Arriver au numéro 100 pour une revue bimestrielle, c’est en soi important… Mais ce nombre 100 aurait-il des propriétés remarquables ?

 Des propriétés qu’on peut qualifier de banales

Parmi celles-ci, on peut citer qu’il est pair, c’est-à-dire divisible par 2 : bon, un entier sur deux possède cette propriété qui est donc commune. Mais attention, ce n’est pas parce que le chiffre des unités est égal à 0 donc pair que ce nombre est pair : cela n’est vrai que parce que la base usuelle de notre numération est la base décimale, la base 10, c’est-à-dire que cette base est paire. En base 3, le nombre 100 s’écrit $10201_3$ et son chiffre des unités n’est pas pair, pourtant il n’a pas changé, il est toujours pair !

C’est aussi un nombre composé : il possède au moins deux diviseurs strictement plus grand que 1, par exemple 2 et lui-même. Mais cette propriété n’est pas rare puisque presque tout nombre entier est composé : la densité asymptotique des nombres composés est égale à 1, c’est-à-dire que la proportion des nombres composés inférieurs à $n$ tend vers 1 quand $n$ tend vers l’infini. Cela est une conséquence d’un résultat, appelé théorème des nombres premiers et démontré en 1896 indépendamment par Jacques Hadamard (1865-1963) et Charles-Jean de La Vallée Poussin (1866-1962) : ce résultat indique que la proportion de nombres premiers inférieurs à $n$ est équivalente à $\dfrac{1}{\ln(n)}$ (où $\ln$ est la fonction logarithme népérien) quand $n$ tend vers l’infini, donc tend vers 0. On en déduit le résultat sur les nombres composés, qui sont leur complémentaire, au nombre 1 près (lequel a un statut un peu à part en tant qu’élément neutre pour la multiplication).

C’est un carré parfait : c’est évidemment le carré de 10. À ce titre, il possède un nombre impair de diviseurs et cette propriété caractérise les carrés.

En fait, 100 possède au total neuf diviseurs : 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 et 100. Et cela est assez rare pour un nombre car il y en a que huit inférieurs à 1000 qui possèdent cette propriété : ce sont 36, 100, 196, 225, 256, 441, 484 et 676. Seuls les nombres de la forme $p^8$ ou $p^2q^2$ avec $p$ et $q$ premiers sont dans ce cas.

Plus banal, 100 peut s’exprimer comme une somme de nombres particuliers. Par exemple :

• c’est la somme des neuf premiers nombres premiers : 
  

  $$2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 = 100$$

• c’est la somme des cubes des quatre premiers entiers : 
  

  $$1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100$$

• c’est aussi le carré de la somme des quatre premiers entiers :
  

  $$(1 + 2 + 3 + 4)^2 = 10^2 = 100 $$

  
  mais cela n’est pas surprenant car d’après une relation, donnée par le mathématicien grec des Ier et IIe siècle, Nicomaque de Gérase, on a toujours $ \left(\sum_{k=1}^{n} k\right)^2 =\sum_{k=1}^{n} k^3 $
• c’est la somme des dix premiers nombres impairs, et cela est aussi une conséquence que c’est le carré de 10, car $ \sum_{k=1}^{n} \left(2k - 1\right) = n^2$ pour tout entier $n$ :
  

  $$ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 100$$

 Abondant… mais solitaire

En lien avec ses diviseurs, qui sont 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 et 100, c’est un nombre abondant : il est inférieur à la somme de ses diviseurs stricts, c’est-à-dire strictement plus petits que lui. C’est encore Nicomaque de Gérase qui, le premier, classe les entiers naturels en nombres abondants, parfaits (ils sont égaux à la somme de leurs diviseurs stricts) et déficients (ni parfaits, ni abondants donc supérieurs à la somme de leurs diviseurs stricts).

Dans la lignée de l’école pythagoricienne, il s’intéresse aux propriétés mystiques des nombres mais certaines propriétés mathématiques sont présentes dans ses ouvrages. Tout multiple d’un nombre abondant est lui-même abondant. Il y a donc une infinité de nombres abondants. On ne connaît pas la valeur exacte de leur densité dans l’ensemble des entiers mais on sait qu’elle est légèrement inférieure à 25 % en raison d’un résultat, datant de 1998, dû au mathématicien français Marc Deléglise. Les nombres abondants inférieurs à 100 sont 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72 78, 80, 84, 88, 90, 96 et 100. Au vu de ces valeurs, il semble qu’il n’y ait pas de nombre abondant impair mais ce n’est pas le cas… 945 est le plus petit nombre abondant impair, c’est-à-dire non divisible par 2. Le plus petit nombre abondant qui n’est divisible ni par 2 ni par 3 est : $5\,391\,411\,025 = 5^2 \times 7 \times 11 \times 13 \times 17 \times 19 \times 23 \times 29$. On peut continuer ainsi ; le plus petit nombre abondant qui n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5 est $20\,169\,691\,981\,106\,018\,776\,756\,331$ = $7^2 \times 11^2 \times 13 \times 17 \times 19 \times 23 \times 29 \times 31 \times 37 \times 41 \times 43 \times 47 \times 53 \times 59 \times 61 \times 67$. En fait, pour tout entier $k$, l’ensemble des nombres abondants non divisibles par les $k$ premiers nombres premiers n’est pas vide et admet donc un plus petit élément mais, comme on peut le constater, sa valeur croît très vite…

Toujours en lien avec les diviseurs, on peut définir le taux d’abondance d’un entier : c’est le quotient de la somme de tous ses diviseurs par lui-même. Pour l’entier 100, c’est donc :

$$ \dfrac{1+2+4+5+10+20+25+50+100}{10} = {2{,}17} $$

 Heureux, pratique, puissant et semi-parfait : que vouloir de plus !

C’est un nombre heureux : quand on fait la somme des carrés de ses chiffres et qu’on réitère cette opération, on tombe sur 1. Pour 100, c’est immédiat ! Quand on ne tombe pas sur 1, on aboutit obligatoirement sur un cycle de longueur 8 (4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20). Cette propriété dépend, bien sûr, de la base de numération qui, par défaut, est la base 10. Il existe une infinité de nombres heureux et, d’après un résultat de 2011, leur densité dans l’ensemble des nombres entiers est comprise entre 0,113 et 0,186.

C’est un nombre pratique : tout entier plus petit que lui peut s’exprimer comme une somme de ses diviseurs où chacun apparaît au maximum une fois. Prenons un exemple : 93 peut s’obtenir comme 50 + 25 +10 + 5 + 2 + 1. Un autre : 68 = 50 + 10 + 5 + 2 + 1. On laisse le lecteur vérifier pour tous les autres entiers plus petits que 100 ! Il existe une infinité de nombres pratiques. Mais le mathématicien hongrois bien connu Paul Erdős (1913-1996) et l’Australien John H. Loxton ont démontré en 1979 que leur densité est nulle. Ces nombres ont été introduits en 1948 par un mathématicien indien nommé A. K. Srinivasan. Néanmoins, leurs propriétés avaient déjà été utilisées en 1202 par Leonardo Fibonacci dans son livre Liber Abaci à propos des « fractions égyptiennes ». On rappelle qu’une « fraction égyptienne » est une fraction d’entiers $\dfrac{m}{n}$ pouvant se représenter comme une somme de fractions distinctes du type $\dfrac{n}{p}$ où $p$ est un entier. Tout nombre rationnel est une fraction égyptienne... Mais il n’y a pas unicité de la décomposition. Il est donc intéressant d’en obtenir une avec un minimum de termes ou avec des dénominateurs les plus petits possibles. Si l’entier $n$ est pratique, pour les rationnels de la forme $\dfrac{m}{n}$ , il existe une décomposition en fraction égyptienne où tous les dénominateurs sont inférieurs à $n$.

En plus d’être pratique, 100 est puissant : les carrés, 4 et 25, de ses deux diviseurs premiers divisent aussi 100. Cette notion a été introduite en 1934 par Paul Erdős et son compatriote George Szekeres (1911-2005). Les premiers nombres puissants sont 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121,… Il en existe une infinité mais leur densité dans l’ensemble des entiers est nulle. Il y a une infinité de paires de nombres puissants consécutifs, comme 8 et 9 ou 288 et 289. Paul Erdős a conjecturé qu’il n’existe pas de triplet de nombres puissants consécutifs : c’est encore un problème ouvert. Il a aussi conjecturé que tout entier assez grand est la somme d’au plus trois nombres puissants et cela a été prouvé en 1987.

Étant abondant, il n’est pas parfait : il n’est que semi-parfait ! En effet, il est égal à la somme de certains de ses diviseurs stricts : 100 = 50 + 25 + 20 + 5. Il existe une infinité de nombres semi-parfaits mais leur densité dans l’ensemble des entiers est inconnue : on conjecture qu’elle vaut environ $0,25$. Ces nombres ont été étudiés en 1965 par le Polonais Waclaw Sierpiński (1882-1969).

 De nombreuses autres propriétés

C’est aussi un nombre de Leyland car on a $2^6 + 6^2 = 64 + 36 = 100$, c’est-à-dire qu’il peut s’écrire $m^n + n^m$ avec $m$ et $n$ entiers strictement supérieurs à 1. Ils portent le nom du mathématicien anglais Paul Leyland qui, le premier dans les années 1990, a étudié leur factorisation : en effet, ces nombres ne semblent présenter aucune propriété particulière que les algorithmes usuels pourraient exploiter et sont donc de bons candidats pour tester les différentes méthodes de factorisation, si importantes dans les techniques actuelles de cryptographie. Au vu de leur définition, il en existe évidemment une infinité.

100 est divisible par la somme de ses chiffres : c’est une évidence car il est bien divisible par $1 + 0 + 0 = 1$ ! Les entiers qui vérifient cette propriété sont appelés nombres harshad. Le nom harshad est un nom commun qui signifie en sanscrit grande joie : il a été donné à ces nombres par le mathématicien indien Dattatreya Ramachandra Kaprekar (1905-1986), lequel est connu pour d’autres résultats qu’on peut qualifier de mathématiques récréatives. Ces nombres sont aussi appelés nombres de Niven en hommage au mathématicien américain d’origine canadienne Ivan Niven (1915-1999) qui les a étudiés. Au vu des premières valeurs qui sont 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50,… il semble qu’il y a beaucoup ! Effectivement, il y en a une infinité... Mais leur densité dans l’ensemble des entiers est nulle ! C’est un résultat de 2003.

C’est un nombre brésilien car 100 s’écrit $55_{19}$ en base 19. Un nombre brésilien est un nombre $n$ pour lequel il existe un entier $b$ vérifiant $1< b < n − 1$ pour lequel la représentation de $n$ dans la base de numération $b$ ne comporte que des chiffres identiques. En fait, en plus de la base 19, il existe deux autres bases où 100 possède cette propriété : $100 = 44_{24} = 22_{49}$ mais cela n’en fait pas pour autant un nombre hautement brésilien, c’est-à-dire un nombre brésilien établissant un record du nombre de représentations parmi tous les entiers plus petits que lui : il existe en effet un entier plus petit qui possède aussi trois représentations en tant que nombre brésilien. Il s’agit de l’entier 24 qui vérifie $24 = 44_{5} = 33_7 = 22_{11}$. Ces nombres ont été introduits en 1994 lors de la neuvième Olimpiada Iberoamericana de Mathematica qui se déroulait au Brésil, d’où leur nom. Ils faisaient l’objet d’un exercice proposé par le Mexique : « Montrer que 1994 est brésilien et que 1993 ne l’est pas ». Même si cette propriété est courante (tous les nombres pairs supérieurs ou égaux à 8 le sont car $2n = 2(n-1) +2 = 22_{n-1}$ et les premiers impairs qui sont brésiliens sont 7, 13, 15, 21...), elle est en soi relativement intéressante car elle fait intervenir la notion de base de numération.

Plus compliqué sans doute, 100 est un nombre d’Erdős-Woods car il existe un intervalle d’entiers de longueur 100 tel que tous ses éléments ont un facteur commun avec l’une des extrémités de l’intervalle. En termes plus précis, il existe un entier $a$ tel que tous les entiers compris entre $a$ et $a + 100$ ont un facteur commun soit avec $a$ soit avec $a + 100$. Cet entier $a$ est égal à $35\,631\, 233\,179\,526\,020\,414\,978\,681\,410$ ! Paul Erdős avait conjecturé qu’on pouvait trouver des intervalles de n’importe quelle longueur où tous les éléments étaient premiers avec les extrémités de l’intervalle. Dans un premier temps, l’Australien Alan R. Woods pensait que cette conjecture était vraie avant de trouver les premiers contre-exemples, qui portent donc le nom d’Erdős-Woods, dans les années 80. On a montré depuis qu’il en existait une infinité.

 L’I.A. se trompe...

Les propriétés précédentes sont souvent citées par ChatGPT et Gemini quand on leur demande des propriétés du nombre 100. Elles en indiquent d’autres pas très intéressantes, par exemple que 100 est le nombre de centimètres dans un mètre ou que c’est le premier entier possédant trois chiffres !

Ces IA signalent aussi que 100 est un nombre de Friedman. Qu’est-ce qu’un nombre de Friedman ? C’est un nombre entier qui est le résultat d’une combinaison de tous ses chiffres dans une base de numération donnée (par défaut, c’est la base 10, donc le système décimal, qui est choisi), à l’aide des quatre opérations arithmétiques élémentaires et de l’exponentiation, c’est-à-dire l’élévation à la puissance. Par exemple $343 = (3+4)^3$. Qu’en est-il pour 100 ? Pour ces IA, 100 est un nombre de Friedman car $100 = (10 +0)^2$ ! Ce qui est donc totalement faux puisque 2 n’est pas un chiffre du nombre 100. Une fois de plus, soyons prudent avec l’utilisation des IA en n’oubliant pas de vérifier systématiquement les informations qu’elles nous donnent.

Ces nombres portent le nom d’un enseignant américain, Erich Friedman, né en 1965, qui, le premier, s’y est intéressé. Les premiers nombres de Friedman sont 25, 121, 125, 126, 127, 128, 153, 216, 289, 343,… Quelle que soit la base de numération, il en existe une infinité. D’après un résultat de Michael Brand datant de 2013, leur densité parmi les entiers (en base 10) est égale à 1.

De même, 100 est signalé comme nombre intouchable par une des IA : ce sont des nombres qui ne sont pas égaux à la somme des diviseurs stricts d’un nombre entier. Or 100 est la somme des diviseurs stricts de 124 : $1 + 2 + 4 + 31 + 62 = 100$. Une erreur de plus de l’IA !

Si, au lieu de la somme des diviseurs stricts, on prend la somme de tous les diviseurs, en n’excluant pas le nombre lui-même, alors 100 devient intouchable : cette propriété devrait être désignée par un autre terme pour qu’il n’y ait pas de confusion, par exemple nombre σ-intouchable puisque la somme de tous les diviseurs est notée $\sigma$.

 Des divertissements arithmétiques

$$ 123 + 4 - 5 + 67 - 89 = 100 $$

$$ 123 + 45 - 67 + 8 - 9 = 100 $$

$$ 1 + 2 + 34 - 5 + 67 - 8 + 9 = 100 $$

$$ 1 + 23 - 4 + 56 + 7 + 8 + 9 = 100 $$

Sans coller les chiffres, il faut utiliser en plus la multiplication :

$$ 1 × 2 × 3 × 4 + 5 + 6 + 7 × 8 + 9 = 100 $$

$$ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + (8 × 9) = 100 $$

Comme tous les entiers plus petits que lui, 100 peut s’écrire en utilisant exactement 7 fois le nombre 7 et les opérations de base (+, −, × et ÷ ) : ce « jeu » fut repris par Georges Perec, auteur entre autres de La vie, mode d’emploi, au début des années 80. On a par exemple :

$$ (7 × 7) + (7 × 7) + (7 + 7) ÷ 7 = 100 $$

ou 

$$ (7 × 7 + (7 ÷ 7)) × (7+7) ÷ 7 = 100 $$

On peut construire un carré magique où la somme de chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale est égale à 100. En voici un exemple (carré 5×5) : il ne peut pas être normal, c’est-à-dire utiliser tous les entiers de 1 à 25 car, dans ce cas, sa constante serait égale à 65.

En voici un qui utilise tous les entiers de 8 à 32 et dont la constante vaut 100 :

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline 24 & 31 & 8 & 15 & 22 \\ \hline 30 & 12 & 14 & 21 & 23 \\ \hline 11 & 13 & 20 & 27 & 29 \\ \hline 17 & 19 & 26 & 28 & 10 \\ \hline 18 & 25 & 32 & 9 & 16 \\ \hline \end{array} $$

On laisse le lecteur en trouver d’autres : la différence entre 100 et la constante des carrés magiques normaux d’ordre 5 étant égale à 35, il suffit de répartir cette valeur sur les 5 colonnes (ou lignes) soit 7 de plus sur chaque case du carré. Or il existe $275\,305\,224$ carrés magiques normaux d’ordre 5 (répertoriés en 1973 par un américain, Richard Schroeppel), aux rotations et symétries près ! Il y a donc le choix !

 Une petite dernière…

Considérons une propriété que l’IA ne nous a pas signalée et qui n’est pas encore présente dans l’Encyclopédie en ligne des suites de nombres entiers, plus connue sous l’acronyme OEIS.

Appelons densité littérale le rapport entre la valeur d’un entier et le nombre de caractères du mot (ou des mots) qui le désigne et notons δ la fonction qui associe à un entier la valeur de sa densité littérale. Si $lm(x)$ désigne le nombre de lettres du mot $x$, on a par exemple :

$$ \delta(1) = \dfrac{1}{lm(\text{un})}=\dfrac{1}{2}=0,5 $$

$$ \delta(2) = \dfrac{2}{lm(\text{deux})}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}=0,5 $$

$$ \delta(3) = \dfrac{3}{lm(\text{trois})}=\dfrac{3}{5}=0,6 $$

etc.

On a alors :

$$ \delta(100) = \dfrac{100}{lm(\text{cent})}=\dfrac{100}{4}=25 $$

En plus de cette grande valeur pour 100, ce qui est remarquable c’est que 100 est un record : tous les nombres entiers inférieurs à lui ont une densité littérale plus petite. On pourrait qualifier un nombre ayant cette propriété de hautement littéralement dense Les entiers hautement littéralement denses plus petits que 100 sont 1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 20, 30, 50 et 60. Le nombre 100 est assez isolé d’ailleurs car celui qui lui succède est… 300 ! On laisse le lecteur trouver les suivants.

Cette notion ne dépend que de la langue choisie pour nommer les entiers mais pas de la base dans laquelle on les écrit car ce n’est pas l’écriture du nombre qui compte mais bien sa valeur et la manière de l’écrire dans une langue donnée.

D’ailleurs en anglais, 100 n’est pas un entier hautement littéralement dense ! Les premiers entiers ayant cette propriété en anglais sont 1, 2, 4, 5, 6, 9, 10, 30, 40, 50, 60, 80, 90, 200, 300, …

Voilà, c’est fini. Cette petite recension de quelques propriétés de l’entier 100 est désormais terminée. Le lecteur qui souhaiterait en trouver d’autres pourra faire des recherches dans l’OEIS. On y trouve plus de 60 000 références à ce nombre. D’ailleurs, on peut constater qu’il en existe seulement entre 20 000 et 25 000 pour ses voisins, 99 et 101 ! En fait, pour trouver un nombre qui a davantage de références dans l’OEIS que 100, il faut considérer un nombre plus petit ou égal à 31… et aucun entier supérieur à 100 ne fait mieux que lui : encore une raison de penser que 100 est vraiment exceptionnel, tout comme ce numéro de MathemaTICE !

 Références

• Le site Internet OEIS : https://oeis.org/
  • nombres pairs : A005843 (https://oeis.org/A005843)
  • nombres composés : A002808 (https://oeis.org/A002808)
  • carré parfait : A000290 (https://oeis.org/A000290)
  • nombre abondant : A005101 (https://oeis.org/A005101)
  • nombre solitaire : A014567 (https://oeis.org/A014567)
  • nombre heureux : A007770 (https://oeis.org/A007770)
  • nombre pratique : A005153 (https://oeis.org/A005153)
  • nombre puissant : A001694 (https://oeis.org/A001694)
  • nombre semi-parfait : A005835 (https://oeis.org/A005835)
  • nombre de Leyland : A076980 (https://oeis.org/A076980)
  • nombre harshad : A005349 (https://oeis.org/A005349)
  • nombre brésilien : A125134 (https://oeis.org/A125134)
  • nombre hautement brésilien : A284758 (https://oeis.org/A284758)
  • nombre d’Erdős-Woods : A059756 (https://oeis.org/A059756)
  • nombre de Friedman : A036057 (https://oeis.org/A036057)
  • nombre intouchable : A005114 (https://oeis.org/A005114)
  • nombre σ-intouchable : A007369 (https://oeis.org/A007369)
• John H. Conway et Richard K. Guy. Le livre des nombres. Eyrolles, 1998.
• Jean-Marie De Koninck. Ces nombres qui nous fascinent. Ellipses, 2008. Réédition en poche. 2018.
• Daniel Lignon. Le dictionnaire de (presque) tous les nombres entiers. Ellipses. 2e édition. 2024.
• David Wells. Le dictionnaire Penguin des nombres curieux. Eyrolles, 2000.