Remarque :
Dans cet article, l’auteur « fait pousser » des fleurs (celui qui « pousse », c’est un segment).
Par coïncidence (ou communion d’intérêt), un autre article du même numéro entreprend de les effeuiller. On pourrait croire son auteur plus romantique, n’était le fait qu’il s’attache en fait à calculer la probabilité de tomber sur le bon pétale pour arriver à ses fins.

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Introduction :

Cet article fait suite à l’article Exégèse de CaRMetal qui présente le fonctionnement du segment de longueur fixe et son application possible pour construire des tractoires.
On va s’intéresser ici aux tractoires à base circulaire (multi-tours) aussi appelés tractoires de cercle.

La tractoire de cercle pour R supérieur ou égal à AB

On commence par se placer dans le cas où R est supérieur à AB.
Le point A, qui se déplace sur un cercle, reste alors tracteur, et la chaîne tendue (du moins pour certaines positions initiales de B, comme on le verra plus loin).

On reprend la figure précédente :

• Un point A(0 ;0) non fixe.
• Un point B(0 ;4) non fixe.
• Un segment de longueur fixe d’extrémités A et B.

On va d’abord prendre pour base un cercle de rayon 5.
Pour visualiser cette base, on trace (en bleu) le cercle de centre (0,-5) et de rayon 5.

Il ne reste plus qu’à modifier légèrement le script :

Compte tenu de la position du cercle de base, on a adapté les formules de trigonométrie pour traduire la rotation d’angle a (on tourne dans le sens trigonométrique).
Comme on souhaite étudier l’influence du rayon de la base sur la tractoire, on a fait de ce rayon une variable JavaScript.

Le script permet de construire une tractoire à base circulaire classique, mais aussi une tractoire multi-tours : il suffit de relancer le script autant de fois que l’on souhaite de tours (ou de modifier la condition d’arrêt  $a < 2 \pi$  en  $a < 2n\pi$).

De plus, le point B initial peut être déplacé dynamiquement comme on l’a remarqué précédemment.
On peut donc explorer facilement tous les cas et faire des conjectures.
Et on obtient alors des courbes plus inattendues suivant la positon initiale de B :

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On observe que la courbe peut avoir un point de rebroussement (et alors il y a une portion de la courbe où le point A n’est plus tracteur… Cette difficulté est laissé en suspens pour l’instant, elle sera expliquée dans la partie suivante pour plus de clarté).

Terminons avec R = 4,1.
Voici le film de la construction (pour AB=4 et R=4,1) :

Et la figure finale après plusieurs tours :

La courbe peut avoir un point de rebroussement si avec la position initiale de [AB] on commence par une « repoussée » [1].
Mais quoi qu’il en soit la tractoire multi-tours semble toujours converger vers un cercle asymptote de même centre que celui de la base.
De plus, un petit schéma permet de se convaincre que :

Soit $AB =a$, $R$ le rayon de la base, et $r$ le rayon du cercle asymptote.

On a alors la relation :    $a^2+r^2=R^2$ .

Cette relation est confirmée par l’exploration réalisée avec CaRMetal. On peut donc énoncer la conjecture (bien-entendu, c’est en fait une propriété) :

La tractoire à base circulaire multi-tours converge vers le cercle de même centre que la base et de rayon $\sqrt{R^2-a^2}$ .

En particulier, dans le deuxième cas étudié (a=4 , R=5), on obtient un cercle asymptote de rayon 3.

Et « dans le cas particulier où la longueur du fil est égale au rayon du cercle de base, on retrouve une courbe introduite par Varignon et appelée spirale tractrice ». (-cabri.imag.fr/abracadabri/Courbes/Tract/Tract1.html).

Voici le film de la construction :

Et la figure finale :

La tractoire de cercle pour R inférieur à AB

NB : Certains termes lexicaux (qui seront signalés par une note) sont des inventions qui ne sont pas officielles.

Historiquement, l’image pour la tractoire est celle d’une chaîne ou d’un fil qui doivent rester tendus.
Mais si ce fil était remplacé par une barre de fer (sur coussin d’air) ?
C’est précisément, et sans surprise, la définition théorique de la tractoire (au sens large), et ce qui est implémenté dans CaRMetal :

La barre de fer se comporte parfois comme un fil, mais elle couvre une situation plus générale, et le cas où le point A repousse le point B au lieu de le tracter.

La courbe de B serait alors une « repoussée ». [2] (le terme de repoussoire serait peu heureux…). En fait, on dit encore que c’est une tractoire.

Traçons une « repoussée » à base rectiligne en reprenant la figure de la tractrice (voir l’article Exégèse de CaRMetal).
Il suffit pour cela de déplacer le point B initial et de lancer le script.

Voici la position initiale :

On obtient la courbe suivante :

Le premier morceau de la courbe est une « repoussée », le second une tractoire (au sens strict, et ici une tractrice).
On peut se convaincre facilement que la « repoussée » est une tractoire (au sens strict). Bref, la courbe complète s’appelle officiellement une tractoire, fût-elle temporairement une « repoussée » ou une tractoire au sens strict.

En pratique, les tractoires à base circulaire multi-tours présentent des « éléments de répétition circulaire » qui rendent ces courbes intéressantes...

Prenons par exemple le cas de la tractoire suivante :
AB = 4, le rayon de la base circulaire est R = 3, on fait trois tours de la base.
Voici la situation initiale :

Voici le script correspondant :

On obtient la courbe suivante :

Et les sceptiques de dire : « la courbe est erronée, les extrémités auraient dû se recoller. Le traceur de CaRMetal est mis en échec ! Il y a sans doute une erreur irrécupérable aux points de rebroussement. »

A quoi on peut répondre :
Il n’y a pas de mauvais outil, il n’y a que de mauvais ouvriers (ce proverbe ne vaut que pour CaRMetal).
Le traceur de CaRMetal continue à fonctionner parfaitement (avec une grande précision). C’est l’interprétation qui est erronée, pas la courbe tracée par CaRMetal.

Pour convaincre les sceptiques, faisons un petit détour par la théorie pour justifier cette dernière affirmation.

Etude théorique de la tractoire de cercle

Ces courbes ont été étudiées par Bordoni en 1 820.

On note a = AB.

L’équation différentielle polaire est :     $\dfrac{d\theta}{dho} = f(ho)$     où    $f(ho) = \dfrac{\sqrt{4R^2ho^2-(ho^2+R^2-a^2)^2}}{ho(ho^2-R^2+a^2)}$

Par intégration, on obtient l’équation polaire suivante :

• Cas $0 < a < R$ (rayon supérieur à AB) :
  • Branche interne :  $\theta = \pm \displaystyle\int_{R-a}^ho f(u) du $ ,    $R-a \leqslant ho < \sqrt{R^2-a^2}$
  • Branche externe :         $\theta = \pm \displaystyle\int_{R+a}^ho f(u) du $ ,
       $\sqrt{R^2-a^2} < ho \leqslant R+a$

• Cas $a > R$ (rayon inférieur à AB), $k$ est le nombre d’« arcs » complets :
  $\theta = \pm \displaystyle\int_{a+R}^ho f(u) du +2k\theta_0$ ,  avec $\theta_0 = \displaystyle\int_{a+R}^{a-R} f(u) du = \pi\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2-R^2}}-1\right)$ ,     $R-a \leqslant ho \leqslant R+a$

Dans le cas qui nous intéresse (a supérieur à R), on obtient une courbe fermée si et seulement si  $\dfrac{a}{\sqrt{a^2-R^2}}$   est rationnel.

Est-ce le cas si R = 3 ?

Non, on obtient  $\dfrac{4}{\sqrt{7}}= \dfrac{4\sqrt{7}}{7} \approx 1,51185789$ .

C’est proche de1,5 mais ce n’est pas 1,5.

En reprenant la formule, on voit que le cas le plus saisissant (sans chevauchement) de courbe fermée pour a = 1 sera obtenu ainsi :

On résout l’équation  $\dfrac{1}{\sqrt{1-R^2}}-1 = \dfrac{1}{n}$     et on obtient    $R=\dfrac{\sqrt{2n+1}}{n+1}$ .

Et quand R est proche de 3 avec AB = 4, c’est ce cas que l’on approche.

On va donc retracer la tractoire en prenant cette fois-ci :  $R= 4 \times \dfrac{\sqrt{2 \times 2 + 1}}{2+1} = \dfrac{4\sqrt{5}}{3} \approx 2,9814$ .

Voici alors le film de la construction :

Et le résultat final :

C’est magique.

Tentative de classification des tractoires de cercle

Maintenant que l’on peut avoir foi en le traceur CaRMetal, on va tenter une classification des tractoires de cercle fermées (pour a inférieur à R).

On appellera « fleur de tractoire » [3] une tractoire de cercle multi-tours fermée quand R est inférieur à AB.
Le nombre et l’organisation des pétales est alors affaire de divisibilité.

On peut distinguer en particulier les fleurs de tractoire sans chevauchement obtenues comme indiqué précédemment pour  $R=\dfrac{\sqrt{2n+1}}{n+1}$
(à multiplier par 4 ici car on a pris arbitrairement AB = 4) .

Voici les sept premières, toujours tracées avec le même procédé (et un pas de 0,01 qui est très largement suffisant) :

Dans le cas général, on a :    $\dfrac{1}{\sqrt{1-R^2}}-1 = \dfrac{p}{n}$     avec   $p < n$ .

Il suffit donc de remplacer n par n/p dans la formule du rayon.
Si p est premier avec n on obtient une fleur de tractoire à n pétales.
Dans le cas général, on obtient une fleur de tractoire à n/PGCD(n,p) pétales.

Par ailleurs, le rayon $R$ est obtenu par la formule :    $R = \dfrac{\sqrt{\dfrac{2n}{p}+1}}{\dfrac{n}{p}+1}$ .

De plus, la fleur se referme au bout de n+p tours.
On peut ainsi construire toute fleur de tractoire sans aucune difficulté en une fois.

On peut aussi distinguer le cas où p = n-1 pour lequel on obtient de jolies fleurs de tractoire (pour n supérieur à 2, car pour n=2 on obtient p/n = 1/2 et une fleur sans chevauchement).

On a alors la formule (toujours pour a =1) :    $R = \dfrac{\sqrt{3n^2-4n+1}}{2n-1}$        ($n\geqslant 3$)

Voici les sept premières, qui ont été tracées avec le même procédé (et un pas de 0,01 voire de 0,02 « pour accélérer le mouvement ») :

On peut même construire un traceur de fleurs de tractoire qui calcule automatiquement le rayon.
Dans le classeur CaRMetal Tractoire_de_cercle.zirs joint à l’article, on a construit trois traceurs (un pour les fleurs sans chevauchement, un pour p = n-1, un pour le cas général).
Plutôt que des boîtes de dialogue, on a préféré des curseurs.
De plus, le script fait un seul tour (il faut donc le relancer).
Si on préfère tracer la fleur d’une seule traite, il suffit de modifier la condition d’arrêt en   $a < 2(n+p)\pi$ .

Voici donc quelques fleurs du cas général :

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Enfin, en lisant cet article déjà cité, vous comprendrez qu’il y a un autre cas intéressant à distinguer, celui des fleurs de la nature, dont les pétales (selon une théorie un peu ésotérique) se développent souvent suivant la règle de Fibonacci : elles ont 2, 3, 5, 8, 13, etc pétales pour mieux profiter du soleil.

Cela correspond aux fleurs de tractoire pour  $\dfrac{n-p}{n} \approx \dfrac{1}{\varphi}$   où  $\varphi$ est le nombre d’or.

En voici quelques unes (tracées avec un pas de 0,02), que l’on a coloriées :

Bien entendu, l’intérêt de l’outil segment de longueur fixe pour tracer des tractoires serait surtout intéressant pour tracer des tractoires dont on ne connaît pas l’équation.

On joint à cet article un classeur contenant quatre figures et leur script.
La première permet de tracer la spirale tractrice.
Les trois suivantes sont des traceurs de fleurs de tractoires :

• sans chevauchement ;
• dans le cas p = n-1 ;
• dans le cas général .

Pour chaque figure, il suffit de lancer le script autant de fois que l’on souhaite de tours, ou de modifier la condition d’arrêt en   $a < 2(n+p)\pi$.