Papiers Crayons de Couleur est un recueil d’activités destinées à des élèves à partir du cycle 2, basé sur le coloriage uniquement. Il est proposé dans trois formats différents : sous la forme d’un livre où les activités sont en couleur, sous forme numérique où les activités sont proposées en pdf monochrome optimisé pour l’impression et enfin sous la forme de fichiers informatiques utilisant l’application Scène2D/Coloriage qui permet de réaliser les figures à la souris. Une rubrique dédiée à ce recueil est disponible sur le site de l’IREM Paris-Nord.

Pour avoir une vision panoramique du contenu du livre et de ses différents supports, vous pouvez parcourir l’affiche de présentation qui lui est dédiée.

Cet ouvrage est bâti autour de l’idée que la géométrie est une voie privilégiée pour faire des mathématiques car elle revêt un aspect concret tout en incitant à la manipulation et à l’expérimentation. Elle est accessible dès le plus jeune âge, même pour aborder des notions qui ne sont pas explicitement prévues par les programmes. C’est pourquoi, nous invitons les élèves à dessiner.

Afin de proposer des activités accessibles aux plus jeunes, nous avons abandonné (provisoirement) les instruments de géométrie pour ne garder que le coloriage avec des crayons de couleurs. Cela permet aux élèves d’aborder les notions mathématiques inhérentes à la géométrie sans être surchargés par la manipulation et la maitrise encore hésitante de ces outils. Par ailleurs, il nous apparait préférable de savoir reconnaitre avant de construire, de colorier avant de tracer. Ce parti pris n’empêche nullement de travailler le tracé instrumenté en parallèle d’un travail sur les activités du livre.

Les activités qui composent cet ouvrage sont nombreuses et toutes différentes. Des activités qui se suivent peuvent être très proches mais chacune a subi une variation par rapport à la précédente. Cette multitude d’activités différentes n’a pas vocation à être réalisée dans sa totalité mais doit permettre à l’enseignant·e de gérer l’hétérogénéité de sa classe en ayant les moyens de proposer des activités adaptées à chacun·e.

Pour concevoir cet ouvrage, nous nous sommes appuyés sur notre expérience au sein de l’IREM Paris-Nord, notamment sur la brochure Papiers Crayons destinée aux collégien·nes et sur la réalisation du rallye mathématique cycle 2 que nous proposons tous les ans. Nous nous sommes aussi inspirés des travaux de Raymond DUVAL, notamment des articles Les changements de regard nécessaires sur les figures (Grand N n°76, 2005) et Les conditions cognitives de l’apprentissage de la géométrie (Annales de didactique et sciences cognitives, IREM de Strasbourg, 2005). Les concepts développés dans ces articles ont nourri notre réflexion. De plus, nous avons collaboré avec des professeur·es des écoles afin d’expérimenter les activités en nous concentrant sur les classes de cycle 2, notamment sur celles de CP. La diversité des profils sociologiques des écoles partenaires et les retours pertinents des enseignant·es nous ont permis de modifier certaines activités, d’en affiner d’autres et de compléter l’ensemble pour proposer une progression cohérente.

Ce sont ces points que nous allons développer dans la suite de l’article tout en nous attachant à les illustrer par des exemples et des travaux d’élèves de cycle 2 principalement.

Développer la vision géométrique des élèves

Le principal objectif de ce recueil est de développer la vision géométrique de l’élève : développer leur perception des angles, des rapports de longueurs, développer leur faculté à appliquer mentalement des isométries, à faire des opérations mentales d’abstraction ou d’ajout sur ce qu’ils voient, ce qui est un préalable fondamental au travail de la géométrie qui sera le leur à l’école et au collège.

Ainsi, l’ouvrage est structuré en quatre parties qui correspondent chacune à des savoirs fondamentaux en géométrie. Chacune de ces parties vise à enrichir les représentations mentales de l’élève :

1) Reproduire sur différents supports  : les activités sont composées d’un modèle qui est donné entier, le résultat attendu est identique au modèle.

2) Reconnaitre et identifier des figures  : l’objectif est d’identifier et de reconnaitre une ou des figures dans un ensemble de figures plus complexes ou dans un ensemble de lignes.

3) Transformer, déplacer et déformer  : dans cette partie, une perturbation est ajoutée. Soit le modèle est donné entier comme dans la partie 1 mais le résultat attendu est une déformation, un déplacement ou une transformation du modèle. Soit c’est le modèle proposé qui a subi une perturbation. Dans ce cas, le résultat attendu est une reconstitution du modèle sans perturbation.

4) Raisonner et appliquer un protocole  : le modèle proposé ne suffit pas à avoir une représentation claire du résultat. Pour aboutir, il faudra raisonner ou suivre un protocole de construction. Le résultat se dévoile petit à petit et nécessite réflexion, des essais, des erreurs, des validations intermédiaires régulières.

Les consignes des activités sont implicites : aucun texte d’énoncé ne les accompagne. Il arrivera néanmoins qu’il soit nécessaire de les expliciter. Dans ce cas, un ou plusieurs pictogrammes sont présents sur l’activité. L’ensemble des pictogrammes utilisés ainsi que les illustrations pour certains d’entre eux sont regroupés dans des pages spécifiques. Ci-dessous, les principaux pictogrammes :

De plus, de nombreuses notions de géométrie des programmes scolaires sont abordées bien qu’aucun tracé instrumenté ne soit proposé. Les notions de repérage dans le plan, de vision dans l’espace, d’alignement de points, d’angles particuliers sont mobilisées pour réaliser les activités. Une formalisation peut ainsi être envisagée après avoir travaillé sur certaines de ces activités.

Des séries sont présentes à travers les différentes parties du livre de manière à travailler sur le temps long des domaines ou des thèmes particuliers de la géométrie : la géométrie dans l’espace, les entrelacs, les chiffres et les lettres, le coloriage en n couleurs, les frises, les superpositions de figures, les intersections de figures. Chaque série présente une complexité graduelle à mesure que l’on avance dans le livre.

Varier pour obliger l’élève à s’adapter

Tout au long du livre, les activités sont proposées sur des supports divers. Cela permet de travailler le repérage des éléments qui composent le modèle dans différentes directions, de complexifier progressivement les activités et d’obliger l’élève à s’adapter en permanence. Il y a trois familles de supports, elles-mêmes subdivisées en plusieurs catégories :

• sans trame : Le support proposé est composé de figures jointes ou disjointes mais sans rien d’autre. Les formes sont donc facilement identifiables.
• les trames avec un maillage régulier : Les maillages peuvent être carrés dans différentes orientations, triangulaires, à base de cercles... Les formes sont à identifier dans un pavage.
• les trames à base de lignes : celles-ci sont composées de lignes droites ou circulaires et sont plus ou moins régulières. Les formes sont à identifier dans un amas de lignes.

Les variations concernent aussi les modèles. Les motifs qui les composent sont soit figuratifs, soit non-figuratifs. Cette distinction n’est pas superflue car le travail n’est pas le même. En effet, lorsque le modèle est figuratif, certains éléments sont identifiables (tête, pied, queue, yeux ...) ce qui permet un repérage plus facile mais présente peu de régularité. Il doit donc être pris dans sa globalité. En revanche, lorsque le motif est non-figuratif, il contient moins d’éléments pour se repérer mais présente beaucoup de régularité par symétrie ou rotation. Dans ce cas, le tout se déduit souvent d’une partie du modèle.

Cette multitude d’activités différentes n’a pas vocation à être réalisée dans sa totalité mais doit permettre à l’enseignant·e de gérer l’hétérogénéité de sa classe en ayant les moyens de proposer des activités adaptées à chacun·e. Nous entendons par « adaptée » une activité qui n’est ni trop difficile, ni trop facile pour un élève donné. Elle doit permettre de sortir légèrement l’élève de sa zone de confort afin de le faire progresser sans le mettre en échec. En cas de blocage, nous pensons qu’il est préférable de suspendre temporairement le travail sur l’activité, de lui en proposer une autre plus abordable dans le même registre pour enfin lui permettre d’y revenir et ainsi de surmonter la difficulté.

Travailler la concentration et la motricité fine

Les activités sont basées sur le coloriage de figures fermées. Même en omettant les aspects mathématiques sous-jacents (repérage de forme, analyse du modèle …), la tâche de coloriage demande en elle-même de la concentration sur un temps long et permet de travailler la motricité fine à un moment où l’apprentissage de la graphie occupe beaucoup les élèves.

On pourra se servir des premières activités du livre pour apprendre aux élèves à colorier et les entrainer à avoir un coloriage efficace et soigné. Pour cela, il faut commencer par colorier les contours de la forme sans appuyer fortement sur le crayon avant de colorier l’intérieur de celles-ci. Il faut aussi varier le type de zones à colorier car les grandes zones sont souvent faciles à repérer mais longues à colorier alors que les petites sont plus difficiles à identifier mais plus aisées à colorier.

Ce principe est d’autant plus nécessaire lorsque l’identification des formes est complexes. En effet, si les zones sont disjointes et présentées sans trame de fond, elles sont identifiables facilement. Mais si elles se présentent dans une trame, l’identification implique parfois des essais-erreurs. Il faut donc que l’élève ait la possibilité de vérifier et éventuellement de gommer avant de finaliser son coloriage en appuyant fortement sur son crayon. Par ailleurs, certain·es élèves préfèrent spontanément procéder au contourage des formes avec un crayon à papier ou au repérage des points importants avant de colorier ce qui leur assure un gommage efficace en cas d’erreur. Il peut être judicieux de conseiller cette pratique pour les élèves maitrisant mal la pression exercée sur leur crayon, car le crayon à papier s’efface mieux que le crayon de couleur.

Bien que le livre soit pensé pour le coloriage, ce qui rend les instruments de géométrie inutiles, nous avons constaté aux cours des expérimentations que les élèves maitrisant l’utilisation de la règle s’en servent spontanément sur certaines activités pour marquer au crayon à papier les contours des zones polygonales désirées en repassant sur les lignes fines du quadrillage ou de la trame.

Conseiller une utilisation de la règle aux élèves que l’on pense capables de le faire est sans doute pertinent pédagogiquement dans l’apprentissage et la maitrise de cet outil. Cela peut être une étape ou venir en complément d’un usage plus expert (tracé d’une ligne entre deux points).

Pour illustrer nos propos, voici quelques travaux d’élèves relatifs à l’activité Le serpent, le chat et le chien :

Le contourage (à la règle ou non) peut aussi dans certains cas rendre plus lisible le résultat final notamment lorsque les trames sont denses ou dans les activités relevant de la géométrie dans l’espace. Voici quelques travaux d’élèves relatifs aux activités Trois plans et L’ours.

Quelques écueils à éviter

Les activités étant la plupart du temps données sous la forme de photocopies en dégradé de gris, l’élève est amené à choisir lui-même les couleurs avec lesquelles il va réaliser la figure. Deux écueils sont apparus lors des expérimentations que nous avons menées. D’abord la surcharge cognitive que représente l’association d’un gris avec une couleur choisie par l’élève et la difficulté de maintenir cette association sur la durée totale du coloriage, notamment pour les élèves de CP. Ensuite, la liberté du choix des couleurs conduit parfois à une prise de liberté totale vis-à-vis des consignes. L’élève colorie ainsi à son goût la figure, souvent façon « arlequin » ou bien totalement unie, ce qui enlève tout sens à l’activité.

Par exemple, dans l’activité Chats, il fallait identifier les zones et les colorier en utilisant deux couleurs. Les travaux ci-dessous montrent que les élèves n’ont pas compris la consigne.

Dans l’activité Deux oiseaux, l’utilisation du crayon à papier, ne permet pas de valider le résultat. L’utilisation des couleurs le permet mais oblige l’élève a une gymnastique mentale supplémentaire pour associer chaque dégradé de gris à une couleur.

Une manière d’éviter ces écueils est d’imposer les couleurs à utiliser soit verbalement soit en fournissant le modèle couleur aux élèves. Les modèles en couleur sont disponibles sur notre site aux côtés de l’activité monochrome correspondante (voir les liens des exemples précédents). Ils peuvent ainsi être vidéoprojetés ou être imprimés en petites quantités. Cette dernière solution est sans doute la plus efficace car le modèle couleur se retrouve dans le même espace de travail que la figure à colorier.

Par exemple, dans Chiens de compagnie, l’élève laissé libre colorie à son goût sans chercher à comprendre le but de l’activté, tandis qu’avec une aide orale ou un modèle, tout devient plus clair :

Dans Structures de cubes, sans consignes, l’élève identifie correctement les différents cubes mais ne restitue pas ce qu’il voit lors du coloriage. En imposant trois couleurs au choix, la structure apparait lisiblement.

Des outils pour l’enseignant

Les activités monochromes proposées sur notre site sont toujours accompagnées de modèles en couleur comme nous l’avons évoqué précédemment. Elles sont aussi accompagnées de solutions pour les plus difficiles d’entre elles. Par exemple, la page relative à l’activité Bob, se présente de la manière suivante :

De plus, la rubrique Un livre, plusieurs progressions permet à l’enseignant·e de générer ses propres progressions en sélectionnant les mots-clefs qui l’intéressent. Des progressions préconçues ainsi qu’un générateur de progression libre sont aussi présents dans cette rubrique. L’’enseignant·e a la possibilité d’enregister ses progressions et de récupérer les fichiers pdf relatifs à chacune d’elles.

Enfin, les activités sont proposées en version informatique avec l’application Scène2D/Coloriage qui permet de colorier les figures à la souris (ou au doigt avec une tablette) dans une rubrique de notre site d’activités informatiques.

L’un des objectifs de l’ouvrage étant de travailler le coloriage et ainsi la concentration et la motricité fine, proposer les activités en version informatique peut aller à l’encontre de cet objectif voire être contre-productif. Il faut donc les utiliser avec parcimonie, avec un objectif pédagoqique réfléchi et toujours sous la supervision d’un·e enseignant·e. Ces activités informatiques nous paraissent pertinentes dans deux cas de figure :

• lorsqu’un élève a beaucoup de mal à colorier (handicap, retard d’apprentissage ...) : le décharger de la contrainte matérielle peut le mettre en réussite et lui permettre d’acquérir les notions mathématiques sous-jacentes.
• lorsqu’un élève est confronté à une difficulté qu’il a du mal à surmonter : certaines activités de la fin du livre sont difficiles, demandent des raisonnements et des essais-erreurs. Il peut être utile de proposer la version informatique pour chercher, faire des essais avant de passer au coloriage sur support papier.

Utilisation générale et place dans les programmes

Les activités de cet ouvrage sont conçues pour être supervisées par un·e enseignant·e. Bien que d’aspect ludique, leur réalisation demande des efforts importants aux élèves. Ce n’est donc pas un cahier de coloriage à laisser à disposition sans suivi ni progression. L’enseignant·e doit relancer, encourager, différer en cas de difficulté, évaluer la réussite de la production finale et avoir une connaissance fine du niveau de chacun de ses élèves. Son rôle de pilotage est essentiel.

D’autre part, se servir de ces activités uniquement comme détente mathématique ou comme ressources réservées aux élèves les plus avancés ou encore comme récompense, c’est passer à côté de son objectif principal qui est d’aborder des compétences peu travaillées à l’école. L’enseignant·e a évidement toute liberté de l’utiliser à sa guise mais nous l’encourageons à utiliser ces activités avec tous les élèves, notamment les élèves les plus en difficulté. Bien des difficultés recontrées par les élèves en maths proviennent d’un manque d’aisance et d’agilité dans leur vision des figures géométriques. De plus, il nous apparait préférable de savoir reconnaitre avant de construire, de colorier avant de tracer. Ce parti pris n’empêche nullement de travailler d’autres notions du programme en parallèle. Nous pensons que c’est dans la diversité des situations, des supports et du matériel mis à disposition qu’un élève progresse efficacement.

Cet ouvrage n’est pas une version définitive et statique. Il est en constante évolution. Il sera amendé, réorganisé en fonction des retours des enseignants et des idées qui nous seront soumises. Des activités pourront donc être ajoutées régulièrement dans la version numérique d’abord, puis dans la version papier à l’occasion de nouveaux tirages.

Certaines ressources présentes sur notre site peuvent aussi compléter et poursuivre le travail entamé avec cet ouvrage :

• Le rallye cycle 2 qui est un concours organisé tous les ans à l’occasion de la semaine des mathématiques, comprend huit épreuves que la classe doit résoudre dans les domaines de la géométrie, de la géométrie dans l’espace, de la logique et du numérique.
• Le livre Papiers Crayons, dédié à la géométrie instrumentée, est destiné aux élèves de cycle 3 et de collège.
• Une série de modèles 3D pour voir et construire des structures de petits cubes est en cours de d’élaboration. Ces fichiers sont réalisés avec l’application Scène3D/Cubes.

Deux convictions nous ont animés pour la réalisation de cet ouvrage : la conviction que l’enseignement de la géométrie est essentiel dans la formation des futur·es citoyen·nes et celle que le plaisir est un ressort puissant pour y entrer : réaliser de belles figures est une activité qui mobilise facilement la plupart des enfants. Nous espérons que certaines activités de cet ouvrage en apporteront la preuve.

Stéphan Petitjean et Erwan Adam