Introduction

Le CREM a été impliqué dans une recherche visant à favoriser l’introduction de certains concepts mathématiques liés aux grandeurs par le recours à des manipulations effectuées par les élèves. Les séquences d’apprentissage conçues et mises au point au cours de ce travail sont appelées Math & Manips (3) (4) (5).

Cet article décrit plus particulièrement une activité, destinée aux élèves du début du collège. La séquence d’apprentissage a pour premier objectif de construire et caractériser des agrandissements, et s’intéresse ensuite à l’influence de la duplication des longueurs des côtés d’un polygone sur son aire. La mise en place de techniques efficaces de comparaison des aires, par pavages et découpages, conduit à la généralisation à d’autres facteurs entiers.

Le sujet est abordé par des activités qui peuvent être traitées soit par un travail papier-crayon, soit en utilisant le logiciel de géométrie dynamique Apprenti Géomètre, initialement dans sa version bureau. Le travail en classe n’est pas mené de la même façon selon la version choisie, chacune des manières de faire a ses spécificités et les compétences que les élèves mettent en œuvre pour effectuer les tâches ne sont pas toujours les mêmes.

Cet article décrit l’adaptation à la version mobile Apprenti Géomètre mobile et met en exergue quelques possibilités spécifiques à ce logiciel. La séquence d’apprentissage a été testée à plusieurs reprises sur la version ordinateur, notamment avec des élèves qui n’avaient pas réussi le CEB [1]. Nous n’avons pas eu l’occasion de la retester en classe avec la version mobile, mais elle a été présentée sous cette forme en colloque et en formation, à des enseignants et futurs enseignants.

Pour la comparaison avec le travail en papier-crayon, nous renvoyons à la publication consultable en ligne à l’adresse https://crem.be/publications/mm.

Les fiches de travail avec les élèves sont disponibles via le lien, on y trouve les chemins pour accéder aux fichiers.

 1. Découvrir les agrandissements

  1.1. Construire des polygones sur une grille

Une courte activité de familiarisation avec Apprenti Géomètre mobile est proposée ici avant d’aborder l’activité en elle-même. Cette étape n’est pas nécessaire avec les élèves qui ont déjà découvert l’interface « Géométrie » d’Apprenti Géomètre mobile.

Fig. 1 : Chapeaux pointus

On demande aux élèves d’ouvrir le fichier ChapeauxPointus.agl dans l’interface « Géométrie » (figure 1), de reproduire le dessin et de mettre les figures en couleur.

Ils sont ainsi amenés à construire, sur une grille, un polygone régulier, un polygone quelconque, des segments et des triangles particuliers.




Dans les classes, on observe que les polygones réguliers sont généralement familiers, mais que c’est rarement le cas des polygones quelconques et encore moins des polygones concaves.

Des triangles particuliers (isocèle ou rectangle) ont été insérés dans le dessin pour que les élèves prennent conscience de l’importance de l’ordre de construction des points dans le logiciel.

Notons que, lors de cette activité préliminaire, certains élèves éprouvent des difficultés à se repérer dans le plan, même sur une grille. L’activité est donc plus compliquée pour eux, mais permet de mettre en évidence ces problèmes et d’y remédier autant que possible avant d’aborder la séquence proprement dite.

Certains élèves tentent de construire la figure de droite en partant d’un hexagone et en essayant de le modifier en tirant le sommet de gauche vers l’intérieur. S’ils ont utilisé Construire un polygone régulier, le sommet n’est pas modifiable. S’ils ont utilisé Construire un polygone irrégulier, le point est modifiable, mais ils n’obtiendront jamais la figure souhaitée, car l’opération Modifier ne permet pas de modifier le nombre de sommets d’une figure (donc de transformer un hexagone en octogone).

Pour mettre en couleur l’intérieur d’un polygone, ce qui sera utile par la suite, il faut commencer par choisir une couleur via l’outil Colorier dans le pavé à gauche. Ensuite, il faut sélectionner le polygone. Si des élèves ont reproduit les formes en travaillant par segments, il leur sera impossible de colorier leur dessin, car une succession de segments ne constitue pas une forme. C’est pour que les élèves en prennent conscience qu’on leur demande de colorier.

  1.2. Doubler les longueurs

Dans les fichiers Campagne.agl et Egypte.agl (intitulés respectivement « À la campagne » et « Vacances en Égypte »), il est demandé aux élèves de reproduire sur la deuxième moitié de chaque écran les différents éléments du dessin en doublant chacune des longueurs, y compris les distances qui les séparent.

Les figures 2 et 3 illustrent les dessins proposés ainsi que les agrandissements que les élèves doivent obtenir en doublant toutes les longueurs. Remarquons que deux types de grilles ont été utilisées en fonction des polygones à représenter.

Fig. 2 : À la campagne

Fig. 3 : Vacances en Égypte

Les élèves ne devraient pas rencontrer de difficultés pour doubler les dimensions. Par contre, l’enseignant devra peut-être insister sur le fait qu’il est important de doubler également les distances entre les différents éléments des dessins. C’est ainsi que l’apparence globale sera conservée.

  1.3. Caractériser un agrandissement

L’enseignant indique aux élèves que les reproductions ainsi construites sont appelées des agrandissements, et leur demande alors ce qui, selon eux, caractérise un agrandissement. Un travail collectif débouche sur la construction d’un tableau qui reprend l’ensemble des propositions des élèves.

Au fil des propositions, les élèves remarquent que certains éléments peuvent être rassemblés. Par exemple, que ce soit un carré qui reste un carré ou un triangle qui reste un triangle dans l’agrandissement, on peut dire que la forme est conservée.



Il est rare que les élèves identifient d’eux-mêmes la conservation des angles comme la propriété mathématique qui garantit l’invariance de la forme.

Fig. 4 : Oiseaux

Pour guider les élèves, l’enseignant propose d’observer l’oiseau du dessin « À la campagne », et un autre oiseau, qu’il dessine au tableau, avec des ailes de longueurs doubles, mais dont l’ouverture n’est pas de même amplitude (figure 4).


Avec ces élèves, c’est justement l’occasion de travailler ce concept plus en profondeur. L’usage d’Apprenti Géomètre mobile permet de déplacer les polygones de départ sur leurs agrandissements et de remarquer qu’ils se superposent parfaitement à leur image agrandie en chacun de leurs angles.

L’enseignant synthétise alors ce tableau avec les élèves et y relève les caractéristiques mathématiques d’un agrandissement.

L’enseignant introduit finalement le vocabulaire correct : les polygones de départ et leurs agrandissements respectifs sont qualifiés de « polygones semblables ».

Remarquons que, lorsqu’on double les longueurs des côtés d’un polygone de plus de trois côtés, celui-ci ne conserve pas nécessairement ses angles, et donc son apparence. En effet, contrairement aux triangles, les polygones de quatre côtés et plus sont déformables. Si les longueurs des trois côtés d’un triangle sont données, il n’est possible d’en construire qu’un seul. Par contre, connaissant les longueurs des côtés d’un quadrilatère, il est possible d’en construire une infinité (figure 5). Si les angles sont fixés, sa construction est unique.

Fig. 5 : Quadrilatère déformable

 2. Paver pour comparer les aires

  2.1. Diviser et découper des formes

Ici encore une petite activité préliminaire peut se révéler utile pour familiariser les élèves avec quelques fonctionalités d’Apprenti Géomètre mobile avant de les confronter à la suite de la séquence.

Fig. 6 : Découpages d’un carré

Dans un premier temps, l’enseignant montre comment construire, à partir d’un carré, les triangles du fichier ExempleCarre.agl (figure 6).

Dans un second temps, les élèves devront effectuer un travail similaire avec d’autres formes.

Pour obtenir les triangles à partir du carré, il faut leur trouver des points communs que l’enseignant repère en glissant les triangles sur le carré. Les élèves observent alors que ces figures ont même base ou même hauteur que le carré de départ.

Pour obtenir le premier triangle, l’enseignant utilise l’opération qui consiste à Découper le carré selon une de ses diagonales, ce qui produit deux triangles dont l’un correspond au grand triangle rectangle isocèle si la diagonale a été bien choisie. Apprenti Géomètre mobile crée les morceaux découpés au-dessus de la figure originale. Ceci permet aux utilisateurs de conserver la forme de départ (ce qu’un travail papier-crayon ne permettrait pas).

Pour créer les deux triangles suivants, des points supplémentaires sont nécessaires pour découper le carré. Ces points n’existent pas encore, il faut donc les créer.

Fig. 7 : Deuxième triangle

Dans un cas, il faut créer le point milieu de la base du carré en la divisant en deux parties égales via l’opération Diviser. Une fois la division effectuée, il reste à Découper le carré. L’un des deux morceaux correspond au triangle rectangle (figure 7).

Fig. 8 : Troisième triangle

Dans l’autre cas, pour obtenir le petit triangle rectangle isocèle, on observe que le sommet du triangle se trouve au centre du carré (figure 8).

Ce point est obtenu par l’opération Construire le centre. Il reste à Découper le carré en commençant et terminant par les points situés sur son bord.

Fig. 9 : Découpages d’un hexagone

L’enseignant demande ensuite aux élèves de faire un travail similaire pour construire les polygones du fichier Hexagone.agl (figure 9) à partir de l’hexagone.

  2.2. Paver des polygones

À partir des différents fichiers PavageTriangle.agl, PavageCarre.agl, PavagePentagone.agl, Pavage-Hexagone.agl et PavageChat.agl, présentant chacun un polygone particulier, on demande combien de ces polygones sont nécessaires pour couvrir (sans superposition) la figure semblable dont la longueur des côtés a été doublée. Pour réaliser le pavage, on ne découpera que lorsque c’est indispensable.

Fig. 10 : Pavage du triangle

Pour le triangle, il suffit de dupliquer trois fois le triangle et de glisser les duplicata dans l’agrandissement. Le blanc apparent est facilement identifié comme le quatrième triangle qui a subi une rotation d’un demi-tour (figure 10).


Le pavage de l’agrandissement du carré est réalisé très simplement, car il suffit de dupliquer quatre fois le carré initial et de placer les quatre exemplaires côte à côte dans l’agrandissement.

Le pavage suivant est celui d’un pentagone irrégulier, le sphinx des « Vacances en Égypte » (qui nous a été inspiré par G. Noël dans (6)). Il est possible de paver celui-ci avec quatre pentagones de départ sans aucun découpage. Cependant, les élèves ne verront peut-être pas cette possibilité et découperont plusieurs pièces pour paver l’agrandissement.

Fig. 11 : Pavage du pentagone

Pour que les élèves réalisent le pavage de la figure 11 sans trop de difficultés, un premier pentagone a été placé dans le fichier. Le but est de leur faire prendre conscience qu’il faut penser à retourner certaines pièces.


Contrairement à ce qui se passe avec un puzzle en carton découpé, dont les pièces sont manipulées un peu au hasard, les élèves doivent décider consciemment de chaque mouvement à appliquer aux « petits pentagones » avant de les glisser dans le contour du grand.

Les élèves observent que, jusqu’ici, quatre polygones initiaux sont nécessaires pour paver leur agrandissement de côtés de longueurs doubles.

Ensuite, lorsque les élèves pavent l’agrandissement de l’hexagone, ils s’aperçoivent rapidement qu’il n’est plus possible de placer quatre formes entières. Ils peuvent placer trois hexagones entiers mais l’agrandissement n’est pas totalement couvert. Les élèves doivent alors penser à découper un hexagone pour compléter ce puzzle. Ils s’apercevront qu’un hexagone coupé en trois losanges comme dans la figure 12 permet de finaliser le pavage. Le découpage est réalisé facilement si les élèves utilisent l’opération Construire le centre. Une alternative pour paver l’agrandissement consiste à placer un hexagone au centre et à répartir des demi-hexagones tout autour (figure 13).

Fig. 12 : Pavage de l’hexagone (1)

Fig. 13 : Pavage de l’hexagone (2)

Comme précédemment, quatre polygones initiaux sont nécessaires pour paver l’agrandissement de côtés de longueurs doubles.

Rappelons que, lors des découpages avec Apprenti Géomètre mobile, les deux morceaux découpés se superposent à la figure initiale. Les duplicata créés lors des découpages pourraient perturber les élèves dans le décompte du nombre d’hexagones nécessaires à la réalisation du pavage. Il est donc intéressant de proposer aux élèves, après avoir réalisé le pavage, de déplacer les différentes pièces utilisées afin de reconstituer des hexagones entiers.

Le travail se poursuit avec une figure qui a l’apparence d’une tête de chat. Comme pour les autres polygones, les élèves essayent de paver l’agrandissement de côtés de longueurs doubles avec un maximum de petites « têtes de chat » entières.

Il ne faut pas laisser les élèves s’attarder, car cette figure a pour objectif de leur faire prendre conscience qu’une solution raisonnée permet l’économie d’un grand nombre de découpages fastidieux. En travaillant avec cette figure, les élèves se rendent compte que, même en découpant, il n’est pas toujours facile de paver un polygone avec des figures qui lui sont semblables.

L’enseignant propose alors de procéder autrement et de se référer à un polygone qui a été pavé simplement et qui pourrait lui-même être utilisé pour paver des polygones plus compliqués. Le pavage du carré paraît simple, mais il est impossible de décomposer le polygone en forme de tête de chat en carrés. Par contre, le pavage du triangle quelconque a également été réalisé rapidement et la « tête de chat » est décomposable en triangles.

Le procédé que l’on adopte est donc le suivant : partager en triangles le polygone et son agrandissement de la même manière (figure 14) et paver ensuite chaque grand triangle avec les petits (figure 15).

Il est possible de décomposer le polygone en triangles de nombreuses manières. Pour travailler avec un minimum de triangles, une des solutions consiste à choisir un sommet et à le relier à tous les autres, comme dans la figure 14. Cette décomposition a l’avantage de respecter la symétrie de la figure.

À partir du fichier PavageChatInit.agl, l’enseignant demande de partager de la même manière les deux « chats » en triangles et, après avoir mis chaque triangle du petit chat en couleur (une couleur différente par triangle), de paver les triangles du grand chat avec ceux du petit chat.

Fig. 14 : Découpage du chat en triangles

Fig. 15 : Pavage du chat

Pour décomposer les figures en triangles, les élèves commenceront probablement par placer des segments pour visualiser ces triangles, mais au moment d’utiliser l’outil Colorier, ils prendront conscience qu’il est impossible de colorier un triangle qui n’a pas été construit en tant que tel.

Une fois les triangles du « petit chat » coloriés, les élèves effectuent la même démarche que précédemment en recomposant chacun des grands triangles avec quatre petits triangles identiques. Ils observent ainsi que les morceaux de quatre exemplaires de la petite tête de chat sont nécessaires pour paver l’agrandissement de côtés de longueurs doubles (figure 15).

  2.3. Comparer les aires

Après la réalisation des différents pavages, l’enseignant demande, pour chacun des polygones rencontrés, de comparer les aires avec celles de leur agrandissement de côtés de longueurs doubles.

Pour paver l’agrandissement du triangle de côtés de longueurs doubles, quatre exemplaires du triangle ont été nécessaires. Les élèves devraient alors déduire que « lorsqu’on double les longueurs des côtés d’un triangle, son aire est multipliée par quatre ».

La même conclusion peut être formulée pour les autres polygones rencontrés : l’aire du polygone semblable de côtés de longueurs doubles est quatre fois plus grande que l’aire du polygone initial.

Afin de généraliser, un raisonnement en plusieurs étapes est nécessaire. L’une d’elles consiste à se convaincre que tout polygone est un assemblage de triangles. Il faut également remarquer que, si un polygone et son agrandissement (de côtés de longueurs doubles) sont décomposés en triangles de la même manière, chaque triangle de l’agrandissement a des côtés de longueurs doubles de celles des triangles semblables de la décomposition du polygone initial.

Suite à ces réflexions et en partant du polygone de la figure 16, le raisonnement suivant peut être
établi.

• Tout polygone est un assemblage de triangles (figure 16).

Fig. 16 : Polygone initial

Fig. 17 : Découpage en triangles

• Les grands triangles de la décomposition d’un agrandissement (de côtés de longueurs doubles) ont des côtés de longueurs doubles des petits triangles de la décomposition du polygone initial (figure 18).

Fig. 18 : Le polygone initial et son agrandissement

• Lorsqu’on double les longueurs des côtés d’un triangle, l’agrandissement est pavé avec quatre exemplaires du triangle de départ. Son aire est donc multipliée par quatre (figure 19).

Fig. 19 : Quatre exemplaires de chaque petit triangle pour paver le grand

La conclusion suit : « lorsqu’on multiplie les longueurs des côtés d’un polygone par deux, l’aire de l’agrandissement est égale à quatre fois celle du polygone initial ».

Fig. 20 : Quatre exemplaires du petit polygone pour paver le grand

Notons que la démarche mentale sous-jacente à la justification de la conclusion implique une réorganisation des pièces du puzzle qui correspond à une mise en évidence, ou à une distributivité, comme illustré à la figure 21.

Fig. 21 : Réorganisation, mise en évidence

 3. Construire pour généraliser

  3.1. Agrandissements de côtés de longueurs doubles

L’enseignant demande aux élèves d’ouvrir une nouvelle fenêtre dans Apprenti Géomètre mobile, d’y tracer un triangle quelconque, puis après l’avoir mis en couleur, de construire son agrandissement de côtés de longueurs doubles par assemblage de triangles. En l’absence de quadrillage, il n’est plus possible de dessiner d’abord le contour du triangle agrandi pour le remplir ensuite.

Fig. 22 : Triangle

En s’inspirant des manipulations précédentes, les élèves devraient parvenir à obtenir le contour de la figure agrandie en dupliquant trois fois le triangle initial et en glissant les duplicata dans la position adéquate (figure 22).



L’utilisation du logiciel permet d’exécuter cette construction rapidement avec toute la précision requise. De plus, cette construction permet aux élèves de justifier qu’ils ont effectivement construit un triangle semblable puisque les angles sont conservés. Notons que les élèves ne se contentent généralement pas de placer les trois triangles qui forment le contour de l’agrandissement, certains éprouvent le besoin de placer le quatrième exemplaire dans l’espace vide.

Fig. 23 : Pentagone

Pour aller plus loin, on demande d’effectuer un travail similaire avec un pentagone quelconque [2] c’est-à-dire de construire son agrandissement de côtés de longueurs doubles par assemblage de triangles.

Après avoir décomposé le pentagone initial en triangles, on colorie chaque triangle dans une couleur différente pour y voir plus clair. On réalise ensuite l’agrandissement comme le montre la figure 23.


Moyennant un travail sur la somme des angles, ce procédé permet de justifier que la construction réalisée est bien un agrandissement du pentagone initial, puisque les angles sont conservés. De plus, cette méthode est généralisable aux agrandissements de tout polygone.

Construire l’agrandissement du pentagone n’est pas évident pour tous, certains élèves ont besoin de consignes plus précises. Soit l’enseignant les guide en leur proposant de réaliser l’agrandissement de chacun des triangles pour commencer, soit il leur suggère de former le contour du pentagone agrandi en plaçant à chaque fois deux triangles en respectant l’alignement des côtés de manière à construire des côtés de longueurs doubles. Cette deuxième méthode permettra d’aborder plus facilement l’activité de la section suivante.

  3.2. Agrandissements de côtés de longueurs triples

Le travail accompli jusqu’ici établit que « lorsque les longueurs des côtés d’un polygone sont multipliées par deux, l’aire de l’agrandissement est égale à quatre fois l’aire du polygone initial ». Pour aller plus loin dans la démarche, on se demande ce qu’il advient de l’aire d’un polygone lorsqu’on construit un agrandissement de côtés de longueurs triples.

En appliquant le procédé de construction utilisé dans l’activité précédente, Apprenti Géomètre mobile permet ici encore de réaliser facilement un polygone dont les côtés sont de longueurs triples de celui de départ, en utilisant seulement l’opération Dupliquer et le mouvement Glisser.

Fig. 24 : Triangle

Le travail sur le triangle quelconque montre que neuf triangles sont nécessaires pour paver l’agrandissement, on déduit alors que son aire est neuf fois plus grande que celle du triangle initial (figure 24).

Fig. 25 : Pentagone agrandi

Ce travail peut également être réalisé pour un polygone quelconque. Considérons par exemple le pentagone de la figure 23 et construisons l’agrandissement de côtés de longueurs triples. Une fois encore, il n’est pas obligatoire de placer les neuf triangles de chaque sorte pour former l’agrandissement dont les côtés sont trois fois plus longs. Les espaces vides suggèrent d’eux-mêmes les triangles absents (figure 25).





Les élèves ont dès à présent les outils nécessaires pour généraliser le procédé à un polygone quelconque et pour formuler une conclusion. Ils ont observé précédemment que tout polygone était un assemblage de triangles. Ils peuvent facilement voir que les triangles de la décomposition d’un agrandissement de côtés de longueurs triples ont des côtés de longueurs triples des triangles de la décomposition du polygone initial. Après avoir mis en évidence ci-dessus que, lorsque les longueurs des côtés d’un triangle sont multipliées par trois, l’aire est multipliée par neuf, les élèves peuvent enfin conclure que « lorsque les longueurs des côtés d’un polygone sont multipliées par trois, l’aire de l’agrandissement est égale à neuf fois l’aire du polygone initial ».

 4. Généralisation et extension

  4.1. Multiplier les longueurs des côtés par un nombre entier

Les élèves ont pu observer jusqu’ici comment se comporte l’aire d’un polygone lorsqu’on l’agrandit en multipliant les longueurs de ses côtés par deux ou par trois. Un travail similaire peut être réalisé pour observer comment l’aire des polygones varie lorsque leurs longueurs sont multipliées par un autre facteur entier, mais nous n’envisageons pas de poursuivre la démarche de décomposition en triangles au-delà du facteur trois.

La figure 26 offre un moyen simple pour retenir comment évolue l’aire d’un agrandissement en fonction de la multiplication des longueurs des côtés d’un polygone initial. En effet, un carré peut être vu comme une juxtaposition de deux triangles, ce qui permet d’admettre que l’analogie persiste au-delà du facteur trois. La suite de carrés permet d’imaginer ce qui se passe pour d’autres multiples entiers.

Fig. 26 : Généralisation à n entier

À partir de tout le travail accompli jusqu’ici, les élèves peuvent conclure que « si les longueurs des côtés d’un polygone sont multipliées par un nombre, l’aire du polygone agrandi sera alors égale à l’aire du polygone initial multipliée par le carré de ce nombre ». Nous n’envisageons pas ici l’extension de la règle à des multiples non entiers.

  4.2. L’aire du disque de rayon double

L’enseignant invite les élèves à observer les agrandissements réalisés dans la section 1.2 et demande ce qu’il advient de l’aire des figures agrandies. Pour les polygones, la conclusion découle du travail effectué au long de la séquence qui précède : l’aire des figures dont les longueurs ont été doublées a été quadruplée. Par contre, pour le disque, il est impossible de paver l’agrandissement avec quatre exemplaires du disque de départ. Il n’est pas non plus possible de partager le disque en triangles afin de mener à la généralisation de la section 2.3. Il est alors nécessaire d’adopter une technique qui permet d’approcher le disque.

En observant la suite de polygones réguliers inscrits dans un même cercle, les élèves remarquent que, plus le nombre de côtés du polygone est grand, plus son contour est proche du cercle.

Si on imagine le disque comme un polygone avec de nombreux côtés, on pourrait lui appliquer la démarche réalisée précédemment. La figure 27 est une illustration du raisonnement sur un dodécagone, mais on peut comprendre qu’on pourrait le faire avec un polygone dont le nombre de côtés devient aussi grand que l’on veut.

Fig. 27 : Généralisation au disque

Pour en savoir plus

(1) Bkouche R., Du caractère expérimental des mathématiques. À propos des laboratoires de mathématiques. Repères IREM nº 70, 2008, pp. 123–137.
(2) Dias T. et Durand-Guerrier V., Expérimenter pour apprendre en mathématiques. Repères IREM nº 60, 2005, pp. 61-78.
(3) CREM, Math & Manips. Des manipulations pour favoriser la construction des apprentissages en mathématiques, CREM, Nivelles, 2017.
(4) Guissard M.-F. et al., Math & Manips. Losanges nº 7, 2010, pp. 39-46.
(5) Guissard M.-F. et al., Math & Manips à l’école primaire. Favoriser l’apprentissage des grandeurs par des manipulations. Losanges nº 15, 2011, pp. 16-21.
(6) Noël G., D’assemblages au théorème de Thalès. Losanges nº 2, 2008, pp. 56-61.
(7) Noël G. et Noël Y., Le théorème de Varignon (2). Losanges nº 11, 2010, pp. 37-45.

Marie-France Guissard, Valérie Henry et Pauline Lambrecht coordonnent avec Marie-Françoise Van Troeye les recherches du CREM liées au logiciel Apprenti Géomètre mobile.