En ce qui concerne les courbes fermées, la tortue trace naturellement des polygones.

La première figure qu’on fait tracer par une tortue, c’est presque toujours un carré ; en effet la recette en est très simple :

Seulement si on demande à des élèves ayant réussi à tracer un carré, de faire un triangle équilatéral (qui paraît plus simple au premier abord puisqu’il n’y a que 3 répétitions), on obtient en général ceci :

Et le dessin obtenu est un demi-hexagone, pas un triangle :

Pour dessiner un triangle, on doit donc tourner de plus que 60° ; déterminer l’angle exact qui referme le triangle est difficile même en terminale : C’est le supplémentaire de 60° et la notion d’angles supplémentaires n’est pas bien maîtrisée en terminale [2]. Le script dessinant un triangle équilatéral est donc celui-ci :

Un rectangle est plus difficile à dessiner parce qu’il ne faut boucler que 2 fois et faire plus de choses dans la boucle :

L’erreur classique apparaissant lorsqu’on essaye de dessiner avec une tortue, un triangle équilatéral, peut mener à une découverte intéressante : le flocon de Koch. Voici les étapes menant à la version fournie avec Sofus :

Tout d’abord, on peut essayer un panachage de rotations de 60° et de 120°, aboutissant à une rotation totale nulle (comme ça la tortue reste horizontale au bout du compte) :

En effet, la rotation vers la droite de 120° annule les deux rotations vers la gauche de 60° chacune :

Pour avoir une fractale, on doit penser à la récursivité : Remplacer chaque instruction « avancer » par l’ensemble des transformations. Pour cela, on définit une fonction « koch » dans laquelle se trouve le programme précédent, mais au lieu de « avancer », on met « koch » :

Remarque : on a « réduit » les blocs dans Blockly pour limiter l’extension horizontale du script.

Deux subtilités cependant :

1. la fonction « koch » possède un paramètre entier n et les appels à cette fonction se font en remplaçant n par n-1 ;
2. au début, un test est effectué pour que, si n est devenu suffisamment petit, la tortue ne fasse qu’avancer un peu : Sa mémoire de travail n’est pas infinie tout de même.

Avec la fonction ainsi définie, on peut aisément dessiner une courbe fractale :

Ce script dessine la courbe que voici (on remarque qu’il a été nécessaire de placer la tortue à gauche de l’écran pour voir la courbe en entier) :

On peut généraliser la courbe à celle de Cesaro, mais pour cela il faut idéalement passer par la géométrie dynamique. Voir dans ce numéro l’article d’Yves Martin sur DGPad, qui utilise aussi Blockly, mais sans le mode tortue.

Maintenant qu’on a une courbe fractale, il suffit de remplacer chaque côté d’un triangle équilatéral par cette courbe, pour avoir le flocon de von Koch :

Le dessin est bien celui du flocon :

Par un procédé similaire, la tortue peut tracer d’autres fractales polygonales. En particulier, la tortue peut monter aux arbres.

Pour tracer une courbe de Von Koch, la tortue a compensé les rotations à gauche par des rotations à droite. Si, en plus, on compense les avancées par des reculs, la tortue peut dessiner des structures arborescentes :

La tortue a bien dessiné sur le sable, non pas le doux visage d’Aline, mais un polygone qui ressemble à un arbre (surtout si on a mis la couleur du crayon sur du vert foncé) :

La « compensation » peut aussi consister en un petit parcours qui s’achève en revenant à la position initiale.

La tortue étant narcissique, elle a tenté de tracer sa propre carapace.

On peut comparer le script de la même fractale écrite dans le langage de GéoTortue.
Le script des procédures est le suivant :

Le code en ligne est plus facilement compréhensible que le code en blocs visuels. C’est un des problème de la programmation visuelle par blocs.
GéoTortue utilise une syntaxe particulière très proche de celle du LOGO. Pour comparaison, voici la version Python du même script (chacun sait que les serpents et les tortues s’entendent très bien) :

Et voici le code pour la tortue CaRMetal :

carapace fractale

Figure dynamique CaRMetal

Commençons par dissiper un malentendu : on parle de tortue LOGO, mais la tortue n’est pas foncièrement LOGO. Le Logo est un langage de programmation « simplifié » (mais Turing-complet). La première tortue, par choix de son auteur Seymour Papert, parlait le Logo, ce qui explique l’association des deux termes.

Un précurseur (peut-être même le précurseur) en ce domaine fut William Grey Walter qui, dans les années 1940, a mis au point des robots capables de se déplacer (par translations ou rotations combinées) et de laisser éventuellement une trace au sol. Pour protéger l’électronique de ces robots, Grey Walter les a munis de carapaces métalliques qui ont rapidement évoqué des tortues cybernétiques, ce qui a valu à ces robots le nom de tortues de Bristol. 20 ans plus tard, ce fut la création de Logo (langage), inspiré de Lisp, langage de programmation destiné aux enfants et devant leur permettre de programmer récursivement (essentiellement des chaînes de caractères). Or pour que des enfants comprennent une séquence d’instructions décrivant un algorithme, il vaut mieux éviter que l’algorithme soit numérique : Comment expliquer à un enfant qui ne connaît pas encore la division, le fonctionnement de l’algorithme d’Euclide ? Pour permettre à ses « cobayes » de programmer un micromonde non exclusivement numérique, Papert a choisi de simuler la tortue de Grey Walter, par des dessins vectoriels sur l’écran de l’ordinateur. Le succès en fut tel que non seulement tout le monde a oublié l’original de Grey Walter, mais en plus tout le monde s’imagine que « logo = tortue ». Or, du fait qu’elle est relativement facile à programmer, la tortue et son graphisme a été incorporée à d’autres langages que Logo, comme par exemple Xcas, Python ou GeoGebra ; plus récemment, celle des jeux Blockly est à elle seule une séquence pédagogique pour la classe de 5e.

En ce qui concerne la tortue elle-même, ou plutôt son environnement, certaines tortues vivent dans un environnement dans lequel on peut zoomer, et c’est un atout considérable pour ce qui va suivre.
C’est le cas de la GéoTortue et des deux tortues que l’on va construire avec CaRMetal.

Revenons maintenant aux généralités, et à ce qui fait une tortue.
En fait, cette tortue porte sur son dos le repère de Frenet (ou son équivalent dans les cas où ce repère n’est pas défini rigoureusement).
Pour mémoire, on appelle repère de Frenet en un point M régulier d’une courbe, le repère orthonormé direct formé par le point de la courbe, le vecteur tangent $\vec{T}$ et le vecteur normal $\vec{N}$.

La tortue a une vitesse de norme constante (cela paraît raisonnable pour un animal). Cela invite à utiliser l’abscisse curviligne s.
Car si on utilise s comme unité de temps, alors la vitesse a pour norme 1.
On a alors :

$\dfrac{dM}{ds}=\vec{T}\quad$ et $\quad\dfrac{d}{ds}\vec{T}=k\vec{N}\quad$ avec $\quad k=\pm \dfrac{1}{R}$ où $R$ est le rayon de courbure.

Si on souhaite construire une courbe régulière par intégration de s, à chaque étape infinitésimale, il y a deux modifications à faire :

• $dM=ds \vec{T}$

• $d\vec{T}=\dfrac{ds}{R}\vec{N}$

La première modification consiste à faire avancer le point M (dans le sens du vecteur vitesse).
La deuxième modification consiste à tourner.

Ce choix de l’abscisse curviligne est plus intéressant (ne serait-ce que pour des questions de complexité algorithmique) pour des courbes régulières que pour des polygones.
Par ailleurs, il n’est pas nécessaire de commencer par s=0 mais les équations données ci-dessous sont intrinsèques, ce qui ne détermine la courbe qu’à un déplacement près. En d’autres termes, il peut être nécessaire de téléporter et donner une orientation initiale à la tortue.

Pour bien voir ce qui se passe, on va le faire avec les outils (un peu) méconnus du logiciel CaRMetal :

Essayons par exemple de construire une chaînette, d’équation intrinsèque explicite $R=1+s^2$.

CaRMetal dispose de l’outil segment de longueur fixe qui est parfaitement adapté pour modéliser le vecteur $\vec{T}$.
On peut aussi modéliser très facilement l’abscisse curviligne en utilisant les fonctions sum et d. Le point M générant la courbe, une expression égale à sum(d(M) ;0) donne l’abscisse curviligne de M.

En pratique, il faut créer un segment u de longueur fixe 1 qui correspond à $-\vec{T}$. Ce « segment » a pour origine un point A (que l’on peut tracter) et pour extrémité un point M (le point de la courbe qui laissera une trace).
Ensuite, on crée une expression s égale à sum(d(M) ;0) pour l’abscisse curviligne de M.
Le vecteur $\vec{T}$ est tracé pour la visualisation.

Pour tracer la courbe, on active la trace de M.
On crée ensuite le script suivant :

$\vec{T}$ a pour coordonnées (-x(u),-y(u)), donc on peut prendre pour $\vec{N}$ le vecteur de coordonnées (-y(u),x(u)).
On déplace A de $dM=ds \vec{T}$ pour déplacer le point M, puis de $d\vec{T}=\dfrac{ds}{R}\vec{N}$ pour modifier le vecteur $\vec{T}$ (sans déplacer M).
En lançant le script, on obtient la chainette :

tortue-CaRMetal-chainette version simplifiée

figure dynamique CaRMetal

On peut alors séparer les deux actions dans le script :

Ligne 9, on avance. Ligne 10, on tourne.

Si on ne fait que tourner, à rayon de courbure constant, on tourne d’un angle égal à $\dfrac{\Delta s}{R}$

On va donc créer une fonction td (tourner à droite) et une fonction tg (tourner à gauche) qui pourront être utilisées dans le script :

Seulement, ces fonctions tg et td ne fonctionnent que pour une variation infinitésimale de s. On va donc les modifier pour obtenir une réelle rotation d’angle x.

Attention, ces fonctions tg et td sont en radians.

On ajoute aussi une fonction av (avancer) et une fonction re (reculer) pour disposer des deux instructions de base de la tortue :

On peut ajouter tgdeg pour disposer d’une fonction tourner en degrés.
On peut aussi modifier la fonction av pour qu’elle trace un segment (et on peut alors désactiver la trace de M).
On obtient alors une tortue CaRMetal qui comprend les instructions de base du LOGO, et qui permet de zoomer. (Remarque : on créera plus loin une autre tortue, plus originale, avec CaRMetal.)

tortue CaRMetal 01 - polygone

figure dynamique CaRMetal

Et par exemple le script suivant trace un polygone régulier à 10 côtés :

Et on pourrait utiliser l’abscisse curviligne.

Le cercle est un premier exemple de courbe lisse que l’on peut tracer avec la tortue.

Une fois qu’on sait dessiner des polygones réguliers, on peut dessiner un cercle très probant, sous la forme d’un polygone régulier ayant 360 côtés, pour lequel on tourne d’un degré à chaque fois :

On peut définir le cercle par ce tracé et faire une rosace formée de 6 cercles :

Voici la rosace obtenue :

Exercice de géométrie : De combien de pixels la tortue doit-elle avancer à chacun des 360 pas pour que le cercle ait un rayon donné (par exemple 160 pixels) ?

C’est un exercice de trigonométrie en fait : Décomposer le polygone en 360 triangles isocèles et faire de la trigonométrie sur l’un d’eux.

Dans le cas du cercle, la courbure est constante. Généralisons un peu.

Il faut gérer une abscisse curviligne s. Le principe est de choisir un pas ds et de tracer la courbe.
La courbe peut être affinée en diminuant le pas et (pour l’instant) en relançant le tracé.

Avec la tortue CaRMetal donnée plus haut, s est gérée par une expression et on peut zoomer. La base de script est la suivante :

Et voici le fichier CaRMetal :

tortue CaRMetal 01 - chainette

figure dynamique CaRMetal

Pour la tortue de Sofus, on gère s à l’aide d’une variable.
Et on n’a pas la possibilité de zoomer dynamiquement.
Pour obtenir un effet de zoom, mais statique, on peut définir un grossissement k. k s’applique au déplacement (fonction av) mais ni à la modification de dM ni à celle de s.
Dans le langage de CaRMetal, on obtiendrait un script de ce type :

Remarques :
ce script est fonctionnel avec CaRMetal.
k est beaucoup plus petit pour CaRMetal que pour Sofus (dont l’échelle est en pixels).

Pour la chaînette avec Sofus, le script est le suivant :

On a ajouté un petit complément de conversion à la fonction tourner à droite pour tourner en radians.
On obtient la courbe suivante :

Les mouvements dans l’eau étant plus fluides, on peut considérer que la tortue soumise à la géométrie différentielle, qui trace des courbes lisses, est une tortue marine alors que celle qui trace des polygones est une tortue terrestre.

On va maintenant créer une tortue du troisième type : une tortue dynamique d’exploration.

« Bouh, encore une tortue ! », vous allez me dire....
Oui, mais cette tortue est maousse costaud.

En fait, il s’agit d’une tortue toute simple, mais dynamique.
Elle ne va pas spécialement vite, mais elle a de l’estomac, et peut, telle la baleine de Jonas, avaler des paramètres vivants.
On la crée avec CaRMetal, qui permet ce genre de prodige.

L’objectif est d’explorer une équation intrinsèque explicite avec des paramètres qui seront dynamiques.

Prenons par exemple l’équation $R=\dfrac{s+a}{s}$

a est un paramètre.

Voici le script de cette tortue :

a est une expression.
ds est également une expression.
(En pratique, ce sont des curseurs).

Remarque : on utilise rcos et rsin pour travailler avec des angles en radians.

On crée les curseurs ds et a.
On crée un point M.

On obtient alors une courbe (approchée) dynamique en ds et a.
Et voici ce que l’on peut observer :

Augmenter ds revient à aller dans le futur.

Pour a = 0, on a un rayon de courbure constant, la courbe est un cercle de rayon 1.
sinon, a diminue progressivement et tend vers 1 : on a un cercle asymptote.

tortue-dynamique-cercle

figure dynamique CaRMetal

Prenons un autre exemple où R est un polynôme de s : $R=s^3-2s^2+a$

Cette fois, on a dans le script :

La courbe de la fonction R(s) est :

On obtient l’évolution suivante en fonction de a :

A mesure que R s’approche de 0, la courbe boucle sur elle-même plusieurs fois. On obtient différents niveaux de boucles.

Voyons ce qui se passe pour certaines équations intrinsèques simples :

$R=\dfrac{1}{s}$

$R=\dfrac{1}{abs(s)}$

$R=\dfrac{1}{s^2}$

$R=\dfrac{1}{cos^2(s)}$

$R=\dfrac{1}{cos(s)}$

$R=1+abs(s)$

On va prendre s variant entre -∞ et +∞.

Pour $R=\dfrac{1}{s}$, autrement dit quand l’angle de rotation est proportionnel à s, on obtient ce script :

La courbe obtenue est alors une spirale de Cornu (ou clothoïde) :

Cette courbe possède un centre de symétrie (pour s=0). On peut avoir une variante avec un axe de symétrie en prenant la valeur absolue de s au lieu de s :

Le résultat n’est guère surprenant :

Une variante consisterait à prendre le carré de s plutôt que sa valeur absolue.
Juste pour le plaisir, commençons par faire les choses naïvement, en prenant un pas de 1 et en tournant en degrés. On obtient de charmantes arabesques

Le script ayant engendré cette figure est celui-ci :

Seulement, il y a un hic : cette figure est totalement fantaisiste, on devrait obtenir une figure semblable à celle obtenue pour $R=abs(s)$.

De fait, le script suivant :

donne la figure réelle :

Poursuivons avec deux autres exemples, avec des fonctions trigonométriques, ce qui permet d’avoir des courbes fermées. C’est un avant-goût de ce que l’on fera plus loin avec la tortue dynamique de CaRMetal :

1) Une sorte d’ovale (non ce n’est pas une ellipse, celle-ci est nettement plus compliquée, voir aussi plus bas) :

$R=\dfrac{1}{2.cos^2(s)}$

On pourrait penser que le paramètre 2 devant le $cos^2(s)$ est arbitraire.
Faisons appel à la tortue ninja de CaRMetal pour voir ce qu’il en est vraiment.

On étudie la famille de courbes : $R=\dfrac{1}{a.cos^2(s)}$ et on se limite aux courbes fermées.

Pour des petites valeurs de a, et des valeurs qui tombent pile, on peut obtenir un polygone aux coins arrondis...

Toujours avec les valeurs qui tombent pile, pour a plus grand, on obtient des fleurs.

Puis on obtient des polygones qui ont des coins en forme de boucles

Des valeurs de a qui ne tombent pas pile donnent aussi des specimens intéressants :

2) un huit (pas une lemniscate non plus) :

$R=\dfrac{1}{2,405.cos(s)}$

Là encore, on peut se demander si la valeur 2,405 peut être remplacée par une autre.
L’étude de la famille de courbes $R=\dfrac{1}{a.cos(s)}$ montre que non.

Mais tout ça n’est pas raisonnable du point de vue de la thermodynamique : Plus la tortue avance, moins il lui reste d’énergie et tourner de plus en plus accélérera sa fatigue. Au contraire, la tortue devrait, pour s grand, tourner de moins en moins, et la fonction exprimant la courbure en fonction de s devrait tendre vers 0 à l’infini. Pour avoir de telles courbes plutôt simples, on peut prendre l’inverse de fonctions comme 1+s² (chaînette), par exemple l’inverse de 1+abs(s) :

On pourrait penser que la courbe obtenue va ressembler à une chaînette et à une parabole. Mais il n’en est rien :

On va s’intéresser aux courbes $R=a+cos(s)$ pour a>1, et en particulier à celles qui sont fermées (et qui sont obtenues pour des valeurs discrètes de a).

On va diminuer progressivement le paramètre a et observer l’allure de la courbe.

Remarque : on se limite ici aux courbes fermées, et, attention, les différentes courbes présentées ont des échelles différentes.

On voit bien l’effet du rayon de courbure.
A mesure que a diminue, la partie centrale rétrécit : un peu au delà de a = 5/3, on voit que l’on arrive à une frontière, et qu’il va y avoir une « inversion »...

A la frontière, les courbes sont particulièrement esthétiques : le tortue nous fait des fleurs.

On voit que l’évolution se fait maintenant en sens inverse : la partie centrale s’élargit... jusqu’à...

Pour $a=\sqrt{2}$, la courbe s’ouvre ! On obtient en quelque sorte une courbe fermée avec un rayon infini.
Puis la courbe se referme à nouveau avec une inversion.

Progressivement, le mouvement de la grande boucle s’affirme.
A partir de a = 1.2, on a fait un demi-tour donc il y aura chevauchement des grandes boucles.

Pour a=1.6619 on obtient une bitoïde d’ordre 3.
Une zone centrale apparaît comme précédemment et va en rétrécissant.

Pour a= 1.15175 une bitoïde d’ordre 4 annonce l’inversion.

On observe la même évolution que précédemment, à ceci près que les petites boucles contiennent elles-mêmes une petite boucle (un ocelet).

L’évolution devient présivisible : ouverture de la grande boucle, inversion, etc

Vraiment, cette tortue nous fait des fleurs.

Comme on vient de le voir, la tortue est capable de tracer des courbes qui impressionnent les observateurs dans le repère fixe.
Mais peut-elle aussi tracer des courbes plus banales pour les cartésiens, à savoir les courbes paramétrées ?

La réponse est oui.
Pour exemple, on va tracer une ellipse.

L’équation paramétrique est

$x=a cos(t)$
$y=b sin(t)$

On définit $c=\sqrt{a^2-b^2}$ la demi-distance focale, et $e=\dfrac{c}{a}$ l’excentricité.

Pour l’abscisse curviligne, on obtient $ds=a\sqrt{1-e^2cos^2(t)} dt$

et pour rayon de courbure : $R=\dfrac{a^2}{b}(1-e^2cos^2(t))^{\frac{3}{2}}$

On peut alors utiliser ces formules pour tracer l’ellipse.

Pour la tortue CaRMetal, le script (version trace de M) est le suivant

On obtient l’ellipse avec une précision suffisante :

Si on veut construire le script en programmation visuelle par blocs, c’est plus pénible. Il faut se fader les opérations...

La possibilité d’utiliser plusieurs tortues, et surtout l’instruction« viser une tortue », apportent de nouvelles capacités créatrices aux tortues, en particulier celle de tracer des courbes de poursuite.

Avec deux tortues, on peut tracer des courbes de poursuite, comme par exemple la courbe du chien : La première tortue est le maître, qui va tout droit à vitesse constante, et la seconde tortue est le chien (!) qui suit son maître. Pour mieux les distinguer, on donne à la tortue-chien un stylo rouge et on la déplace vers le haut avant de démarrer la course :

Pour le tracé, on simule du calcul parallèle : Alors que la tortue 1 ne fait qu’avancer, la tortue 2, en plus, se tourne vers la tortue 1 :

Voici le tracé obtenu :

Pour aller plus loin, on peut aller moins loin (ne pas sortir de l’écran), et faire parcourir à la première tortue, un carré. On peut dessiner un carré en avançant d’un seul pixel à la fois :

La courbe de poursuite devient vite cyclique, ayant alors la forme d’un carré arrondi :

Avec plus que 2 tortues, on a un essaim, ce qui permet d’aborder le problème des souris (ou des mouches, on a le choix...). Par exemple, on dispose 4 tortues aux sommets d’un carré, et ensuite chaque tortue se dirige vers la suivante. Le plus long, une fois qu’on a créé les 4 tortues, c’est de les personnaliser (leur donner à chacune sa couleur et ses coordonnées initiales). La création des tortues se fait dans une boucle :

Les deux tortues suivantes sont respectivement rouge et verte :

et la dernière est mauve :

Le script lui-même est nettement plus court : On boucle sur ceci :

La figure obtenue est symétrique, formée de 4 courbes :