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Utilisation d’un tableur pour la résolution d’un système d’équation en classe de 6ème
Moteur de recherche
Mis en ligne le 27 janvier 2007, par Emmanuel Chauvet

Le problème initial est issu d’une narration de recherche proposée par l’IREM de Montpellier : le célèbre problème des lapins et des poules.

Cette situation conduit rapidement à une mise en équation correspondant à un système d’équations à deux inconnues, chose totalement hors programme en classe de 6ème.

Néanmoins l’outil tableur va nous permettre de mettre en oeuvre une démarche de résolution qui conduira à résoudre le problème

Problématique initiale

J’ai découvert le problème des poules et des lapins lors d’un stage de formation continue organisé par le groupe « Mathématiques en ZEP » de l’IREM de Montpellier en 2002. Ce problème est en fait le support d’une narration de recherche que l’on peut trouver ici.

Pour résumer, il s’agit d’apporter une réponse aux trois problèmes suivants :
- Problème 1
Dans la cour d’une ferme,il y a des poules et des lapins. J’ai pu compter 15 têtes. J’ai compté aussi 42 pattes.
Pourrais-tu m’aider à trouver le nombre de poules ? Le nombre de lapins ?
- Problème 2
Dans la cour d’une ferme,il y a des poules et des lapins. J’ai pu compter 91 têtes. J’ai compté aussi 324 pattes. Pourrais-tu m’aider à trouver le nombre de poules ? Le nombre de lapins ?
- Problème 3
Dans la cour d’une ferme,il y a des poules et des lapins. J’ai pu compter 2171 têtes. J’ai compté aussi 4368 pattes. Pourrais-tu m’aider à trouver le nombre de poules ? Le nombre de lapins ?

J’ai décidé d’entreprendre avec les élèves d’une de mes classes de sixième la résolution de ces derniers, non pas de le cadre de la narration de recherche d’où est issu ce problème, mais pour essayer de développer ensemble une démarche de résolution en mettant en avant :

- la problématique de la « mise en équation », c’est à dire déterminer quelles sont les grandeurs qui interviennent et quelles relations les relient.
- la résolution à proprement parlé : comment aboutir, avec les outils de résolution disponible à ce niveau, à la solution ?

Mise en oeuvre et démarches de résolution envisagée par les élèves et leurs limites

J’ai conduit cette expérience dans une de mes classes de 6ème d’un collège ZEP, et je résumerai en disant que j’ai abouti à des conclusions équivalentes sur les problèmes de résolutions rencontrés par les élèves à celles émises par le groupe IREM. Les séances se sont déroulées sur quatre vendredi de suite.

J’ai donné le premier problème un vendredi, demandant ensuite aux élèves d’y apporter une réponse pour le vendredi qui suit. Nous avons simplement discuté ensemble de l’énoncé, le but étant de s’assurer que tout le monde avait cerné la dimension du problème.

Le deuxième vendredi, j’ai simplement demandé aux élèves quelles étaient leurs propositions de réponses, sans aborder la manière dont elles ont été obtenues. Tous les élèves ont pu apporter une solution. On a simplement vérifié que ces dernières convenaient, puis j’ai donné l’énoncé du deuxième problème « à résoudre » pour la semaine qui a suivie.

Le troisième vendredi, j’ai encore sollicité les élèves pour qu’ils me donnent leurs solutions. Après vérification, on s’est aperçu que beaucoup d’entre elles ne convenaient pas, et seuls quatre élèves ont pu m’apporter une réponse qui convenait, les autres s’étant soit trompés (une des deux conditions sur les têtes ou les pattes n’est pas satisfaite), soit ayant abandonné leur recherche.

A ce moment là, j’ai commencé à questionner les élèves pour savoir comment ils s’y étaient pris pour tenter de répondre d’abord au premier problème, puis au second.

La discussion qui s’en est suivie a montré que tous les élèves sans exception se sont lancés dans la résolution des problèmes en essayant « toutes les valeurs possibles » pour le nombre de lapins et le nombre de poules.

Seuls ceux qui ont saisis qu’il y avait une relation entre le nombre total d’animaux et le nombre de lapins et de poules, autrement dit « si on sait combien il y a de poules, on sait combien il y a de lapins », ont pu aboutir à la résolution des deux premiers problèmes.

C’est alors que j’ai donné le troisième problème... et qu’une nouvelle discussion s’est engagée : « comment essayer toutes les valeurs ? »

Je leur ai alors proposé, non pas de résoudre ce troisième problème, mais simplement de réfléchir pour la semaine suivante à comment on pourrait au moins réduire le nombre de valeurs à essayer, autrement dit, essayer de déterminer un intervalle de valeurs pour l’un des nombres d’animaux. Par exemple, je leur ai proposé de répondre à des questions du genre « puisqu’un lapin a deux fois plus de pattes qu’une poule, est-ce qu’il y a deux fois plus de poules ? ».

Introduction de l’outil tableur

Le vendredi qui a suivi nous avons donc fait la synthèse des questions relatives à la réduction du nombre de valeurs à essayer. Force et de constater qu’aucun élève n’a apporté de réponse utilisable.

De ce fait, nous nous sommes alors repenché sur la simple question technique « mais comment essayer toutes les valeurs ? ».

Je leur ai donc présenté un outil pouvant nous aider : le tableur. Je leur ai simplement montré l’intérêt des feuilles de calculs à travers un exemple simple : « calculer le prix à payer lorsque l’on achète une quantité de pommes à un certain prix », en leur montrant l’intérêt de pouvoir faire : ce qu’il y a dans cette case multiplié par ce qu’il y a dans celle-là donnera le résultat.

S’en est alors suivi la construction collective d’une feuille de calcul permettant, à partir du nombre de poules et du nombre de lapins, de déterminer le nombre de pattes.

Autrement dit, la discussion a conduit à l’élaboration d’une formule de calcul « 4 fois le nombre de lapins ajouté à 2 fois le nombre de poules donnera le nombre de pattes », que j’ai alors intégrée et programmée dans les différentes cellules concernées.

Nous avons vérifié sur quelques exemples que cela fonctionnait correctement.

Néanmoins, deux questions se sont soulevées :
- On venait certes de mettre au point un outil qui permettait d’obtenir rapidement le nombre de pattes à partir d’un couple de nombre de têtes, mais aucun moyen pour essayer toutes les valeurs.
- À chaque fois qu’un donne une valeur au nombre de lapins, il faut « à l’extérieur » de cette feuille de calcul, déterminer le nombre de poules, puisque la somme de ces deux nombres doit correspondre au nombre total de têtes.

Une première idée aura été de rajouter une colonne pour vérifier que le couple de nombre proposé satisfait aussi à la condition correspondant au nombre d’animaux :

Mais ce deuxième point a eu une autre réponse très rapide (venant principalement des élèves qui dès le départ avaient cernés cette relation) : il suffit de demander au tableur de calculer par exemple, le nombre de lapins à partir du nombre de poules à partir de la relation : « nombre de lapins = nombre de têtes - nombre de poules » .

ce qui suppose à ce moment là, que l’on fixe la valeur de la cellule F2 sinon, on est confronté à un problème de référence circulaire.

Par ailleurs, en vue de préparer la suite des opérations, on a fixé la référence de la cellule dans la formule de calcul :

Une fois que l’ensemble de la classe a été d’accord avec ce calcul, je l’ai intégré dans la feuille de calcul, et on a ainsi obtenu un outil qui a permis de déterminer le nombre total de pattes uniquement à l’aide d’un seul nombre d’animaux.

Mais cela ne solutionnait pas le problème : comment essayer « toutes les valeurs ».

Il est évident qu’à ce niveau là, dans la mesure où l’apprentissage du tableur au collège est introduit bien plus tard tant en mathématiques qu’en technologie, il leur était impossible d’utiliser les fontions de recopies du tableur.

J’ai donc recopié sur une quinzaine de lignes, notre ligne de calcul. Nous avons là encore vérifié que cette opération de recopie avait conservé le calcul initialement programmé, mais surtout dupliqué les formules en les adaptant à leur nouvelle position.

Rapidement, un élève a proposé alors de mettre 1, puis, 2, puis 3 dans les cellules de la colonne B. On obtenait ainsi un moyen d’essayer « rapidement » toutes les valeurs.

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Illustration dans le cadre de l’exemple 1

C’est ainsi qu’on a procédé à la main pour retrouver les solutions proposées pour les deux premiers problèmes.

Néanmoins, le problème restait entier pour le dernier problème : on était rassuré de pouvoir tester rapidement si un couple de nombre était solution, mais toutefois, on était toujours confronté au problème de « saisie des nombres jusqu’à ce que ça marche... ».

Deux options se présentaient à moi : discuter sur la restriction à un éventuel intervalle de valeurs pour l’un des nombres de têtes pour limiter le nombre de valeurs à essayer, ou proposer d’utiliser une fonction de recopiage du tableur.

Compte-tenu des premières discussions que nous avions eu à ce sujet, j’ai préféré me limiter à la deuxième. J’ai donc saisi, 1 puis 2 dans les deux premiers lignes, puis recopié vers le bas ces deux cellules (le tableur incrémentant automatiquement), puis recopié ensuite vers le bas, la fin de la feuille de calcul.

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Illustration dans le cadre du problème 1

qui donne ensuite :

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Illustration dans le cadre de l’exemple 1

Nous avons là encore vérifié que tout fonctionné, puis pu déterminer le couple solution du dernier problème.

Pour prolonger ce travail, nous avons essayé plusieurs grandes valeurs pour le nombre de pattes total pour voir si grâce à cela on pouvait répondre au problème. On a rapidement été confronté à une chose : on ne peut pas choisir n’importe quoi pour le nombre total de pattes.

Conclusion

Même si l’outil tableur n’a été utilisé que par l’enseignant, tant dans la programmation des cellules que dans l’utilisation de fonctions avancées de ce dernier, le support de calcul qu’il a offert a permis de riches discussions portant en particulier sur les relations qui lient les différentes grandeurs intervenant ici.


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