rayons solaires sont parallèles.
Le triangle JKI est rectangle en I

On a angle KJI = angle JOE angles alternes -internes
On a angle KJI = π/2 - α
Considérons le grand cercle de la lune supposée sphérique et pasant par I et E.
On a \s\up4(c = π/2 - α

Dans un triangle ABC sphérique rectangle en C on a :
cosc= cosb.cosa (1)

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Schéma 32

Considérons alors le triangle sphérique IFE rectangle en F :

On alors : cos(π/2 - α) = cos φ cos(ϑ - δ) d’après (1)

D’où sin α = cos φ cos(ϑ - δ) (2)

Par ailleurs l’angle que fait la droite (J’J) avec le plan (P) vaut :
π/2 - ϑ . Appliquons la propriété C2 sur la projection orthogonale d’un segment :
d=AB =KJ cos (π/2 - ϑ) = KJ sinϑ (3)

Dans le triangle plan KJ I rectangle en I on a :
cos(π/2-α) = IJ/KJ = H/KJ avec H hauteur de la montagne
sinα = H/KJ

Si bien que : H= dsinα/sinθ (4)

H = ρsinα (5)

H = (d cosφcos(ϑ-δ))/sinθ (6)

Examinons le cas particulier ou l’on est sur l’équateur lunaire. 
Dans ce cas φ = 0
La relation (2) sin α = cos φ cos(ϑ - δ) devient
sin α = cos(ϑ- δ ) soit cos(π/2 -α) = cos(ϑ- δ )
π/2 -α = ϑ- δ

d’où α = π/2-(ϑ- δ)

Selon la convention adoptée par l’UAI, les longitudes Est sont positives, les Ouest sont négatives.

Résumé :

Si l’on ne tient pas compte de la sphéricité du sol lunaire alors :

H= d sinα/sinθ (4) H=ρsinα (5) H = (d cosφcos(ϑ-δ))/sinθ (6)

F) Influence de la sphéricité du sol lunaire

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Schéma 33

Supposons que J soit le sommet le plus haut de la lune (10Km) et que le rayon passant par le sommet J de la montagne coupe le terminateur en J’(cercle en jaune) et le plan horizontal de I en K . L’angle JKI est l’angle que fait le rayon solaire avec le plan horizontal. Appelons cet angle α.

Les angles JKI et J’OJ ont des angles à côtés perpendiculaires et donc JKI = J’OJ

On a alors : cos α =R /(R+H) R rayon de la lune et H auteur de la montagne.
Comme R = 1738 km on en déduit α ≈ 6°

Calculons JJ’ : JJ’² = OJ² - OJ’² d’après le théorème de Pythagore.
D’où JJ’ ≈ 187 km

Si l’on ne tient pas compte de la sphéricité du sol lunaire alors d’après la formule (5) du résumé précédent du paragraphe E :

H=ρ sinα ≈ 187sin(6°) ≈ 19,5 donc H ≈ 19,5 km

La non prise en compte de la sphéricité lunaire peut donc entraîner une erreur considérable !

Fort de cet exemple, donnons la formule qui permet de connaître de manière précise la hauteur d’un montagne lunaire en tenant compte de la sphéricité de la lune.

Méthode tenant compte de la sphéricité de la lune

Rappel

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Schéma 34

ρ désigne la distance du point au centre du repère (centre de la Terre) ;
θ désigne la longitude, mesurée depuis l’axe des x généralement entre
–180° et 180° (-π ≤ θ ≤ π) ;

δ désigne la latitude, l’angle depuis le plan équatorial, entre
–90° et 90° (-π/2 ≤ δ ≤ π/2).

Nous admettrons que :
x = ρ cosδ cosϑ
y = ρ cosδ sinϑ
z = ρ sinδ

Nous allons à présent évaluer la hauteur de la montagne en tenant compte de la courbure de la lune.
Le rayon provenant du soleil sera cette fois -ci supposé couper en un point J’ la lune considérée comme sphérique. 

Nous ferons l’hypothèse que le plan de l’écliptique est confondu avec le plan de l’équateur lunaire et que l’origine des longitudes est le point A du schéma 32.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Libration_lunaire#/media/File:Lunar_libration_with_phase2.gif

En effet, l’inclinaison de l’équateur lunaire avec l’écliptique est de 1,534° .

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Schéma 35

Notations

Attention au changement de notation en ce qui concerne la latitude et la longitude.

A partir de maintenant :
δ désigne la longitude sélénographique
φ désigne la latitude sélénographique
Les longitudes et latitude sélénographiques sont pour la lune ce que représentent les cordonnées géographiques pour la terre.
Posons par ailleurs :
A point origine des longitudes
O centre de la lune
I base de la montagne
J sommet de la montagne
K point ou le rayon solaire coupe le plan horizontal
J’ point ou le rayon solaire coupe la lune
θ désigne l’angle de phase = angle terre lune soleil
α désigne l’angle que font les rayons solaires avec le plan horizontal = JKI


Début du calcul de Bruno Morando (1931-1995).


D’après la relation (2) du paragraphe E : sin α = cos φ cos(ϑ - δ)

Or ce que nous observons n’est pas la distance J’J mais la projection de cette distance sur le plan perpendiculaire à la ligne de visée.

(1)

car si H=0, d doit être égal à 0.

Fin du calcul de Bruno. Morando.


Si ρ désigne la distance réelle du sommet de la montagne à l’extrémité de l’ombre et d la distance apparente on a :
d = ρ sinθ

Dans ce cas la hauteur de la montagne H s’exprime en fonction de la distance réelle ρ par :

Exemple :

Au moment du premier quartier (θ = 90 °, on trouve que la longueur apparente de l’ombre est 64,22 Km et que l’angle α = 10 °)

La formule (1) donne H= 10 km

La formule (4) du paragraphe E : d = H (sinθ/sinα) donne H=11,5 km

Résumé :


Montrons comment on peut obtenir ϑ et α

Les coordonnées écliptiques

Ce système sera utilisé dans le paragraphe g.
Les éléments de référence sont :
le plan de l’écliptique et le point vernal γ
Dans ce système la direction d’un astre est définie par :
Sa longitude écliptique l
Sa latitude écliptique b
Ces deux coordonnées sont en degrés.

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Schéma 36

Appelons Ls et ls la longitude et la latitude sélénographique du soleil.

Lt et lt la longitude et la latitude sélénographique de la terre.
Li et li la longitude et la latitude sélénographique du lieu étudié.
On trouve par exemple ces données dans la tables des éphémérides physiques de la lune du logiciel COELIX pour ce qui concerne le soleil et la terre et les coordonnées sélénographiques du lieu dans le logiciel atlas virtuel de la lune.

a) Montrons que cosθ = sin(lt) sin(ls) + cos(lt) cos(ls) cos (Lt - Ls)

Schéma 37

Utilisons les formules de Gauss de la trigonométrie sphérique :

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Schéma 38

On a : cos c = cosa cosb + sina sinb cosγ

Appliquons cette relation au triangle sphérique T N S du schéma 37.

cos ϑ = cos (π /2 - lt) cos(π /2 - ls ) + sin (π /2 - lt) sin(π /2 - ls ) cos (Lt - Ls)

D’où : cosθ = sin(lt) sin(ls) + cos(lt) cos(ls) cos (Lt - Ls)

Lt et Ls sont en mesure algébriques

On peut aussi obtenir l’angle de phase par les éphémérides de la lune de l’IMCCE http://vo.imcce.fr/webservices/miriade/?forms

b) Montrons que sin α = sin( li) sin( ls) + cos( li) cos( ls) cos (Li - Ls)

On peut ne pas supposer le plan de l’écliptique confondu avec le plan de l’équateur lunaire et suivre les explications avec le schéma 37.

Nous allons considérer le triangle sphérique NSI.

angle J’JI = angle JOS

Comme le triangle J’J I est rectangle en I l’angle J’JI a pour mesure π/2 - α

donc mesure arc IS = π/2 - α

arc NI = π/2 - li

arc NS = π/2 - ls

angle sphérique INS = |Li - Ls|

Appliquons : cos c = cosa cosb +sina sinb cosγ

On a :

sin α = sin( li) sin( ls) + cos( li) cos( ls) cos (Li - Ls)

Li et Ls sont en mesures algébriques

Classeur EXEL montagnes lunaires

Le classeur EXEL montagnes lunaires suivant permet de calculer la hauteur de la montagne en tenant compte de la sphéricité de la lune.
Deux options sont proposées pour l’angle de phase selon que l’on rentre l’information donnée par les éphémérides (en marron ) ou que l’on rentre au préalable les longitudes et latitudes sélénographiques et dans ce cas la case en vert (angle de phase par calcul rad) est directement renseignée par EXCEL.

Excel - 12.3 ko
Montagnes lunaires
PNG - 67.3 ko
Schéma 41

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