Comment expliquer la résistance des tableaux de conversion, malgré les consignes des programmes scolaires ? Comment éradiquer les slogans néfastes sur les ajouts de zéros et la valse des virgules ? Nous avons tenté auprès de publics d’élèves différents l’utilisation du glisse-nombre. Nous partageons notre expérience et notre réflexion sur ses limites.

Introduction

Cela fait des années qu’on le serine, à tous les niveaux de l’Éducation nationale. Sur Éduscol, dans ce texte de novembre 2016, on lisait sous forme de « rappel » :

« Multiplier par 10, c’est donner à chaque chiffre une valeur 10 fois plus grande, le chiffre des unités devient donc le chiffre des dizaines, le chiffre des dixièmes devient celui des unités, etc. […] Il est important que les élèves ne construisent pas la représentation d’une virgule qui se déplace. En l’occurrence, ce sont les chiffres qui se déplacent. »

Dès 2004, pour les conversions de mesure, le programme officiel de 6e déclarait que « l’utilisation des équivalences entre diverses unités est préférée à celle systématique d’un tableau de conversion ». Un texte collectif de 2012 sur « le nombre au cycle 2 » précisait :

« Pour mettre en relief ce qui se passe lors d’une conversion, il faut voir ce tableau de manière dynamique en faisant glisser les données du tableau à gauche ou à droite jusqu’à ce que l’unité dans laquelle l’on souhaite convertir se trouve dans la colonne « unités ».

Depuis, les programmes en vigueur l’ont répété à satiété :

« Un outil du type « glisse-nombre » peut être utilisé pour accompagner les divisions par 10, 100 ou 1 000 en complément de la verbalisation de la procédure en termes d’unités de numération. »

Pourtant, des dizaines de cours en ligne continuent à asséner aux élèves et à leurs enseignants qui les reproduisent avec complaisance, les deux « règles d’or » de la multiplication par dix :

• pour un nombre entier, ajouter un zéro à droite ;
• pour un nombre décimal, déplacer la virgule d’un rang vers la droite.

Les dégâts que provoquent ces deux mantras sont parfaitement documentés, par exemple dans ce texte de l’INSPE de Versailles. Comme le dit Claire Lommé, « Ce sont les nombres qui glissent et pas la virgule ». Un court article de Anne-France Acciardi résume parfaitement le problème et sa remédiation par le glisse-nombre, tant pour les puissances de dix que pour la conversion entre unités de mesure.

On trouve en ligne des dizaines de modèles de glisse-nombres, à commencer par celui du ministère. On y trouve aussi plusieurs versions numériques de l’outil, comme celui de Arnaud Durand, repris par Jean-Yves Labouche, dont les explications sont parfaitement claires.

Arrivé à ce niveau de cette trop longue introduction, une question commence à se faire jour : puisque tout cela est si bien connu, à quoi bon commettre un article de plus ?

Cette année, les deux auteurs ont testé l’outil dans leurs classes respectives : une classe de CM2 classique pour la première, une classe de CAP dans une école de migrants pour le second. Nous avons longuement réfléchi ensemble au modèle et à son usage, et nous nous sommes surtout demandé pourquoi les slogans « ajouter un zéro », « décaler la virgule » et autres tableaux de conversion fixes n’ont pas disparu depuis longtemps. Dans les deux sections suivantes, chacun.e décrira ses expériences et leurs limitations. En conclusion, nous tenterons une analyse des difficultés rencontrées, et proposerons quelques explications à la survie opiniâtre des mauvaises habitudes.

Glisse-nombre en CM2

Le problème des zéros qu’on aligne et des virgules qu’on décale, je l’ai constaté entre autres dans la manipulation des mesures. Les enfants ont l’habitude d’utiliser le tableau de conversion qu’on leur a mis dès le départ entre les mains. Vous savez, celui qu’on a utilisé, nous aussi, à leur âge et auquel on continue de s’accrocher parce que nous, « on a bien appris comme ça, y a pas de raison ». On y ajoute des zéros pour boucher les trous, on y promène les virgules, enfin, on essaie.
Il faut bien le dire, les enfants sont bien gentils, ils peuvent docilement acquérir un savoir-faire, reproduire des techniques et des automatismes, mais ils n’y comprennent pas grand-chose, surtout quand ça va à contre-sens de tout ce qu’ils sont censés apprendre par ailleurs. En réalité, on leur fait utiliser un tableau de conversion, on leur donne un savoir-faire technique, mais on ne leur apprend pas à manipuler des mesures. Or quel est l’objectif véritable ?

Voici deux exercices : un de conversion, l’autre sur les unités de mesures :

Les erreurs montrent d’une part que les relations entre les mesures et les nombres ne sont pas comprises, d’autre part que les unités de mesures non plus n’ont pas de sens pour eux ! Ben oui, quoi ? Une baguette à 80 euros, un chat qui pèse 5 kilomètres… Comment peut-on espérer que des cases à remplir sur un tableau leur apprennent à manipuler des mesures, quand les situations proposées sont déconnectées du réel et ne signifient rien ?

Qu’il y ait un sérieux problème qui se traduise en une multitude d’erreurs chez nos élèves, ce n’est plus à démontrer. Je suis sûre que chacun dans sa classe aura tout autant d’exemples à observer et à analyser. Mais constater ne suffit pas : il faut comprendre pourquoi on en est toujours là et comment le fameux « zéro qu’on rajoute », à lui tout seul, peut contaminer tout un pan du programme. Si le problème tenait à si peu, il ne devrait pas être difficile d’y remédier dans nos classes. Mais c’est loin d’être aussi simple.

Croyez-vous que les erreurs que je vous ai montrées soient issues d’évaluations diagnostiques ? Pas du tout : le pire, c’est qu’au moment du constat, les élèves ont déjà travaillé ces compétences, qu’ils sont allés en CM1 avant d’arriver au CM2, et mieux, que nous avons repris toute la numération en CM2, du concept de dizaine aux jeux d’échanges. On pourrait espérer que le sens du nombre a été compris, que la position des chiffres fait sens, qu’on a intégré l’utilité du zéro, qu’on a compris ce qui se passe de l’autre côté de la virgule.
Détrompez-vous, hélas : le travail de déconstruction a été quotidien, durant des semaines, des mois… et malgré tout, l’astuce qu’on leur a vendue comme la seule méthode validée par le maître ou la maîtresse, reste ancrée en eux, bien plus solidement que n’importe quelle autre méthode. Pour de trop nombreux élèves, on pourrait bien croire qu’il est trop tard pour déconstruire les recettes, trop tard pour confisquer le tableau de conversion.

Sur le site de l’académie d’Aix-Marseille, on présente une batterie de tableaux de conversion, avec cet exemple. Comment la virgule apparaît-elle ? Comment passe-t-on des milligrammes aux grammes ? On imagine que sur un tableau effaçable, comme cela se fait beaucoup, on va remplir les cases vides en « ajoutant des zéros » et qu’on y collera une virgule dans la bonne colonne. 

Ailleurs, dans une vidéo sur youtube, les zéros servent à « compléter les colonnes vides » (autrement dit : à boucher les trous).

Quelques images plus loin, on déplace la virgule, qui (attention !) peut même être invisible ! (Mais où est-elle donc ? D’où sort-elle ? À quoi sert-elle ? On n’en saura rien.) 

Un autre exemple ? Dans le document d’accompagnement de la vidéo des « Fondamentaux », on nous parle encore d’un « ajout de zéro » et de « décalage de la virgule » pour convertir des mesures. 

Dans les exemples précédents, on voit des zéros qui apparaissent, qui disparaissent, des virgules qui avancent et qui reculent, elles sont visibles, puis invisibles ; mais il ne s’agit pas de faire des tours de magie, de maîtriser des « trucs » qui marchent (mais pas toujours)… on n’est pas au cirque ! Non, il s’agit d’enseigner à nos élèves des vérités mathématiques qui sont immuables. 

L’utilisation du glisse-nombre est recommandée depuis longtemps, nous l’avons vu. L’outil a l’intérêt de montrer, matériellement, que ce sont les chiffres qui sont en mouvement : la virgule ne bouge pas, elle est toujours liée à l’unité. Sur la partie fixe se trouvent des repères. Les enfants ont la responsabilité, en manipulant la bande glissante, d’agir sur la position des chiffres et d’associer leur déplacement à l’opération mentale. Ils voient l’effet produit et lisent le résultat.
Les programmes précisent qu’il est important d’accompagner l’utilisation du glisse-nombre par la verbalisation des opérations réalisées : il faut donc d’abord les accompagner dans cette manipulation et parler avec les élèves pour leur donner les bons mots et les associer aux bonnes idées. Pour les enfants, ça semble d’abord plus difficile ; ils préfèrent d’ailleurs revenir rapidement au tableau de conversion qui leur donne l’illusion de réussir sans avoir à trop réfléchir.

Concrètement, dans ma classe, j’ai introduit cet outil comme une aide en remédiation pour les élèves qui avaient des difficultés, d’abord avec la compétence « multiplier et diviser par 10, 100, 1000 ». Il est apparu en pointillé : pour chaque glisse-nombre utilisé, j’ai « formé » un élève à son utilisation en fonction de la difficulté rencontrée. Cela s’est produit essentiellement le matin, lors du temps d’accueil échelonné des élèves, où un rituel mathématique est proposé en autonomie. Cela a demandé du temps, de l’attention, de la disponibilité, de l’écoute aussi, sur ce qu’ont à dire les enfants de leur difficulté, de ce qu’ils ont compris — ou pas. Ce moment est aussi un moment d’échange, de parole, de mise en mots des idées que les enfants ont en tête — le plus souvent fausses, floues, informulées. Je dirais que le temps partagé à entendre, à essayer de comprendre, pour moi, a été aussi important que l’apport du glisse-nombre lui-même. Pour les enfants , ce n’est pas si facile de manipuler cet outil, d’écrire dans les bonnes cases, de savoir dans quel sens faire glisser la bande, de lire le nombre sur les cases, ni d’associer les mots justes à ce qu’ils font. Souvent j’ai filmé les échanges. D’une part, pour les analyser à tête reposée, m’assurer que j’avais verbalisé correctement les choses pour mon élève, pour comprendre les erreurs qu’il faisait, et pour affiner la prise en main de l’outil. D’autre part, pour garder une trace des échanges. J’ai laissé en classe une boîte avec quantité de glisse-nombres dans la classe, en libre-service selon les besoins des enfants. Je les ai autorisés à en emporter un chez eux pour s’entraîner s’ils le souhaitaient.

Voici trois exemples de verbalisation.

Il s’agit ici de convertir 2 mètres en centimètres.  « Un centimètre c’est un centième de mètre, c’est cent fois plus petit. Il y aura donc cent fois plus de centimètres que de mètres. »

Pour matérialiser la multiplication par 100, on décale la bande glissante de deux crans à gauche : « on multiplie par 10, et encore par 10. »

« 2 mètres, c’est 200 centimètres. » pour montrer le décalage, et comprendre qu’on a multiplié par cent, on doit écrire des zéros : « 200 centimètres, c’est deux centaines de centimètres. »

Voici trois vidéos d’utilisation en classe : 

• Celle-ci montre une lecture de nombres dans le glisse-nombre, et une conversion simple de centimètres en millimètres.
• Celle-ci porte sur une conversion de tonnes en kilogrammes.
•  Celle-là montre un échange à l’accueil du matin, où il s’agissait d’additionner deux longueurs. Il fait verbaliser plusieurs difficultés : une mauvaise compréhension de la valeur des chiffres selon leur position et une difficulté technique d’utilisation du glisse-nombre (on n’ose pas franchir la virgule ou on n’ose pas additionner deux longueurs de même unité). C’est un moment de travail, pas un modèle : visionner cette vidéo m’a permis ensuite de corriger certaines interventions et certaines reformulations. 

Tout ceci est évidemment perfectible, car je découvre l’utilisation du glisse-nombre en expérimentant avec mes élèves. Mais ces échanges avec eux ont au moins deux intérêts : ils montrent qu’en manipulant cet outil, les enfants peuvent verbaliser ce qu’ils font, ils montrent aussi que pour l’enseignant, il est important de faire verbaliser les relations entre les nombres ou les unités de mesure et qu’il est difficile et important de mettre les mots justes sur ce qui est en train de se faire. C’est également un moyen de déceler les difficultés réelles d’apprentissage à « réparer ». Au-delà de ça, l’élève n’est pas seul devant une fiche photocopiée avec un tableau de conversion à remplir, en collant des virgules à gauche et à droite ou en bouchant les trous avec des zéros qui n’ont aucun sens. Il construit sa réflexion, verbalise ses difficultés, se corrige, réussit. 

J’ai testé le glisse-nombre avec d’autres élèves que les miens : ceux que je garde le soir à l’aide aux devoirs et qui ont besoin d’accompagnement. Une de ces élèves est arrivée avec un tableau de conversion et des batteries d’exercices auxquels elle n’avait rien compris. Je lui ai montré le glisse-nombre, on a fait quelques conversions ensemble, et puis, ce soir-là, comme elle se sentait en réussite, je lui ai proposé de repartir avec le glisse-nombre pour continuer à l’utiliser en classe. Quelques jours plus tard, elle est revenue : « ça m’a bien aidé le glisse-nombre ! » Et puis, chose surprenante, elle qui d’habitude n’est pas vraiment une acharnée du travail et qui cherche plutôt à s’en défaire pour vaquer à autre chose, m’a demandé des exercices supplémentaires. 

— Tu aimes ça, les conversions ? 
— Oui !
— C’est parce que tu aimes réussir ?
— Oui !

Elle est repartie faire ses exercices, sans discuter, sans papillonner, sans expédier le travail, jusqu’à l’heure de la sonnerie. Rien de miraculeux : l’objectif à long terme reste d’avoir suffisamment manipulé et assuré son discours pour pouvoir se passer de l’étayage du glisse-nombre. Mais se sentir en réussite en manipulant des concepts plus qu’en appliquant d’obscures recettes, c’est déjà un acquis précieux.

Pas de recette douteuse, pas de truc miracle : les enfants peuvent aimer les maths, parce qu’une fois qu’ils ont compris, ça marche à tous les coups. C’est très valorisant, c’est très réconfortant, surtout pour des élèves en difficulté.

Pas d’exception ni de règle parallèle : on est sûr d’y arriver. Au lieu de faire des maths une discipline angoissante, où une règle fonctionne dans un cas (j’ajoute un zéro à un nombre entier) et plus dans l’autre (quand surgit la virgule), offrons aux enfants de la vérité et un cadre sécurisant : je sais le faire, parce que j’ai compris. Je sais ce que signifie ce nombre, je sais ce qui se passe si je le multiplie, si je le divise, si j’exprime une longueur en mètres ou en centimètres, une masse en tonnes ou en kilogrammes. 

Nous joignons en document d’accompagnement une séquence rédigée.

Glisse-nombre en CAP

À Grenoble depuis huit ans, 3aMIE (aide, accueil et accompagnement de mineurs isolés étrangers) offre une scolarité complète à des jeunes en demande d’asile, depuis l’alphabétisation jusqu’au niveau CAP. Des élèves charmants, motivés, travailleurs, reconnaissants, respectueux… ça vous fait rêver hein ? Le revers de la médaille : ces jeunes gens nous arrivent au fil de l’année, certains au bout de plusieurs mois, avec des connaissances très disparates. Une minorité a un assez bon niveau scolaire, mais la plupart n’ont que des notions très vagues de calcul numérique, auxquelles s’ajoutent des difficultés de langage, même pour ceux qui viennent de pays anciennement francophones. Il faut pourtant les amener en moins d’un an à comprendre des épreuves de mathématiques-physique-chimie d’un niveau assez soutenu, sans compter les parties théoriques des épreuves pratiques, encore plus difficiles. Précisons qu’ils passent le CAP en candidats libres, et qu’ils n’ont donc pas droit au contrôle en cours de formation, qui facilite de beaucoup la scolarité des élèves français.

Deux spécialités de CAP sont actuellement préparées à 3aMIE : IMTB (Interventions en maintenance technique des bâtiments) et PSR (Production et Services en Restauration). Dans les deux cas, la connaissance des mesures usuelles (longueurs, poids, volumes) est cruciale. Or nos élèves ont beaucoup de mal à se faire une idée concrète des quantités qu’ils manipulent, et ne savent pas les convertir. Ceux d’IMTB peuvent évaluer sans sourciller la hauteur d’une porte à 20 cm ou 20 m. Ceux de PSR n’ont aucune réticence devant les 150 g de carottes qu’ils allouent à une salade pour 12 personnes. Or dans la maquette numérique d’un bâtiment, comme dans une recette de cuisine, les unités sont disparates et une bonne maîtrise des conversions est indispensable. La solution ? Le glisse-nombre bien sûr.

Sollicités, les enseignants d’atelier spécialistes des épreuves pratiques, ont exercé leur virtuosité technique sur des versions de démonstration, à afficher au tableau. Bernard Boutherin a inventé « la rolls des glisse-nombres », en plaques d’aluminium sur noyau de polyéthylène, le tout articulé par des roulements à billes.

Stéphanie et Noël Turc ont mis au point un splendide modèle avec une glissière en contre-plaqué, habillée d’adhésif blanc effaçable.

On a offert à chaque élève un glisse-nombre individuel, à insérer au début de son classeur. La partie fixe (en document d’accompagnement) a été imprimée sur du papier épais format A4, rainé pour être plié au milieu. Les fenêtres sont évidées au cutter. Les glissières double face sont imprimées au format A4 et plastifiées, puis découpées en trois au massicot. Des feutres bleus effaçables complètent le dispositif.

On l’aura compris, l’objectif principal de l’apprentissage était la conversion de mesures. L’accent a été mis sur les couples de rapport 100 (centimètre-mètre, centilitre-litre) et surtout 1000 (millimètre-mètre, mètre-kilomètre, millitre-litre, litre-mètre cube, gramme-kilogramme, kilogramme-tonne). C’est la raison pour laquelle, contrairement à beaucoup d’autres modèles, le nombre de fenêtres a été limité à 7. L’idée est que si la multiplication par 100 et 1000 a été bien comprise, le glisse-nombre deviendra superflu pour d’autres valeurs : une échelle allant jusqu’au million nous paraît inutilement compliquée.

À chaque début de séance, que ce soit en maths pour tous ou en techno pour les IMTB, un questionnaire à choix multiple est distribué. Cela permet de vérifier le niveau de maîtrise de chacun, et de redonner des explications au tableau si besoin. Cela permet aussi d’aider ceux qui, arrivés en cours de trimestre, doivent rattraper leur retard. Après deux séances de début d’année détaillant le fonctionnement de l’outil et les conversions, pendant les 6 semaines suivantes, les QCM portaient au moins en partie sur l’usage du glisse-nombre. Voici des exemples de questions (sur les 5 réponses, 2 sont vraies et 3 sont fausses). Remarquez, que sur les dix réponses de deux questions successives, les chiffres sont communs. Une fois écrits les trois chiffres dans trois cases successives de la glissière, l’élève peut répondre à des questions de multiplication ou de division, par 10, 100, ou 1000. Une fois écrits 2,0,7, il peut s’agir indifféremment de mètres, kilomètres, grammes, tonnes, etc. L’objectif est renforcer leur perception de l’unité du système décimal.

Le bilan de la séquence ? Plutôt positif mais pas miraculeux. On entend moins d’énormités sur les conversions, qui sont devenues plus fluides à l’oral, au moins pour les mesures de longueur. Tous les élèves ont compris l’usage du glisse-nombre. Ceux qui étaient arrivés sans formatage préalable, ont adhéré à la démarche. Néanmoins, les vieilles habitudes ont la vie dure. Certains, munis à l’arrivée d’un certain bagage scolaire, ont adopté le glisse-nombre par politesse, mais ils n’ont pas renoncé à leurs zéros rajoutés, leurs virgules déplacées et leurs tableaux de conversion. « Monsieur, c’est plus facile que le glisse-nombre ! ». La réponse « c’est ce à quoi vous êtes habitués qui vous paraît facile », n’a pas convaincu tout le monde.

Les raisons d’une résistance

Au début 1794, au plus fort de la Terreur, Condorcet est visé par un décret d’arrestation. Il se sait irrémédiablement traqué par ses ennemis jacobins. Caché chez une courageuse et généreuse hôtesse, il rédige un manuel d’arithmétique qu’il fait passer clandestinement, feuillet après feuillet, à son épouse. Après sa mort, celle-ci veillera à ce que ce petit fascicule soit publié. Il connaîtra même plusieurs éditions, jusqu’à nos jours. En voici un extrait : « Un chiffre exprimera toujours autant de dizaines, qu’il aurait exprimé d’unités, s’il avait été moins avancé d’un rang ; autant de centaines, qu’il aurait exprimé d’unités, s’il avait été moins avancé de deux rangs. »

Ah voilà qui dénote une vision saine de la numération de position. Qu’a-t-il à dire sur la multiplication par 10 ?

« Multiplier par 10, c’est rendre un nombre dix fois plus grand ; de manière qu’il renferme autant de dizaines qu’il contenait d’unités simples ; de centaines, qu’il contenait de dizaines, etc. »

Limpide n’est-ce pas ? Et comment fait-il concrètement ?

« Vous aurez donc le produit de 467 par trois dizaines, en multipliant ce nombre par 3, et en rendant ensuite le produit dix fois plus grand, ce qui s’exécute en plaçant 0 à la droite des nombres qui l’expriment. »

Et voilà notre règle d’or ! Non, Condorcet n’a pas écrit de bêtise. Il a simplement ajouté à un raisonnement parfaitement clair et rigoureux, un raccourci mnémotechnique. Le problème n’est pas de créer un raccourci quand le raisonnement a été compris, mais de n’enseigner que le raccourci sans expliquer le reste.

Mais laissons donc à des vieillards cacochymes et radoteurs comme le second auteur leurs divagations historico-pédagogiques d’il y a un quart de millénaire. De nos jours, l’alpha et l’oméga de la didactique mathématique, le maître à penser de l’enseignant du futur, s’appelle ChatGPT. Croyez-en Éduscol, euh… et renseignez vous tout de même à l’aide du dossier détaillé que votre revue favorite consacre au sujet. La première autrice, à la pointe de la didactique autant que du numérique comme vous la connaissez, a donc sollicité respectueusement l’oracle : « comment expliquer à un élève comment multiplier un nombre par dix ? ». Et bingo, la réponse est tombée, résumée de façon magistrale par : « ×10 = on ajoute un zéro ou on déplace la virgule d’un cran à droite ». Ce sur quoi l’interrogatrice sollicite naïvement quelques références pédagogiques officielles. La suite du dialogue vaut son pesant de mauvaise foi de la part du grand manitou. Nous l’avons trouvée suffisamment éclairante pour la joindre en document d’accompagnement et vous en recommandons la lecture [1]. Elle se termine par un magnifique aveu : « j’ai répondu comme un outil d’aide aux devoirs, pas comme un formateur d’enseignants ».

Mettons. Mais ne le cachons pas, nombre d’enseignants utilisent déjà ChatGPT pour leur propre formation, et reproduisent dans leur classe, sans trop les discuter, les suggestions du big boss. Combien ont la perversité (cela s’appelait « esprit critique » il y a longtemps) de la première autrice pour pousser le Grand Prêtre dans ses retranchements ? Nous le savons bien, les réponses de ChatGPT ne font rien d’autre que de refléter l’état du web. Vous le constaterez aisément, les pages rabâchant les zéros ajoutés et les virgules déplacées, y sont beaucoup plus nombreuses que les modèles de glisse-nombres. Continuons donc à interroger ChatGPT et à mettre en ligne ses réponses sans les discuter, et toutes les bêtises publiées seront irrémédiablement renforcées.

Ajoutez à cela l’effet « première impression ». C’est un ressort psychologique connu : pour un élève, tout ce qui sort de la bouche du maître ou de la maîtresse est parole d’évangile et devient pour toujours intouchable. Pas question de remettre en cause la moindre affirmation magistrale. Il faut les voir ces grands yeux pleins de larmes, quand on leur explique que « non, il ne faut pas rajouter un zéro » : « Mais alors la maîtresse l’an dernier, elle a dit une bêtise ?!? ». Et tous ces enfants à qui leur maîtresse a montré comment rallonger un nombre en y rajoutant un zéro, quand devenus grands, ils enseigneront à leur tour les mathématiques, que croyez-vous qu’ils imprimeront dans l’esprit de leurs élèves ?

Comme beaucoup, nous appelons de nos vœux un monde où les enseignant.e.s, biberonné.e.s au glisse-nombre, transmettraient à leurs élèves une vision saine du système décimal ; un monde où les tableaux de conversion fixes, les ajouts de zéros, la valse des virgules auraient disparu du web et des prescriptions d’IA serviles. On peut rêver…