C’est la notion de base, et elle est loin d’être claire. Dire, comme on le lit çà et là, qu’« une expérience est aléatoire si son résultat dépend du hasard » est tout sauf une définition mathématique. C’est essentiellement un pléonasme. On peut à ce propos, expliquer aux élèves l’étymologie : « alea » et « az-zahr » désignent le même objet (le jeu de dés) l’un en latin, l’autre en arabe. Pour le cycle 3, nous recommandons la définition suivante :

Les exemples d’expériences aléatoires invoqués dans le programme sont classiques (pile ou face, dés, cartes, tirages d’urnes). Dans la seconde partie, en trouvera de plus ludiques, plus proches du vécu des élèves ; nous les pensons mieux à même de leur faire comprendre les notions.

Pour les besoins de l’enseignement, les expériences dont on ne prévoit pas le résultat, peuvent être classées en trois types :

1. Les expériences liées à un tirage équiprobable.
2. Les expériences dont les issues ne sont pas équiprobables, mais que l’on peut répéter.
3. Les expériences qui ne seront pas répétées.

Les exemples de tirages équiprobables (type 1) sont largement assez nombreux et variés pour pour couvrir les besoins de l’expérimentation en cycle 3 (voir quelques descriptions dans la seconde partie). Parmi les tirages non équiprobables (type 2), se trouvent les jeux de hasard les plus anciens : les cauris et les osselets. Un cauri, ou porcelaine, est un coquillage qui peut tomber de deux façons (cf. plus bas). Les osselets (en forme d’astragale de mouton ou de porc) sont surtout utilisés en France comme jeu d’adresse, mais ils ont servi de « dé à 4 faces » non équiprobables depuis la plus haute antiquité, et c’est encore le cas dans de nombreux pays. Pour autant, nous ne les recommandons pas en classe, pour deux raisons. L’une est le coût pour les acheter en quantité suffisante, l’autre est la difficulté pour les élèves d’identifier les 4 faces.

Quel intérêt pédagogique y a-t-il à réaliser des expériences du type 2 ? Il est double. D’une part, elles fournissent un cadre naturel où les issues ne sont pas équiprobables. D’autre part, comme la probabilité n’est pas connue a priori, il n’y a pas d’autre moyen de l’approcher que de répéter l’expérience, ce qui devrait étayer une bonne intuition de la loi des grands nombres. On ne doit pas se cacher pour autant une difficulté théorique majeure. Répéter une expérience « dans les mêmes conditions » requiert un postulat, un acte de foi : qui garantit que deux cauris différents sont strictement identiques ? Qui dit que la probabilité de chaque face ne dépend pas de la hauteur de chute ? De la température ? Le jeu de fléchette est un bon moyen pour les élèves de comprendre la difficulté : la probabilité de chaque zone de la cible dépend clairement de l’adresse du lanceur, de sa distance à la cible et de son état de fatigue.

Quid du type 3 ? Notre conseil est de l’éviter prudemment. Malheureusement, ce ne sera peut-être pas possible, à cause des questions d’élèves auxquelles il faudra bien répondre. Les contacts que ceux-ci peuvent avoir eu avec le mot « probabilité » ou avec une quantification des « chances » d’un évènement, seront le plus souvent du type 3. « Il y a 50 % de chances qu’il pleuve cet après-midi ». Certes, on ne sait pas s’il va pleuvoir cet après-midi, mais le soir venu, l’évènement se sera produit ou non ; et aucun autre après-midi identique ne surviendra dans l’histoire pour compiler des statistiques sur la répétition de l’expérience. Les « 50 % de chances » sont le résultat d’une modélisation compliquée, à laquelle pas grand-monde n’a accès. Il n’y a pas vraiment de sens à leur donner autre qu’un « degré de croyance », totalement subjectif. Les sites de paris en ligne se sont multipliés ces dernières années. Ils donnent des probabilités ou des « cotes » (inverses de probabilités) pour toutes sortes d’évènements, des plus farfelus aux plus graves, en passant bien sûr par les résultats sportifs.

Si vous lisez cet article après le 19 juillet 2026, vous savez qui a remporté la coupe du monde de foot. À l’heure où nous écrivons, cela fait des mois que les sites de pronostics donnent les probabilités de victoire de chaque pays, comme celles de l’image ci-contre. Elles sont calculées de manière à maximiser les gains des sites de paris, mais n’ont strictement aucune base scientifique ni aucune valeur prédictive. Une fois le résultat connu, personne ne peut attaquer un site de paris pour fausse prédiction : même si la France avait 90 % de chances de gagner, elle peut très bien avoir perdu : « la faute à pas de chance » !

Un résultat d’une expérience aléatoire, est nommé dans les programmes « issue ». C’est effectivement une des traductions de l’anglais « outcome ». Elle est plus simple que le traditionnel « éventualité », mais présente l’inconvénient d’une ambiguïté avec le sens de « sortie » (voie sans issue, issue de secours), qui est familier aux enfants. Mais puisque les programmes le stipulent, gardons « issue ». Pour autant, on pourra se dispenser du grandiloquent « univers », pourvu que les élèves aient compris que les issues (et leur ensemble) sont le résultat d’un choix, d’une convention, d’un codage.

Sur les expériences aléatoires invoquées dans le programme, les évènements sont trop peu distincts des issues. Si on explique qu’à pile ou face l’ensemble constitué de la seule issue « pile » est un évènement, on est sûr de perdre aussitôt les 3/4 de la classe. Dans le cas fini (le seul abordé ici), un évènement est un ensemble d’issues et réciproquement ; mais cette définition cache une difficulté pédagogique majeure : quelle description donne-t-on d’un évènement ? Dans les cas les plus simples, comme le jeu de dés, il est toujours possible d’énumérer les issues. Mais même dans ce cas, les exemples qui sont donnés parfois, introduisent des notions qui n’ont rien à faire avec le thème de la séquence. Écrire « Le résultat du dé est pair » sous la forme {2,4,6} mobilise des notions d’arithmétique, mais n’a aucun intérêt probabiliste. Il sera plus utile de verbaliser un évènement sur le prochain tirage du loto (« le tirage contiendra le 23 », « tous les nombres du tirage seront inférieurs à 40 »), de donner des exemples d’issues qui le réalisent ou non, se rendre compte qu’il est impossible de l’énumérer, parier sur sa réalisation samedi prochain.

Changer de codage à partir d’une même expérience (dés, fléchettes, roue de la fortune), peut aider à comprendre que les évènements sont des ensembles d’issues (voir plus loin l’exemple du dé bicolore). Quelle que soit l’expérience aléatoire de départ, une fois choisi un évènement, on peut toujours la résumer en un jeu de pile ou face, codé de façon binaire : l’évènement est réalisé ou non.

Concernant les termes « probable » et « peu probable », recommandés pour distinguer les probabilités supérieures ou inférieures à 0,5, mieux vaudrait en dispenser les élèves : va-t-on leur faire croire qu’un évènement de probabilité 0,499 est peu probable, tandis qu’il devient probable à 0,501 ? Plus raisonnablement, les paris sur le loto peuvent être l’occasion de comprendre que certains évènements, bien que possibles, sont si peu probables qu’ils ne se produisent que très rarement, voire jamais (« le prochain tirage est 1,2,3,4,5 »).

Les élèves doivent être à même de citer des évènements sur lesquels ils ne parieraient pas : « même issue dix fois de suite » à pile ou face ou aux dés, « ma date de naissance sort au loto », « la prochaine voiture qui passe sera peinte en arc-en-ciel ». Ils doivent aussi comprendre que le contraire d’un évènement de faible probabilité, a de fortes chances de se produire.
Il devront aussi distinguer dans les situations identifiées comme expérience aléatoire, celles dont les issues sont équiprobables (pile ou face, dés cubiques, cartes, urne, loto), des autres (cauris, dés parallélépipédiques, fléchettes, couleur des voitures qui passent).

Le programme se limite, à juste titre, à des probabilités qui s’expriment sous forme de fractions simples. Attendre que l’élève soit capable de calculer des probabilités dans les cas faciles (pile ou face, dés, urnes, roue de la fortune) est raisonnable. À la suite d’une séquence sur les fractions, on passera de « a chances sur b », à « probabilité égale à a/b », puis à l’écriture décimale, voire à un pourcentage de chances. On peut attendre que l’élève comprenne que la somme des probabilités d’un évènement et de son contraire est 1. On ne peut pas attendre qu’il ou elle sache calculer des probabilités dans des situations compliquées. Cela n’empêche pas de donner certains résultats, en demandant de les admettre (pile ou face, dés, loto).

Pour les classes de CM2 et de 6^e, le programme demande d’introduire auprès des élèves la notion d’indépendance. Elle est particulièrement difficile, et souvent contre-intuitive. L’expérience montre que l’indépendance des tirages de deux dés pose de gros problèmes. Qu’il y ait deux fois plus de chances d’obtenir un trois et un six qu’un double six heurte le bon sens de la plupart des élèves. On pourra utiliser des résultats répétés, à pile ou face, aux dés ou au loto, et des tableaux à double entrée, pour faire constater que le second résultat n’est pas influencé par le premier.

Les élèves peuvent connaître le « toss » : le tirage de début de match au foot ou au rugby. Pour autant nous ne recommandons pas de jouer à pile ou face avec de vraies pièces de monnaie. D’une part, distinguer sur une pièce quelle est la « face face », quand aucun visage n’y est représenté, est une compétence à acquérir, qui n’a aucun rapport avec les probabilités. La seconde raison est matérielle : comment rassembler suffisamment de pièces pour que chaque élève en lance une dizaine à la fois ? Et le bruit ? Et les pièces qui tombent par terre et qui roulent indéfiniment au lieu de se coucher sagement sur une de leurs deux faces ?

Nous recommandons plutôt d’investir dans un sac de jetons bicolores, en plastique ou en mousse (moins bruyants et plus stables). L’achat sera rentabilisé par d’autres expériences : roulette, loterie ou loto. Prévoir au moins 10 jetons par élève. L’expérience aléatoire de base est bien celle du jeu de pile ou face : lancer un jeton et observer la couleur de la face visible. Les issues peuvent être codées d’un mot (jaune ou rouge), d’une lettre (J/R) ou de toute autre manière binaire.

Trois expériences sont à réaliser sur le jeu de pile ou face, et éventuellement répétées (voir dans la troisième partie la séquence réalisée en CM2).

1. Chaque élève lance dix fois un même jeton, et note les dix observations. Il compte combien de fois chacune des deux issues est apparue. Les résultats de la classe sont mis en commun dans un tableau et traduits en deux diagrammes en barres, un pour chaque couleur. Normalement, aucun élève ne devrait avoir obtenu 10 fois la même issue (probabilité 2/1024 pour un élève, 5 % de chances sur une classe de 26 élèves). On comptera les nombres totaux de jetons jaunes et rouges sur toute la classe, et on les divisera par le nombre total.
2. Chaque élève place dix jetons dans un gobelet, le secoue, puis le renverse sur sa table et note combien de ses jetons sont jaunes et combien sont rouges. Les résultats de la classe sont mis en commun dans un tableau et traduits en deux diagrammes en barres. On observera la similarité de ces diagrammes entre eux et avec les précédents. Là encore, on comptera les nombres totaux de jetons jaunes et rouges sur toute la classe, et on les divisera par le nombre total.
3. Le sac entier de jetons est secoué, puis renversé sur une table (assez grande). Des élèves, répartis en deux équipes de 3 de chaque côté de la table, trient les jetons d’une même couleur (en faisant des tas de 10) et les comptent. On répète l’expérience de manière à ce que chaque élève ait compté au moins une fois. À chaque fois on obtient un nombre de jaunes et de rouges. On calculera le rapport des deux nombres au nombre total, sous forme de fraction, sous forme décimale et sous forme de pourcentage.

Pour conclure la série, on pourra sommer tous les résultats obtenus aux expériences 1., 2. et 3., et constater que les fractions globales sont d’autant plus proches de 1/2 que le nombre d’observations est élevé (loi des grands nombres). Ceci pourra être mis en évidence par une courbe de fréquences en fonction du nombre de lancers.

Comprendre la différence entre une situation équiprobable et une qui ne l’est pas est un objectif important. Il s’agit donc de montrer aux élèves un « dé à deux faces » non équiprobables. On rencontre souvent l’exemple des punaises, par exemple ici, mais nous ne le recommandons pas en cycle 3 pour des raisons évidentes de sécurité. Sur le même modèle, on pourra utiliser un sac de cauris (10 par élève). D’un cauri posé sur une table, on ne retiendra que le fait que son ouverture soit visible ou non, à coder là encore de manière binaire (O/F, 0/1 ou autre). Les trois expériences ci-dessus peuvent être répétées sur les cauris, et leurs résultats comparés avec ceux obtenus sur des jetons.

Pour compléter la séquence « pile ou face », les élèves seront invités à proposer leurs propres expériences aléatoires binaires, en discutant leur proposition : en quoi l’expérience est-elle aléatoire ? Quelles sont les deux issues ? Comment sont-elles codées ? Les deux issues sont-elles équiprobables ? Sinon, est-il possible d’évaluer leurs probabilités ?

Exemples (en espérant que les élèves en trouveront d’autres) :

• Je tire une carte d’un jeu de 52 cartes : rouge ou non ? Cœur ou non ? Figure ou nombre ?
• Je pioche à l’aveugle une chaussure dans un placard où plusieurs paires ont été placées : chaussure gauche ou chaussure droite ?
• La personne devant moi à la boulangerie achète-t-elle une baguette ou non ?
• Je sors de l’école : le feu pour traverser est-il orange/rouge ou bien vert ?
• La prochaine voiture qui passe dans la rue sera-t-elle blanche ?
• Le prochain avion qui passera dans le ciel ira-t-il vers la gauche ou vers la droite ?

Différents dés pourront être utilisés pour les objectifs du programme.

Les dés classiques sont déjà familiers aux élèves et facilement obtenus en quantités suffisantes en faisant appel aux ludothèques familiales. Il sera utile de faire remarquer que écrire le chiffre 5 quand on voit 5 points noirs sur une face est le résultat d’un codage. Comme dans le cas des jetons, on pourra faire observer que lancer deux fois de suite le même dé, ou bien lancer simultanément deux dés revient au même. Les résultats de lancers successifs de deux dés, cumulés sur toute la classe, pourront être rassemblés dans un tableau 6×6 à double entrée. Ce tableau permettra d’expliquer que « obtenir 3 et 6 » est deux fois plus probable que « obtenir 3 puis 6 » ou « obtenir deux 6 ».

On pourra se munir d’un jeu de dés blancs, sur lesquels on écrira des lettres ou on collera des pastilles de couleur, pour faire comprendre qu’une issue est le résultat d’un codage. Par exemple, sur un dé à 3 faces rouges, 2 vertes et une jaune, on pourra calculer les probabilités des trois couleurs, et faire remarquer l’analogie avec les évènements {1,2,3}, {4,5} , {6} d’un dé classique.

On trouve dans le commerce des dés à 8, 12 ou 20 faces, adaptés aux jeux de rôle. Une séquence sur les polyèdres pourra être l’occasion de lancer des dés tétraédriques, octaédriques ou icosaédriques, fabriqués en classe. Des pastilles de couleur sur leurs faces permettront de produire des évènements dont la probabilité est une fraction donnée. Les élèves pourront eux-mêmes fabriquer des dés pour lesquels la probabilité de « rouge » sera 2/5, 3/8, 7/10, etc. Dans tous les cas la probabilité « théorique » devra être confirmée empiriquement par le résultat d’un nombre suffisant de lancers.

Des dés à faces rectangulaires pourront être l’occasion d’une discussion intéressante. Le calcul exact de la probabilité de chaque face est un problème difficile, de niveau très supérieur à celui du cycle 3. Mais à l’issue d’une séance sur les dés cubiques, les élèves pourront être encouragés à émettre des conjectures sur des dés « pavés droits » : les probabilités de deux faces opposées sont-elles égales ? Les probabilités sont-elles dans le même ordre que les aires des faces ? Sont-elles proportionnelles aux aires des faces ? Sur un pavé d’arêtes 2 cm, 3 cm, 6 cm, qu’ils construiraient eux-mêmes, les élèves pourraient tester leurs conjectures.

Les élèves sont probablement moins familier.e.s avec la roulette des casinos qu’avec la roue de la fortune et le jeu de fléchettes (du moins l’espère-t-on). On évitera de rechercher une démonstration sur youtube. Des dizaines de vidéos y parlent de la roulette. La plupart proposent des méthodes infaillibles pour gagner… et disent à peu près n’importe quoi sur les probabilités. On pourra utiliser un simulateur de tirage en ligne pour démarrer. Et puis, une fois compris qu’il s’agit de tirer au hasard un nombre entre 0 et 36, on se contentera d’un sac en tissu opaque, garni de 37 des jetons du jeu de pile ou face, que l’on numérotera de 0 à 36. Pour augmenter le réalisme, ils pourront être vert pour le 0, noirs ou rouges pour les autres .

Il est inutile de rentrer dans les subtilités du jeu. On se contentera des évènements de base : rouge/noir, pair/impair, passe/manque. Tous sont des ensembles de 18 nombres :

• rouge 1,3,5,7,9,12,14,16,18,19,21,23,25,27,30,32,34,36 ; noir les autres
• pair 2,4,6…36 ; impair 1,3,5… 35
• manque de 1 à 18 ; passe de 19 à 36.

Dans tous les cas le zéro est « à la banque » (personne ne gagne). On pourra commencer par faire énumérer aux élèves les issues de chacun des évènements qui combinent trois paris : « rouge et pair et manque » est {12,14,16,18}, « rouge et impair et manque » est {1,3,5,7,9}, etc. Ils doivent comprendre qu’ils ont plus de chances de gagner les trois paris en misant sur des évènements à 5 issues que sur des évènements à 4 issues.

Sans transformer la classe en casino, on pourra effectuer ensuite une séance de tirages. Tous les élèves sauf un, (le croupier), choisissent trois paris : manque ou passe, pair ou impair, rouge ou noir. Le croupier tire du sac un jeton et annonce, comme au casino, le nombre, sa couleur, sa parité et sa grandeur : « 12 : rouge, pair, manque » ; ou bien « zéro à la banque ». Il remet ensuite le jeton dans le sac. Chaque élève note les paris qu’il a gagnés parmi les trois. On recommence autant de fois qu’il y a d’élèves en changeant de croupier à chaque fois. Chaque élève dispose alors d’un certain nombre de triplets de paris, les uns gagnés les autres perdus. Il ou elle résumera ses résultats en 4 nombres : les nombres de fois où les trois paris ont été perdus, où un est gagné les deux autres perdus, où deux sont gagnés l’autre perdu, où les trois sont gagnés. Chacun réalisera un diagramme en barres pour visualiser ses 4 nombres. Ensuite, tous les résultats de la classe seront cumulés en un nouveau diagramme en barre, qui sera plus « lisse » que les diagrammes individuels (loi des grands nombres).

Sans rentrer dans les détails des calculs, les élèves pourront comprendre que les résultats des paris ont chacun pour probabilité 18/37 ce qui est légèrement inférieur à 1/2. La probabilité de chaque couple de paris est de 9/37, la probabilité de chaque triplet de 4/37 ou 5/37.

Les urnes dans lesquelles on tire des boules blanches ou noires meublent l’enseignement des probabilités au moins depuis Laplace en 1774 : un quart de millénaire ! Faut-il pour autant les jeter aux oubliettes ? Pas forcément. Recyclons donc notre sac garni de jetons du jeu de pile ou face : ils tiendront avantageusement lieu d’urne et de boules.

On pourra commencer par une loterie binaire : 10 jetons gagnants (marqués au feutre), 20 perdants. Le premier objectif est de comprendre que « tirer au hasard » signifie que chaque jeton a les mêmes chances d’être tiré (issue), et que donc la probabilité d’obtenir un jeton gagnant (évènement) est 10/30. Mais ici apparaît une subtilité dont ils n’ont pas fini d’entendre parler. Dans un premier temps, on demandera à chaque élève de tirer « avec remise » : il ou elle pioche un jeton dans le sac, note s’il est gagnant ou perdant, et le remet dans le sac. Chacun.e a les mêmes chances de gagner : 10/30. Dans la seconde expérience, le tirage est « sans remise » : l’élève garde le jeton qu’il vient de piocher. Sans forcément faire le calcul, les élèves doivent comprendre que le tirage d’un billet gagnant diminue les chances des suivants. Le calcul peut être fait sur le premier tirage : si c’est un billet gagnant, la probabilité de gagner pour le suivant est 9/29, si c’est un billet perdant, la probabilité de gagner pour le suivant est 10/29.

Pour insister sur la différence entre issue et évènement, on pourra à la fois numéroter les jetons, et les marquer en « perdu » (20 d’entre eux) « gagné » (8 d’entre eux) « gros lot » (2 d’entre eux).

Le tirage du loto à la télévision est familier à la plupart des élèves. C’est une situation très riche pédagogiquement. Pour autant, lancer les élèves directement sur le site de la FDJ serait une lourde erreur : la règle du jeu, détaillée ici sur plusieurs pages, est parfaitement indigeste. On téléchargera ici des historiques de tirages qui, une fois élagués des nombreuses colonnes superflues, pourront s’avérer utiles.

Nous oublierons le numéro chance et autres multiples tirages, pour ne conserver que la situation de base : le joueur coche 5 numéros sur une grille qui en comporte 49. Ensuite, un tirage de 5 numéros est effectué à la télévision. Une grille est gagnante si elle a 2, 3, 4 ou 5 numéros en commun avec le tirage de la télévision. Il pourra être utile de projeter en classe un tirage, pour que les élèves comprennent qu’il s’agit d’un tirage « sans remise » (on n’a jamais deux fois le même nombre), et que seul l’ensemble des 5 nombres compte (ils sont classés dans l’ordre croissant).

Il pourra être utile aussi de répéter le tirage avec le matériel disponible en classe : le sac en tissu opaque, rempli de 49 jetons numérotés de 1 à 49. Cinq élèves l’un.e après l’autre viennent tirer un jeton sans remise et inscrivent leur nombre au tableau. Puis on écrit les 5 nombres dans l’ordre croissant. On recommence jusqu’à obtenir une dizaine de tirages. Ensuite, on pourra projeter une centaine de tirages extraits des historiques de la FDJ, qui pourront servir de support à des conjectures. Ce serait une bonne idée de distribuer à chaque élève une grille (généreusement offerte par la FDJ via le tabac du coin), afin qu’il ou elle marque son propre pari.

Ensuite, chaque élève devra proposer un exemple d’évènement et dire pour chacun quel degré de probabilité il ou elle lui accorde. Pour se guider, il ou elle aura les tirages effectués en classe et ceux qui seront projetés. Sur ces exemples, l’évènement proposé s’est-il produit : jamais, quelques fois, souvent, toujours ? Il n’est évidemment pas attendu des élèves de savoir calculer les probabilités théoriques, juste de savoir dire si un tirage particulier réalise l’évènement proposé. Ensuite chaque élève regardera chez lui le prochain tirage du loto, et pourra dire au retour à l’école si son évènement a été réalisé ou non. On projettera en classe ce dernier tirage, et les élèves commenteront.

Voici quelques exemples d’évènements, avec leurs probabilités théoriques.

• Le tirage est exactement celui du joueur : 1/1 906 884
• Le tirage contient 4 nombres parmi ceux du joueur : 220/1 906 884
• Le tirage contient 3 nombres parmi ceux du joueur : 9460/1 906 884
• Le tirage contient 2 nombres parmi ceux du joueur : 132 440/1 906 884
• Le tirage contient 1 nombre parmi ceux du joueur : 678 755/1 906 884
• Le tirage contient au moins 1 nombre parmi ceux du joueur : 820 876/1 906 884
• Le tirage ne contient que des nombres entre 10 et 40 : 169 911/1 906 884
• Le tirage contient deux nombres entre 1 et 20, 3 entre 21 et 49 : 694 260/1 906 884
• Le tirage contient un nombre entre 0 et 10, un entre 11 et 20, etc. : 90 000/1 906 884
• Le tirage ne contient que des nombres pairs : 42 504/1 906 884
• Le tirage contient deux nombres pairs et trois impairs : 634 800/1 906 884

Ce que nous disons ici des mains au Bridge (tirages de 13 cartes parmi 52) peut se transposer facilement à d’autres jeux de cartes : Belote (plus simple), Tarot (beaucoup plus compliqué), etc. L’activité proposée est proche de celle du loto. Il s’agit de décrire et identifier des évènements. L’élève devra être capable de dire si une main donnée (issue) réalise ou non l’évènement annoncé. Nous indiquerons en outre une piste de réflexion vers la notion d’espérance mathématique (hors programme).

Le bridge se joue avec un jeu de 52 cartes, 13 de chaque couleur : pique, cœur, carreau, trèfle. Dans chaque couleur, il y a 4 « honneurs » : l’as (A), le roi (R), la dame (D) et le valet (V). les 9 autres cartes sont numérotées de 2 à 10. Une « main » se compose de 13 cartes tirées (sans remise) parmi les 52 du jeu, et classées dans l’ordre par couleur (pique, puis cœur puis carreau puis trèfle), et dans une même couleur par valeur, comme ci-dessus.
On pourra demander à chaque élève d’amener un ou plusieurs jeux, de manière que chacun.e ait un jeu à disposition. L’élève commencera par tirer et ordonner 13 cartes de son jeu, on obtiendra donc autant de mains que d’élèves.
Ensuite, chaque élève devra proposer un exemple d’évènement et dire quel degré de probabilité il ou elle lui accorde. Pour un évènement donné, chacun.e sera invité à vérifier s’il est ou non réalisé sur la main qu’il ou elle a tiré. L’évènement proposé s’est-il produit : jamais, quelques fois, souvent, toujours ? Il n’est évidemment pas attendu des élèves de savoir calculer les probabilités théoriques, juste de savoir dire si un tirage particulier réalise l’évènement proposé et évaluer grossièrement ses chances.
Voici quelques exemples d’évènements. Pour chacun, nous donnons sa probabilité théorique, sous forme de pourcentage. Il n’est pas question d’expliciter les calculs. On pourra juste indiquer que le nombre total d’issues (mains de 13 cartes parmi 52) est supérieur à 635 milliards.

• La main ne comporte aucun honneur : 0,4 %
• La main comporte exactement 4 honneurs : 27 %
• La main comporte au moins 4 honneurs : 62,7 %
• La main comporte au moins 8 honneurs : 0,9 %
• La main n’a aucun as : 30,4 %
• La main comporte les quatre as : 0,3 %
• La main n’a aucune carte à cœur : 1,3 %
• La main comporte 4 cœurs : 23,9 %
• La main comporte au moins 4 cœurs : 41,5 %

Nous indiquons pour finir un prolongement possible, hors des objectifs du programme mais tout à fait à la portée des élèves de cycle 3.

Au Bridge, quand les 4 mains ont été distribuées, chaque joueur compte ses « Points d’Honneur » : 4 pour chaque as, 3 pour chaque roi, 2 pour chaque dame, 1 pour chaque valet. Le total lui donne une idée de la valeur de sa main, et donc des enchères qu’il pourra annoncer. Pour commencer, on invitera donc chaque élève à compter les points d’honneurs (PH) de la main qu’il a sur sa table. Ensuite, on fera remarquer que le nombre maximum de points d’honneur dans une main est de 37 : 4 as, autant de rois et de dames, 1 valet. Les chances que cela se produise sont infimes. Il y a peu de chances que PH soit nul : 0,4 % de chances qu’une main ne comporte aucun honneur. Entre les deux, la probabilité de chaque valeur de PH est assez difficile à calculer. Elle est donnée ici. On y lit par exemple que la probabilité que PH soit égal à 5 vaut 5,2 %, à 10 9,4 %, à 15 4,4 %… On peut en déduire l’espérance mathématique de PH : elle est proche de 10.

Pour comprendre cette notion, imaginons que chaque joueur reçoive pour sa main un nombre d’euros égal à ses points d’honneur. Évidemment rien n’est gratuit : pour jouer à un jeu où on peut gagner jusqu’à 37 euros, il faut payer un droit d’entrée. Quel doit être ce droit d’entrée pour que le jeu soit équitable ? La réponse est « l’espérance mathématique du gain », soit 10 euros. Pourquoi ? Parce que sur un très grand nombre de mains, la somme que devra verser la banque sera égale à la somme de toutes les valeurs de PH ; soit 0 multiplié par le nombre des mains à PH 0, plus 1 euro multiplié par le nombre des mains à PH 1,… plus 10 euros multiplié par le nombre des mains à PH 10, etc. La loi des grands nombres dit que le nombre des mains d’un PH donné ne devrait pas être trop loin du nombre total multiplié par la probabilité : sur 100 mains, à peu près 5 devraient avoir 5 points d’honneur, 9 10 points d’honneur, 4 15 points d’honneur. Le jeu sera donc équitable si chaque joueur paie la somme que la banque devra débourser, divisée par le nombre de joueurs. C’est l’espérance de gain. Elle est égale à la somme des valeurs multipliées par leurs probabilités : 0 fois 0,004… plus 5 fois 0,054… plus 10 fois 0.094… plus 15 fois 0,044, etc.

On ne demandera pas aux élèves de comprendre le détail du calcul. Par contre, on peut leur faire comprendre le jeu. Puisque chaque élève a calculé son nombre de points d’honneurs, on pourra calculer la somme de tous les points d’honneur de la classe. Si la loi des grands nombres ne ment pas, le nombre total de points d’honneur de la classe, divisé par le nombre d’élèves (à savoir la moyenne arithmétique) devrait être proche de 10 : on parie ?

Cette première situation proposée aux élèves utilisait des jetons en mousse bicolores : une face rouge, une face jaune. Chaque élève, muni d’un jeton, devait lancer ce jeton dix fois de suite et noter pour chaque lancer la face visible obtenue. Il a été communément admis qu’il n’y avait que deux résultats possibles : jaune ou rouge. Le codage retenu pour la notation a été un point de couleur. J’ai défini avec les enfants ces deux résultats comme les deux « issues » possibles. « Ah, maîtresse, c’est comme l’issue de secours ? » L’occasion de constater, comme il l’a été dit plus haut, que le terme choisi peut prêter à confusion, et que les mots demandent à être définis clairement avec nos élèves. Dans la suite de la séquence, j’ai plus spontanément utilisé le mot « résultat ».

Avant de commencer, j’ai demandé aux élèves quelle était leur hypothèse sur le résultat qu’on obtiendrait : aurait-on plus de jaunes ou plus de rouges ? Voici les réponses, que j’ai gardées au tableau afin d’y revenir plus tard et de les comparer avec les résultats.

• « On ne peut pas savoir parce que les deux faces sont égales. »
• « On a 50 % de chances d’avoir jaune ou rouge, une chance sur deux. On aura 5 jaunes et 5 rouges globalement. »
• « Ça dépend si on lance fort ou haut. »
• « Ça dépend si rouge c’est plus lourd que jaune. »
• « C’est le hasard. »
• « Le hasard, ça n’existe pas. »
• « Ça dépend de la face qui est dessus quand on lance. »

Chaque élève a donc procédé à sa série d’expériences et comptabilisé points jaunes et rouges, suite à quoi nous avons mis en commun les résultats. Il a d’abord fallu compter le nombre de lancers qui avaient été effectués par l’ensemble de la classe : ce jour-là, il y avait 24 élèves présents, chacun d’eux ayant effectué dix lancers, nous avons obtenu au total 240 résultats. Après collecte et calcul, nous avons comptabilisé 124 jaunes et 116 rouges. Nous avons obtenu une fréquence pour chaque couleur, que nous avons écrite sous forme fractionnaire : 124/240 pour jaune et 116/240 pour rouge. En observant ces résultats, j’ai demandé aux élèves de revenir à leurs hypothèses. En effet, en lançant notre jeton, on ne peut pas savoir quel sera le résultat, car les deux faces sont identiques : c’est précisément la définition d’une expérience aléatoire.

Réaction des élèves : On aura « globalement » une chance sur deux d’avoir jaune ou rouge, car 124 c’est juste un peu plus que la moitié de 240, 116 c’est juste un peu moins : on n’est pas loin.

Ils ont admis que, la face jaune n’étant pas plus lourde que la rouge, quel que soit le sens du jeton au départ, les deux faces ont tout autant de chances de tomber, qu’on lance fort ou haut : une situation d’équiprobabilité.

À la fin de cette première séance, mes élèves ont déjà atteint de manière assez intuitive plusieurs objectifs du programme :

• identifier une expérience aléatoire,
• identifier les issues possibles d’une expérience aléatoire simple,
• reconnaître une situation d’équiprobabilité.

Au-delà de ça, ils comprennent déjà que chercher une probabilité nécessite d’observer les rapports entre les nombres et de collecter des fréquences.

Pour la troisième séance, on augmente le nombre de lancers : on va renverser le sac de 300 jetons, plusieurs fois, sur le sol de la classe. Il s’agit de compter par équipes quatre lancers successifs et de noter consciencieusement le nombre de jaunes et de rouges obtenus. On vérifie bien après chaque compte que le total de 300 est bien retrouvé avant de continuer.

Au total, on a lancé 4 fois 300 jetons, soit l’équivalent de 1200 lancers. « C’est beaucoup plus que 240 ! » Un enfant de chaque groupe est venu écrire dans un tableau les résultats comptabilisés.

Les enfants ont facilement exprimé que la totalité des jetons représentait 1200/1200 soit 1 ou 100 % des jetons et que « presque la moitié » c’était « presque 50 % ». Un graphique approximatif « à main levée » leur a permis d’exprimer : « plus on compte de jetons, et moins il y a de différence entre les rouges et jaunes par rapport à la moitié », « on se rapproche d’une chance sur deux ».

Pendant qu’un groupe comptait les jetons au sol, j’avais confié à chacun des autres élèves un dé sur lequel j’avais collé des gommettes bicolores : deux faces jaunes, 4 rouges. Chacun devait lancer dix fois son dé et noter quelle couleur était obtenue à chaque lancer. On a gardé le même codage que pour les jetons : point jaune, point rouge. Spontanément, à l’énoncé de l’exercice, les enfants ont fait des hypothèses : « Mais maîtresse c’est sûr, on aura plus de rouges puisqu’il y a plus de faces rouges. » « Il y a deux fois plus de rouges sur le dé, alors on aura du rouge deux fois plus souvent. » « Il y a un tiers de jaunes, deux tiers de rouges. » « Ça fera 0,33 chances d’avoir un jaune. » « Maîtresse le dé il est truqué, c’est obligé qu’on a de plus de chances de tomber sur rouge. »

À partir des données recueillies lors des trois premières séances avec les lancers de jetons, nous avons réalisé trois diagrammes pour visualiser les résultats.

C’était la première fois que mes élèves réalisaient des graphiques, aussi y ai-je consacré toute une séance. Se repérer sur le papier millimétré, nommer l’abscisse et l’ordonnée, réfléchir aux informations à représenter, à la légende, chercher les points puis tracer le tout avec précision, ce fut un exercice difficile. Néanmoins, dans le contexte de la séquence, c’est un travail qui avait du sens : les données avaient été recueillies par les élèves suite à leurs propres expériences, et l’aspect concret de la démarche lié l’affect développé lors de l’activité a permis d’obtenir l’investissement et l’application de tous.

J’ai choisi de garder l’expression des résultats sous forme fractionnaire pour ne pas cumuler les difficultés, car à ce stade de la séquence, c’est ce qui leur semblait le plus évident.

Nous avons pu comparer les graphiques :

Si les deux premiers graphiques sont légèrement différents, le troisième a permis aux enfants de visualiser ce qu’ils avaient déjà pressenti : plus on a d’expériences, plus les fréquences se rapprochent de la moitié des lancers. Sur le graphique, on distingue à peine la différence entre la barre jaune et la barre rouge. Les enfants ont conclu que si on lançait encore plus de jetons, les deux barres finiraient par atteindre quasiment le même niveau. Ils ont eu l’intuition de la loi des grands nombres.

Avec les jetons et les dés, les élèves ont pu expérimenter des situations équiprobables, où chaque face de jeton ou chaque face de dé a autant de chances de sortir que les autres. À la veille du long week-end de l’ascension, j’ai remis à chaque enfant un cauri avec pour mission de le lancer dix fois chaque jour, et de noter tous les résultats. Chacun d’entre eux devait revenir le lundi suivant avec 50 résultats, soit pour les 25 élèves présents un total de 1250 lancers. Nous avons déterminé les issues possibles : ouvert sur le dessus ou fermé. Le codage choisi a été le suivant : O pour ouvert, F pour fermé.

Avant de partir, j’avais demandé quelles étaient leurs hypothèses :

• « Il va tomber plus souvent sur le côté fermé, parce que le côté ouvert est plus plat. »
• « Le côté fermé est arrondi, donc il va rouler et tomber sur le côté ouvert. »
• « On aura plus de résultats pour le côté fermé. »

Le lundi, les résultats de chaque élève ont été notés et enregistrés. Alors que les décomptes de jetons étaient des résultats collectifs et anonymes, les comptes de dés bicolores et des cauris étaient nominatifs. L’objectif était que chaque élève soit responsable de son recueil de données, et se rende compte de l’impact de son propre nombre dans le travail d’ensemble. Les données obtenues ont été regroupées dans un tableur, automatisant les calculs de fréquences cumulées et le tracé des courbes de fréquence. Ce tableur a servi de base aux deux séances suivantes. Il est fourni en document d’accompagnement à l’article.

Pour finir la séquence, nous avons travaillé sur les trois ensembles de données recueillies pour les jetons, les dés et les cauris. En cumulant les données successives pour chaque situation, nous avons pu calculer suffisamment de fréquences pour réaliser des courbes. À partir des pages du tableur où les données avaient été saisies, les calculs et les tracés automatisés, les enfants ont tracé leur graphique, dans lequel ils ont placé les points un par un.

Trois équipes ont été constituées pour élaborer une représentation de chaque situation. Les élèves ont pu travailler ensemble et s’entraider pour cet exercice difficile : lire les données du tableau, en extraire les informations utiles (lancers cumulés, fréquences des deux issues possibles), trier celles à représenter dans le graphique, réfléchir aux graduations, ne pas oublier d’indiquer le titre et la légende, le tout avec soin et minutie.

Pour les lancers de jetons, les enfants ont remarqué qu’au bout d’un moment « les courbes se rejoignent », « c’est parce qu’on a une chance sur deux d’avoir jaune ou rouge », et « plus on lance le jeton, plus on se rapproche d’une chance sur deux ».

Pour les lancers de dés, même observation : plus il y a de lancers, plus les courbes se stabilisent pour nous donner une probabilité qui se rapproche d’un tiers pour les jaunes, deux tiers pour les rouges.

Sur la courbe des cauris, on s’aperçoit qu’ils ont plus de chance de tomber côté « fermé ». Les enfants ont fait l’hypothèse suivante : « le cauri roule sur la surface arrondie et retombe du côté plat ».

Sur les trois graphiques, les enfants peuvent observer la loi des grands nombres : plus on répète l’expérience, plus on peut affiner l’estimation d’une probabilité. C’est déjà plus que n’en exige le programme de cycle 3. En sept séances, les enfants ont expérimenté, modélisé et interprété des phénomènes aléatoires. En fin de séquence, les enfants ont collé dans leur cahier la trace écrite que vous trouverez en document d’accompagnement.