Introduction

Le jeux a été inventé à une époque où d’autres jeux étaient à la mode, comme le trioker par exemple (description. D’une manière générale, il s’agissait toujours de jeux à association par identité.

L’objectif de Curvica était donc de travailler sur des pièces pour lesquelles l’association ne serait pas l’identité. Bien entendu l’association doit être d’ordre 2 (égale à sa réciproque). D’où cette idée de partir d’un carré, et d’incurver les pièces. Il en découle le nom de Curvica pour « carré (in)curvé ».

Les pièces

Le choix de la courbure est assez naturel : partant d’un carré de côté 2, on peut construire les deux arcs suivants, à partir de coordonnées entières (pour une réalisation plus immédiate) :

Pour un carré de côté 2, le rayon du cercle est $\sqrt{5}$, ce qui induit une certaine harmonie aux figures de Curvica.

Pour des petites classes (CM2 ou 6° par exemple), il est important de montrer ce schéma de construction et en particulier que la partie bombée et la partie incurvée sont construites de la même façon (même longueur, même aire ajoutée ou retranchée), pour rendre compte du fait que les pièces s’emboitent parfaitement.

Les différents types de pièces

On trouve ainsi 24 pièces. Elles seront nommées pour une communication plus rapide lors des échanges, mais aussi pour éviter que les élèves les retournent. On conserve le nommage initial du jeu, pour être cohérent avec les travaux antérieurs.

Les pièces peuvent être classées de différentes façon, en particulier :
• 6 pièces sans aucun segment (que des côtés arrondis)
• 5 pièces (hors carré) ayant deux côtés parallèles
• le carré I
• 4 pièces ayant un seul angle droit (elle forment, ensemble, un carré).
• 8 pièces ayant un seul côté qui est un segment.

Il y a en particulier 6 pièces sans segment (entièrement arrondis, on dira EA dans la suite) et donc 18 ayant au moins un segment comme côté.

Les 24 pièces forment un rectangle de 4 pièces sur 6 :

Première remarque sur le rectangle

Si on essaie de remplir le rectangle 4x6 à la manière d’un puzzle, en commençant par remplir le contour, on remarque rapidement que le contour nécessite 16 pièces ayant au moins un segment comme côté. Or il y en a 18. Donc les 8 cases au centre du rectangle sont composées des 6 pièces entièrement arrondies - qui ne peuvent être sur le contour du rectangle, et deux autres pièces ayant au moins un côté droit (un côté-segment), les pièces D et F ci-dessus. En faisant émerger cette remarque à des élèves de fin de l’école primaire, ils peuvent réaliser le puzzle du rectangle sans trop de difficulté ... même s’il reste quelques pièges possibles.

On reviendra en détail, dans la prochaine barre d’onglet, sur le cas du rectangle, et sur la répartition de ces pièces à l’intérieur d’un contour rempli.

Une remarque pratique essentielle

Dans cet article, pour une appropriation plus rapide du texte et des objectifs abordés, on présente régulièrement les pièces avec leur nom dans le sens de la lecture, Pour les mêmes raisons, on a choisi de présenter les activités élèves de la même manière. Mais quand on utilise les pièces, bien entendu les lettres ne sont pas dans le même sens. C’est un peu déstabilisant pour les jeunes enfants au début. Mais dès qu’ils réussissent un puzzle, les difficultés s’estompent rapidement. Voici une illustration des difficultés à prendre en compte.

Ci-dessous la production d’un élève : selon l’âge, le temps de découplage entre la pièce et sa nomination « droite » peut être significatif.

Un lecteur « non averti » pourra être surpris de la simplicité de certains puzzles, comme celui-ci, mais l’idée est de commencer par des puzzles d’appropriation des pièces où les contraintes sont assez fortes pour que l’on n’hésite pas : dans le cadre des ateliers IREM, selon les classes - et les élèves eux mêmes - le temps de présence sur un atelier peut-être de très long à très court. Ensuite un travail de recherche de toutes les solutions peut-être proposé à certaines classes. On en verra des exemples rapidement.

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Réalisation papier en classe

Plusieurs fiches existent déjà comme, celle, originale, publiée par l’APMEP dans sa brochure Jeux 5 (Brochure APMEP N°119 - 1998), mise en ligne sur plusieurs sites (dont la page de Julien Pavageau ci-dessus). On peut préférer les 24 pièces collées ou au contraire détachées les unes des autres. On trouvera aussi les pièces en couleurs comme ci-dessus, collées ou détachées.

Si les pièces colorées peuvent paraître plus jolies, l’avantage des feuilles blanches est de pouvoir imprimer des jeux différents sur du papier de différentes couleurs, ce qui permet un tri rapide quand plusieurs élèves travaillent sur un même jeu côte à côte. Les feuilles sont prévues pour un format A4.

Ces 4 options sont téléchargeables en fin d’article.

Utilisation de puzzles en bois

De plus en plus passionné par ces puzzles Curvica, petit à petit, sur deux ans environ, pour une utilisation dans les ateliers IREM, j’ai commandé une trentaine de tableaux en bois - réalisés en découpe laser, avec soit des pièces de 28 mm (pour le carré de référence), soit - pour quelques puzzles seulement - avec des pièces de 40 mm, pour les petites classes pour qu’elles soient plus manipulables.

L’intérêt pédagogique est évident : une pièce mal placée ne peut pas entrer dans un « trou » non adapté qui ne lui correspond pas, et une pièce trop petite laisse un vide très visible.

Les adultes accompagnateurs qui sont passés sur le « stand Curvica » de l’IREM, ont trouvés, en général, magnifiques ces puzzles en bois - l’IREM a régulièrement prêté ces puzzles aux collègues. Mais l’avis n’est pas souvent partagé par les élèves, surtout les plus jeunes : cela manque de couleur, et en conséquence, il faut être plus attentif pour distinguer les pièces, même si leur nom est gravé dessus.

Dans cet article, les derniers puzzles n’ont pas le même noms que ceux-ci, ils seront respectivement les plateaux 10, 14 et 15, au lieu de 11, 19 et 20. Les plateaux 10 et 15 sont déjà dans la brochure « Jeux 5 » de l’APMEP. Le plateau 14 a été proposé par un élève de Julien Pavageau.

Signalons que le plateau nommé 11 ci-dessus, aux isométries près, n’a que 8 solutions, et est donc très délicat à traiter : il n’a été proposé, avec des préludes, qu’à des élèves de lycée, alors que les autres ont des centaines de solutions probablement : les plateaux nommés 19 et 20 - avec un prélude de contour (soit 12 pièces) qui aboutit à une solution ont régulièrement été finalisés par des élèves, y compris de collège.

Ces plateaux en bois ont néanmoins été régulièrement été utilisés lors des ateliers. Voici le plateau 2 réalisé par un élève. On remarquera les lignes 1 et 3 bien spécifiques : cela provient de ce prélude proposé aux élèves. Là aussi il est simple de trouver des solutions, cela reste, à nouveau, une activité d’appropriation.

Voici le prélude proposé. On peut être même surpris qu’il existe plusieurs solutions, on y reviendra dans un onglet consacré aux préludes, dans une prochaine barre de menu.

Réalisation avec DGPad

DGPad est un logiciel de géométrie dynamique déjà présenté et utilisé dans plusieurs articles de MathémaTICE. Dans cet article, de nombreuses figures partielles, spécifiques, sont proposées. Une première figure générale est celle-ci.

Utiliser le menu pour avoir un aperçu des différents plateaux proposés.

Préférer l’ouvrir dans un nouvel onglet : https://lc.cx/CurvicaGene

Utilisation de cette figure générique
On choisit donc un plateau. Pour une découverte rapide, tester le rectangle ou, plus simplement avec un prélude déjà présenté ci-dessus ou dans l’onglet précédent. On déplace une pièce par son centre - son nom - et on la tourne par son ancre. Le centre est attaché à la grille unité, et les ancres sont aimantés par les 4 positions possibles. Pour une éventuelle copie d’écran, on peut cacher l’ancre, et même le tableau - car il a une petite opacité.

On peut remettre ensuite les pièces en position de départ (à l’orientation prés) par une case à cocher. On notera trois jeux de couleurs pour les pièces. En effet, les activités proposées ont été écrites sur plusieurs années, avec parfois, différents codes couleurs.gures "dans un nouvel onglet

Utilisations des figures dans un nouvel onglet
Seules 8 figures manipulables sont proposées directement dans le corps du texte, pour éviter de trop ralentir le télechargement de l’article. Mais plus de 150 sont proposées, soit à finaliser ou à modifier, soit des solutions complètes. Elles s’ouvrent alors automatiquement dans un nouvel onglet. L’avantage est qu’elles sont plus grandes, plus facilement manipulables et on peut avoir les illustrations de l’article et la figure à compléter ou à modifier dans deux onglets.
Dans ce cas, pour déplacer toute la figure à la souris (au track pad), il faut être « en mode consultation », c’est-à-dire sans aucun outil du tableau de bord sélectionné (les icones du bas de l’écran). En général, il suffit de désactiver la flèche « curseur », à gauche du tableau de bord.

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Intérêts pédagogiques

De nombreuses activités sont intéressantes à proposer avec Curvica, selon l’âge des élèves, ou encore le type d’activité que l’on souhaite organiser..

La recherche de toutes les pièces (narration recherche)

Dans un article paru sur Curvica, les auteurs proposent une fiche de recherche (elle aussi téléchargeable en fin d’article) qui présente tous les possibles à explorer :

Aires et Périmètres

On y consacre le prochain onglet pour plus de détails sur ce thème. Il est clair, à la lecture des deux articles historiques, que le jeu Curvica a été inventé essentiellement pour traiter des aires et périmètres, tout d’abord sur les pièces, et ensuite sur les napperons.

Dans le cadre de l’appropriation des pièces, on peut proposer de classer les pièces par leur périmètre. Par exemple chercher toutes les pièces ayant même périmètre que la pièce A. Il n’est pas du tout simple pour un élève de CM2 ou de 6° de voir que les pièces A et Q ont même périmètre, mais aussi C, R, L, M. Quand le groupe est constitué, les élèves peuvent alors voir que le groupe est celui des pièces n’ayant aucun segment.

Ensuite, on a de même B et S ont même périmètre, et on trouvera les pièces qui ont un côté sous forme d’un segment. On peut ainsi continuer la partition des pièces par les périmètres.

On peut faire de même pour les aires.

Activité à la rencontre de la logique et de la géométrie

Une fois que les élèves sont assez familiarisés avec les pièces, on peut demander un argument mathématique sur l’impossibilité de la place de la pièce carrée dans le remplissage du rectangle :

Montrer que, dans la recherche de solutions de remplissage du rectangle de côtés 4 et 6 pièces, le carré I (en 1,2) ci-contre, ne peux pas être en (2,2), c’est-à-dire à la place de la pièce J de la solution ci-contre.
Cet exercice est facile, il suffit de réfléchir à la place possible pour les six pièces n’ayant aucun côté droit.

Une variante plus complexe (il faut plus de temps car il s’agit cette fois de chercher des solutions) est de demander si la pièce I peut être en (1,3), c’est-à-dire à la place de G dans l’illustration précédente.

Exercices sur les arbres de parcours : algorithmique débranchée

Dans des classes primairescplus avancées, mais aussi en collège vu que l’on doit réfléchir à des questions d’algorithme, on peut chercher des solutions systématiques à des tableaux partiellement remplis.

Un parcours d’arbre sur les possibilités des pièces en certains emplacements permet d’aller vite vers toutes les solutions. Voici, en résumé, un exemple sur l’un des préludes qui seront étudiés plus loin.

Différentes variantes sont possibles, nous en explorerons quelques unes dans la dernière barre d’onglets, et nous verrons que ce type de parcours d’arbre n’est pas nécessairement la plus pertinente.

Exercices spécifiques d’anticipation

Il s’agit ici de deux types d’activités. Un premier, logique, où l’on cherche à voir que même avec quelques pièces posées sur un plateau, il est inutile de poursuivre, on ne pourra jamais finir le plateau : les deux exemples suivants sont élémentaires, mais on propose, dans la partie 7, des situations plus subtiles.

Enfin, on verra, toujours dans la même barre d’onglets, un second type d’anticipation, avec résolution par des arguments arithmétiques. Ces deux approches sont complémentaires.

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Beaucoup d’activités peuvent être basées sur la rencontre « aire/périmètre », rencontre très classique, et les pièces de Curvica permettent une appropriation nettement plus ludique, car on peut manipuler les pièces. Et, même si en l’occurrence cela ne sert pas mathématiquement, cette manipulation peut être utile pour l’appropriation de ces figures à la fois si proches et si différentes et qui, pour certaines, peuvent avoir même aire et/ou même périmètre.

Le tableau précédent n’ayant pas été fait par les élèves (cela peut aussi être une activité en soi), on voit alors qu’on peut préparer des questions de différents niveaux, comme par exemple :

• Repérage des situations extrémales
– Y a-t-il une unique pièce d’aire minimale ?
– Y a-t-il une unique pièce de périmètre minimum ?
– Y a-t-il une unique pièce d’aire maximale ?
– Y a-t-il une unique pièce de périmètre maximum ?
– Y a-t-l une pièce de même aire que la carré avec aucun côté droit ?

• Repérage de groupes de pièces spécifiques
– Trouver un groupe de 3 pièces ayant même périmètre et même aire.
– Trouver un autre groupe de 3 pièces ayant aussi même aire et même périmètre.
– Est-il possible de trouver un autre groupe de trois pièces qui auraient elles aussi même aire et même périmètre ?

• Variante du questionnement précédent
– Recherche plusieurs groupes de deux pièces ayant même aires et même périmètres.
– Essayer de trouver, parmi les pièces, si certaines peuvent faire partie des groupes précédents.
– Combien trouvez vous de groupes de 3 pièces qui ont même aire et même périmètre ?

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Axes de symétries

Là encore le thème des symétries, puis des symétries partielles, locales, dans la réalisations des plateaux est particulièrement riche et mérite amplement des développements explicites.

Les activités initiales

Bien entendu on peut commencer par chercher les figures qui ont un, deux, ou 4 axes de symétrie, comme ci-dessous, à gauche les trois figures avec 4 axes, à droite celles avec deux axes.

Ensuite, toujours selon le public, les objectifs, il peut être intéressant de faire prendre conscience que les pièces sans axe de symétrie sont de deux types :
• celles dont une rotation (même si on n’emploie pas ce terme explicitement selon les classes) donnent un symétrique, comme E ou U, mais aussi M

• celles dont leur symétrique est dans la liste des pièces. On cible donc cette catégorie de pièces qui peuvent avoir un rôle particulier dans certaines activités.

Selon l’âge des élèves, mais aussi leur familiarité avec Curvica, cette nuance entre ces deux types de pièces peut rester implicite et non verbale, car elle est conceptuellement subtile.

Au moins deux conséquences importantes :

• C’est parce que l’auteur a ajouté les derniers symétriques que Curvica a 24 pièces et non pas 21 seulement, ce qui permet de faire des plateaux de taille 4x6, 3x8 ou encore 5x5-1 (sans centre), alors qu’avec 21 pièces on aurait été dans un puzzle bien plus limité.
• Comme on a ces symétriques, si un plateau sans axe de symétrie a une solution, alors son symétrique a une solution : avec les mêmes pièces, et les figures symétriques remplacées par leurs symétriques.

Une autre conséquence est que pour étudier le rectangle, compte tenu de ses axes de symétrie, on se limitera aux cas où la pièce I, le carré vert dans les illustrations précédentes, est dans le quart du rectangle haut, gauche, soit I en (1,1), (1,2), (1,3), (2,1) - car (2,2) et (2,3) ne sont pas possibles.

Regroupement symétrique de pièces

Une autre activité, très riche pour un futur travail sur les plateaux, est de proposer de regrouper des pièces par deux ou trois pour que l’ensemble ait un axe de symétrie. Cela permettra d’avoir - quand on trouvera un tel regroupement dans un plateau - des solutions différentes par simple échange de quelques pièces.

On commence d’abord par les pièces dites « EA » (Entièrement Arrondies) qui, dans le rectangle, sont regroupées et contiennent naturellement plusieurs symétries internes. Ci contre des configurations que l’on rencontre très souvent, dans lesquelles on peut échanger les pièces Q et R, ou A et C ou encore R et L.

Toutefois, dès que l’on trouve des symétries à trois pièces, la situation peut être plus subtile car la question du « type » de symétrie soulevè ci-dessus est à nouveau d’actualité. Voici l’exemple de la partie supérieure droite du « prélude 3 » du tableau 2 présenté dans l’onglet « Intérêt pédagogique ». Il s’agit d’un groupement de 3 pièces qui comporte un axe de symétrie. Cette partie peut être complétée :
• Soit par des pièces qui se comportent comme étant symétriques :on peut placer E à la place de S et retourner U : on a bien deux solutions différentes.

• Soit avec des pièces qui ne sont pas symétriques et qui devraient être échangées par leurs symétriques qui peuvent donc ne pas être disponibles : la seconde solution est potentielle, elle n’est pas nécessairement acquise.

Exemples plus complexes

Quittons un instant la démarche de cet onglet de première appropriation du jeu Curvica pour donner quelques exemples sur les développements à venir. Il s’agit d’insister sur cette question des symétries internes locales à quelques pièces qui est un domaine particulièrement riche dans certains plateaux. Voici trois exemples sur le plateau 15.

Dans cette première configuration, on a une première inversion des pièces F et D, mais aussi le bloc de 4 pièces KT et IJ. Il y a donc 4 solutions en déplaçant seulement 6 pièces.

Voici deux autres configurations du plateau 15. En rose, dans chaque configuration un groupe de 6 pièces (en rose foncé) qui présente un axe de symétrie avec des figures symétriques (avec rotation des pièces E et U).

Nous reviendrons en détail sur ce plateau dans la barre consacrée « aux napperons ».

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Exemples de défis « CM2-6° »

Dans cet onglet, pour de simples raisons informatives (mais aussi militantes), on reprend les défis déjà proposés par Julien Pavageau lors de rencontres CM2 - 6° pour voir la diversité des questions élémentaires que l’on peut proposer aux élèves (ici extraits de 3 niveaux).

(remplir un napperon n’est pas cher payé au passage ;-)

À chacun d’en imaginer de nouveaux ... des variantes comme :

• Trouver deux pièces ayant même périmètre mais des aires différents.
• Trouver deux pièces ayant même aire mais des périmètres différents.
• Trouver deux pièces n’ayant ni axe de symétrie, ni même périmètre ni même aire.
• Assembler 3 pièces pour obtenir une figure ayant deux axes de symétrie.

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Notion de prélude

On aura compris que cet article est construit autour d’activités proposées dans des ateliers IREM (Fête de la science, semaine des maths, journées de sensibiliation à Maths en Jeans, et autres manifestations scientifiques locales). Cela signifie qu’il faut prévoir - au moins pour les élèves jeunes - des activités courtes qui permettent l’appropriation du jeu , tout en aboutissant à une réussite du défi relevé.

D’une manière générale, on appellera prélude un remplissage partiel initial d’un tableau. L’objectif principal de l’activité consiste alors à chercher une solution pour remplir le puzzle complet avec les pièces restantes. Dans des cas particuliers, sur les premiers plateaux, on peut même envisager de chercher plusieurs - voire toutes - les solutions du prélude. Dans tous les cas, mais c’est plus particulièrement important pour les puzzles plus complexes (plateaux 10 à 15), les préludes sont assurés d’aboutir au moins à une solution.

Une propriété des six pièces « bleues » (EA)

Dans le cas du rectangle, pour des activités d’initiations, dans des petites classes, on peut se donner comme prélude un contour (donc qui aboutit). Les élèves ayant alors à placer deux pièces ayant deux côtés parallèles, soit deux des trois pièces D, F, T et les six pièces entièrement arrondies (on écrira EA dans la suite). En effet, au moins dans les premiers préludes les trois autres pièces ayant deux côtés parallèles, I, J, K seront déjà placées.

Commençons par nous intéresser à ces six pièces EA. Ce qui suit peut tout à fait être une activité scolaire préliminaire : il s’agit de répartir les 6 pièces en trois groupes de 2 pièces, chaque groupe ayant une aire de 2, l’unité étant le carré I. Il n’y a qu’une façon d’y parvenir :

Avec un vocabulaire élève imagé mais tout à fait précis :
• A a 4 « bombés » et Q a 4 « creux » qui se compensent donc l’aire des deux est bien 2.
• L et M ont chacun deux bombés et deux creux qui se compensent donc chaque pièce est d’aire 1, ensemble ils sont d’aire 2.
• Enfin, R et C, l’une a 3 creux 1 bombé et l’autre 1 creux 3 bombés. Ensemble, ils se compensent donc la réunion des deux pièczes est bien d’aire 2.

C’est l’occasion de signaler que l’on utilise pleinement ce qui est un implicite pour les jeunes enfants : l’aire est une mesure, elle est additive, alors que ce n’est pas le cas du périmètre.

Et donc la réunion des 6 pièces EA est d’aire 6. Cela a une conséquence importante pour les préludes : quelque soit la configuration des six pièces regroupées ensemble, il y a sur le pourtour autant de creux que de bombés. Et quand on les regroupe en deux rangées de trois pièces, il y a donc toujours - toujours - cinq bombés et cinq creux.

En dehors de ces 6 pièces « EA », il y a donc 18 pièces avec au moins un segment dont
• 6 pièces avec au moins deux segments parallèles - F, D, T (et éventuellement un autre segment - pièces J et K - ... ou deux - pièce I)
• 4 pièces avec deux segments perpendiculaires, sans autre segment U, E, G et H, et
• 8 pièces avec un seul segment : S, V, P, 0, B, N, W et W.

Pour remplir le rectangle 4x6, on commence naturellement par remplir le contour. Pour cela il faut 16 des 18 pièces avec un bord droit. Il reste donc deux pièces ayant un côté droit. Les 6 pièces EA doivent être au centre. . Voici un premier exemple où l’on voit toute la richesse des symétries internes à deux pièces du bloc EA.

Préférer ouvrir cette figure-présentation dans un autre onglet : https://lc.cx/Rect_Prelude1_9Sol

Préludes topologiques

Pour les autres plateaux, en général, sans que ce soit une règle fixe, on construira des préludes souvent à 12 pièces (la moitié) et généralement avec un choix topologique clair, comme ces deux préludes suivant pour le plateau 2.

Le prélude de gauche admet 7 solutions alors que celui de droite en admet 20. Donc selon les élèves, les objectifs, le temps dont,on dispose, proposer celui de droite peut aboutir plus rapidement à une solution alors que celui de droite permet d’envisager de chercher toutes les solutions.

De même pour trouver rapidement des solutions, on peut proposer ces deux préludes des plateaux 4 et 5 :

Vous remarquerez que ces plateaux sont proposés sans le nom des lettres. En effet, sur ces formes bien particulières, l’expérience montre que la reconnaissance de forme est plus rapide que d’avoir une pièce nommée alors qu’elle doit se placer dans un sens où le nom de la lettre n’est pas dans le sens usuel de lecture.

Ces 4 préludes seront étudiés plus loin lors de la présentation de ces plateaux.

Les variantes du prélude 1 avec conservation du contour du complément EA

Rappel de la figure générique pour explorer par soi-même ce qui est proposé ici : https://lc.cx/CurvicaGene

C’est l’occasion de préciser cette règle simple concernant l’étude du plateau « rectangle » de Curvica : compte tenu des symétries du rectangle, on n’étudie que le cas où la pièce I, le carré, est dans le quart supérieur gauche du rectangle, soit les positions (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3). On a déjà vu que (2,2) est impossible.

Modification des seules deux premières colonnes

Il s’agit donc de modifications internes à ces deux colonnes pour conserver la terminaison de la colonne 2, à savoir « creux,creux, bombé, bombé ». Il y a alors trois possibilités en plus de la position initiale, soit :

En effet, la position IJ en ligne 4, avec KF en ligne 1 est exclue compte tenu de la règle de positionnement de I dans le premier quadrant du rectangle.

Modifications plus globales toujours avec conservation du contour EA

Si on veut chercher d’autres solutions, toujours avec ce même contour EA à 9 solutions, il faut modifier la terminaison de la colonne 2 pour les ligne 1 et 4. Voici 4 possibilités, d’abord deux en gardant les pièces G et H des sommets droits du puzzle, puis deux en les échangeant.

Et, bien entendu, on peut aussi modifier les deux premières colonnes pour conserver la nouvelle terminaison de la colonne 2, ’bombé, creux, bombé, creux", ce qui donne

On a donc, dans un premier temps, 10 modifications du prélude initial conservant son contour intérieur, et donc, avec le prélude initial 11x9 =99 solutions du puzzle Curvica sur le rectangle à partir de variations minimales d’un premier prélude (honnêtement .. pas non plus choisi au hasard).

Pas choisi au hasard : on notera que le carré I est toujours en colonne 1 - donc seulement en (1,1) ou (1,2) pour éviter des solutions symétriques, -qu’il y a aussi les pièces Ï et K ainsi que les deux pièces à angle droit E et U, et surtout pas de pièces ayant un seul côté droit. Cela n’est pas du tout exclu, mais demande plus d’attention ... déjà pour remplir le pourtour du rectangle. Pour voir la spécificité de ce prélude - donc tout en conservant ce contour interne proposé, le lecteur curieux est invité à essayer de placer G ou H en ligne 1, en utilisant la figure générale : https://lc.cx/CurvicaGene

Un prochain onglet, dans la dernière partie de l’article, proposera des calculs arithmétiques simples sur les pièces qui rendront compte de certaines facilités rencontrées ici.

Autres variantes immédiates du prélude initial

On revient sur le prélude de départ, et on se propose d’explorer des variantes, cette fois sans conservation du contour intérieur, simplement en échangeant des pièces du pourtour, autre que les deux premières colonnes. Cela permet d’explorer des possibilités d’autres contours des pièces EA et, déjà, vérifier si tous les contours obtenus à partir d’un pourtour réel du rectangle présentent bien au moins une solution effective.

Par exemple dans ce prélude, mais aussi dans les 15 variantes dégagées ci-dessus - en particulier parce qu’aucune pièce ayant un seul segment n’est en colonne 1 ou 2, il est immédiat que l’on peut échanger :

• B et N
• S et V
• O et X
• W et P

On a donc, pour chacune des 15 variantes, 16 nouveaux contours dont on peut chercher s’ils ont au moins une solution.

Il y a une petite « ambiguité », locale à cet onglet et propre au rectangle, sur le terme prélude car on va :
• à la fois parler du « prélude initial » pour parler du contour présenté depuis le début de cet onglet, en fait comme point de référence.
• modifier le contour à la droite des deux premières colonnes pour parler du « prélude formé par les deux premières colonnes », ce qui, avec seulement 8 pièces, correspond plus à la notion de prélude que l’on va développer hors du rectangle.

La figure suivante est à considérer plutôt comme une galerie que l’on anime avec le curseur (66 positions et commentaires). On a choisi de signaler les symétries internes (type AC, QR et autres) dans les commentaires, sans les illustrer explicitement. Pour explorer soi-même la situation, vérifier s’il ne manque pas de solutions, utiliser cette figure dédiée : https://lc.cx/ExplorePrelude1Rect

Pour une première lecture éventuellement un peu rapide, on consultera plus particulièrement
• n =15 et 16 : seul cas rencontré sans solution.
• n = 19 pour une belle symétrie à trois pièces en ligne 1.
• n = 24, autre belle symétrie de trois pièces en ligne 2.
• n = 28 et 29 pour les 9 solutions d’un contour « inverse » à l’initial (notion précisée plus loin)
• n = 57 et 58 pour une nouvelle solution par échange de deux colonnes.
• n = 65 et 66 pour voir comment « doubler le résultat ».

Préférer utiliser cette figure dans un nouvel onglet : https://lc.cx/Rect_Prelude1_75sol

On notera que les symétries vues en n=19 et n=24 peuvent être l’occasion d’activités scolaires de type « défi sur les formes symétriques de trois pièces », avec les pièces de type EA.

Si on considère les 5 premières variantes à G et H fixes, et les 5 en échangeant G et H vues plus haut, cette première étude aboutit donc à (5+1)x150 + 5x75 = 1275 solutions trouvées à partir des variations minimes des deux premières colonnes.

Pièces, préludes et plateaux inverses : en plus d’éventuelles symétries, les pièces et plateaux disposent d’une opération propre à Curvica : l’inverse. L’inversion n’a rien à voir avec celle bien connue en géométrie, il s’agit juste ici d’inverser « creux » et « bombé ». Les plateaux deviennent de nouveaux plateaux (en général), les 24 pièces sont globalement stables par l’inversion, et bien entendu les 6 pièces EA : A se transforme en Q, C en R, M et L sont invariantes.

Cette analyse d’un premier prélude (ici au sens des deux premières colonnes du rectangle) permet de donner quelques éléments sur les contours des 6 pièces EA intéressants à favoriser pour plus de solutions. On a ainsi trouvé :

– deux contours à 9 solutions : le contour initial, et l’inverse d’un de ses symétriques.
– deux contours à 8 solutions (en manque-t-il une ?)
– un contour à 6 solutions, et trois à 5 solutions.
– trois contours à 4 solutions, et deux à 3 solutions.
– deux contours à 1 solution.
– un contour sans solution.

Deux synthèses graphiques sont dans les blocs suivants, à déployer pour les consulter.

Explorer d’autres situations du contour EA de forme 3x2

Cela donne envie d’explorer un peu plus ces contours : y en a-t-il d’autres à 9 solutions, autres que les 4 symétriques et leurs inverses présentés dans le bloc précédent ? Peut-on en construire rapidement sans solution ? Voici une figure pour étudier cela très simplement ... et on ne donne pas les réponses ...

Préférer ouvrir cette figure dans un nouvel onglet : https://lc.cx/ContoursEA_2x3

A priori il y a 1024 cas à étudier, chacun ayant 8 symétriques et inverses de symétriques, il ne reste donc que 128 cas à regarder ... à condition de bien les choisir ... Pour le moment, l’étude complète n’a pas encore été entreprise ...

Dans l’onglet suivant nous allons explorer une autre forme d’organisation des 6 pièces EA dans le rectangle.

Haut de la barre ’Pièces et rectangle’ (pour onglet suivant)

La place de la pièce carrée

Possibilité de I en (2,2)

Comme déjà signalé, à cause des symétries du rectangle, on s’intéresse aux solutions où I est dans le premier quart du rectangle - de (1,1) à (2,3). La première question est donc celle de sa place en (2,2) :
Si la pièce carrée I est en (2,2), on voit que les 8 pièces centrales - qui doivent recevoir les 6 pièces entièrement arrondies (EA) - sont prise par I et, à droite et en dessous de I, par une pièce ayant un côté droit. Il reste donc 5 places seulement pour les 6 pièces TC. C’est impossible.

Pour la même raison, le carré I ne peut pas non plus être en (2,3) : il ne resterait que 4 places pour les 6 pièces EA.

Possibilité de I en (1,2)

Dans les variations autour du prélude étudié dans l’onglet précédent, la pièce I est toujours en colonne 1, car cela évite d’utiliser une pièce à un seul segment en colonne 1, mais il est assez rapide de produire un contour avec I en (1,2) comme par exemple celle-ci :

Il y a de nombreuses variantes, selon :
• que ce soit J ou K en (1,1),
• le choix de la pièce à angle droit en (3,1),
• et les position des trois pièces I, J, K,
ces trois contraintes déterminant alors la pièce à un seul côté droit en (1,2).

Rappel de la figure générique pour explorer cette situation : https://lc.cx/CurvicaGene

Reste la question de I en (1,3). Voyons que c’est possible.

Une solution pour I en (1,3)

C’est effectivement, en cherchant à placer I en (1,3) qu’on peut mettre en évidence une autre organisation des 6 pièces EA dans une solution du rectangle de Curvica. On cherche donc à compléter un début de recherche comme celle-ci :

Nous invitons les lecteurs curieux - et éventuellement patients - de chercher quelques solutions, avec cette figure préparée pour :https://lc.cx/PreludeNonConnexe1

Tout d’abord , il n’y a bien que 4 angles droits à remplir donc les 4 pièces ayant un angle droit (jaune) suffisent. Ensuite, il y aussi bien 6 places pour les 6 pièces EA, on a donc un bloc EA non connexe.

Il y a beaucoup de solutions car il faut placer trois pièces à un seul segment - parmi les 8 - à droite de la colonne 3, et selon la pièce que l’on place dans le coin en bas à gauche, les situations sont particulièrement variées.

Voici un premier remplissage du pourtour, mais qui n’aboutit pas en une solution : chacun observera qu’il est impossible de placer la pièce L.

Ainsi d’une part I peut bien se placer en (1, 3) et d’autre part, on peut désormais chercher un autre type de solutions qu’on appellera « avec EA non connexe » . On parlera plus simplement de « solutions non connexes » ou encore, par abus de langage de « prélude non connexe », même si mathématiquement le prélude, lui est connexe, seule la partie EA de la solution ne l’est pas..

Bien entendu, ce prélude initial invite à de nombreuses variantes. Par exemple, sur le contour initial sans solution (à cause de L), on peut simplement échanger les pièces D et T, alors le contour admet une solution double, et même en échangeant X et O, il y a encore une autre solution.

Solutions non connexes sans I en (1,3)

Le questionnement de la place de I en (1,3) a aboutit aux solutions non connexes mais ce n’est pas une condition nécessaire. On peut avoir aussi I en (1,1). Ci dessous, à gauche une première solution, à droite, en échangeant seulement X et O dans le pourtour, et il y a alors 4 solutions (échanges entre C/A et Q/R).

Là encore, il y a nombreuses de variantes possibles. En effet, avoir I en (1,1) oblige à avoir deux pièces avec un angle droit en colonne 1, et donc, selon ce que l’on choisit, la pièce à un côté droit peut prendre diverses formes.

Exemple de défi sur les préludes non connexes

Comme on a développé des défis sur les pièces de Curvica, pour les élèves CM2-6°, on peut proposer des défis sur les préludes non connexes, par exemple comme ceux-ci :
Est-il possible de réaliser un pourtour de prélude non connexe - et une solution - de telle sorte qu’en colonne 2 (la partie à deux pièces soit d’aire maximale (avec A et C), ou d’aire d’aire minimale, avec Q et R.

Et si ce n’est pas possible, quelle est l’aire maximale (respectivement minimale) pour la partie à deux pièces ?

Haut de la barre ’Pièces et rectangle’ (pour onglet suivant)

Il existe d’autres variantes intéressantes sur les positions des pièces F, D, T. En effet jusqu’ici ces pièces ont été en colonne 2 ou 3, (car I est dans le premier quart du rectangle). On peut essayer de les placer en colonne 1. Voyons que c’est possible.

T en colonne 1

ìl y a de nombreuses possibilités. On peut d’avoir I en colonne 1, alors on peut avoir un prélude sur les deux premières colonnes de la même structure que le premier prélude étudié à l’onglet précédent : les six pièces vertes (pour être rapide) et deux pièces à un angle droit. On peut aussi choisir de placer I en colonne 2, cela implique d’utiliser aussi une pièce à un seul segment en colonne 2, ce qui rend la variété de prélude plus riche selon
• la pièce K ou J que l’on place en (1,1), et si on place K, selon
• la pièce à angle droit que l’on met en bas à gauche - en fonction des pièces à deux côtés parallèle que l’on place en colonne 2. Voici deux exemples parmi de nombreux autres possibles.

F en colonne 1

On fait la même chose avec F. La forme de F rend l’exploration plus facile. Il y a 4 possibilités pour la place - et la position - de F. Voici une solution dans chacun des cas ... parmi de nombreuses possibles.

Cas où I est en (1,2)

Cas où I est en (1,1)

On a un prélude formé des deux premières colonnes qui utilise les mêmes 8 pièces. La forme de F ne laisse aucune autre possibilité pour les deux premières colonnes que ce qui est proposé ci-dessous, ce qui fait que l’on passe un peu à côté d’une certaine subtilité à laquelle on sera confronté avec le cas suivant pour D.

D en colonne 1

Le puzzle est assez riche - et souple - pour que la forme de D permette encore de placer K et J en colonne 2, sur les lignes 2 ou 3.

En haut, I est en (1,2) avec toutes les variantes possibles pour J et K.
En bas I est en (1,1), le prélude formé par les deux premières colonnes utilise les 8 mêmes pièces. On reviendra dans la dernière partie de cet article, par des arguments numériques, sur la subtile nécessité d’échanger T et F dans le passage des deux illustrations, alors que la forme même de la pièce F ci-dessus n’avait pas révélé de difficulté particulière..

La figure générique pour s’essayer soi-même à cette subtilité : https://lc.cx/CurvicaGene

On retiendra de cet onglet que pour proposer de chercher des solutions à des élèves en un temps raisonnable - dans l’optique d’un succès rapide - on donnera comme prélude les deux premières colonnes complètes et on ne donnera la simple consigne d’une pièce (T, F, D) « en colonne 1 » qu’à des élèves déjà habitués à Curvica.

Haut de la barre ’Pièces et rectangle’ (pour onglet suivant)

On a trouvé deux formes pour les 6 pièces EA (bleues) : le bloc « 2 lignes de 3 colonnes », et la partie non connexe 2 pièces puis 4 pièces.

On s’intéresse ici à plusieurs choses :

• Tout d’abord le placement de ces mêmes blocs dès la colonne 2 (toujours avec I dans le premier quadrant du rectangle).
• Ensuite tester d’autres regroupements de ces 6 pièces.

1. Le bloc 2x3 en colonne 2

Puisque I reste dans le premier quadrant (sinon il ne s’agit que de symétriques de ce qui a déjà été fait) , ce bloc à partir de la colonne 2 implique que I soit en (1,1).
Les trois pièces à côtés parallèles (D, F, T) sont alors en colonne 5. Comme deux pièces à un seul angle droit sont utilisées autour de I, et qu’il en reste que deux pour trois angles droits. Il faut donc agencer les pièces J et K pour compenser l’angle droit manquant.

Voici la structure générique des 4 préludes possibles (aux permutations des trois pièces I, j, K près). On a placé les six pièces EA dans une situation où il y a une solution, mais on peut chercher d’autres organisations de ces six pièces.

On peut utiliser cette figure dédiée pour explorer cette situation :https://lc.cx/Cherche_EA_en_Colonne2

Variantes sous forme de questionnement

Q1. Comme on a pu placer, dans l’onglet précédent, les pièces D, F et T en colonne 1, peut-on, dans ce contexte, placer l’une de ces pièces en colonne 6 ?

Q2. Qu’en est-il du bloc non connexe dans un position inversée 4+2 ?

2. Le bloc 4+2 en forme de U

Il n’est pas nécessaire d’aller plus loin : il n’y a pas de place pour les 3 pièces à deux côtés parallèles (vert clair : D,F, T).

3. Le bloc 4+2 centré

Là encore il n’y a pas de solution. Voici le principe, illustré dans une des configurations les plus favorables. La situation semble proche d’une solution, mais structurellement il manque une pièce avec un seul angle droit.

4. Trois autres configurations de bloc pour les pièces EA

Il existe encore trois configurations possibles pour les pièces EA.

Structurellement, on rencontre la même difficulté que ci-dessus : le placement de deux pièces à côtés parallèles sur deux côtés du rectangle aboutit à la « formation » d’une pièce à angle droit supplémentaire. Il manque donc - dans le meilleur des cas, un pièce « du bloc jaune », avec un angle droit.

On aura compris que l’on pourrait faire une analyse détaillée de chacune des situations mises en évidence comme on l’a fait pour un premier prélude. Ce serait néanmoins très long et, par ailleurs, on va développer, dans la dernière partie de cet article, une analyse pour mieux anticiper la possibilité de contours depuis un début de prélude.

Haut de la barre ’Pièces et rectangle’

Présentation et travaux d’élèves

On commence donc par le prélude ayant deux lignes remplies, la ligne 1 et la ligne 3, de la façon suivante

On notera la régularité des lignes 4 (« creux-bombé ») alors que ce n’est pas le cas pour la ligne 2. Les agencements des couples de pièce peuvent glisser de deux pièces sur la ligne 4 alors que ce n’est pas possible pour la ligne 2. Par contre, il y a bien 3 « creux » et 3 « bombés » pour la ligne 2 même si la répartition n’est pas régulière comme en ligne 4.

Quelques recherches d’élèves

Puis on finit par y arriver ...

On voit, dans l’illustration ci-dessus, que l’élève a placé les 4 pièces à angle droit dans la ligne 2 qui plus est, regroupées ensemble HEGU, les angles droits étant entre H et E puis entre G et U, mais bien entendu pas entre E et G, ce qui justifie l’agencement bien particulier.
Reprenons alors cette production d’élève ci-contre, toujours du plateau 2, déjà présentée pour montrer l’usage des plateaux en bois. Dans cette solution, l’élève a placé ces quatre même pièces en ligne 4, par groupe de deux. On peut penser que, comme pour l’illustration de présentation de ces tableaux, les élèves ont voulu placer d’abord les angles droits ... car cela se fait tout naturellement en tout cas pour la ligne 2 de la première illustration.
Voyons que la solution du premier élève contient quelques belles variantes.

Variations sur la première solution élève ...

Dans la seconde illustration, contrairement à la première, c’est entre G et U qu’il n’y a pas d’angle droit puisque les deux droits sont entre E et G puis entre U et H.

... et retrouver la solution du second élève

Partant de la dernière configuration ci-dessus (SB en ligne 2 à gauche)

Une première analyse générique avant de chercher les solutions

Il s’agit d’observer certaines contraintes communes aux deux plateaux.

Tout d’abord on a vu que la ligne 2 comporte des aspérités dans l’alternance « creux-bombé » même si le nombre est respecté - ne serait-ce que par les pièces à compléter ont globalement une aire de somme 12. Cela laisserait à penser que l’on pourrait avoir des assemblages des pièces à un angle droit bien particulière en particulier des pièces G et H que l’on pourrait regrouper pour rentrer - dans le plateau 2 - sous R et A, ou sous L et M comme ci-dessous :

Mais c’est impossible car il manquerait alors nécessairement
• soit une pièce bombée pour compléter soit la ligne 2 soit la ligne 4, car les seuls autres pièce bombées en face du segment sont P, U, O, V, B : elles ne sont que 5 pour 6 emplacements bombés à remplir.
• de même soit une pièce creuse car elles aussi ne sont de 5 : E, W, S, X, N, pour 6 emplacement à remplir

Une conséquence importante est que pour ce prélude, pour les deux plateaux, on ne peut pas coller U avec E car alors G devrait être accolé à H.

Il ne faut pas penser non plus accoler U ou E à G ou H. En effet, GU comme deux bombés consécutifs ou EG deux creux successifs, cela ne peux pas fonctionner non plus car dans la seconde ligne il manquera toujours, soit un creux soit un bombé comme illustré ici :

Au passage on notera qu’il y a de nombreuses façons de remplir la ligne 2 qui ne permettent pas de remplir la ligne 4

Et si on regarde les solutions précédentes avec les 4 pièces à angle droit regroupées ensemble, on remarque que c’est possible uniquement à cause de la non régularité de la ligne 2. On vérifiera aussi que dans les 4 cas, G et H sont bien utilisés l’un comme bombé et l’autre comme creux, ce qui rend la ligne 4 possible.

Les autres solutions de prélude 1 du plateau 2

Avant de regarder les dernières solutions, on peut s’amuser à chercher soi-même des solution sur cette figure, préparée pour : https://lc.cx/Plateau2_Prelude1

Le plateau 3 - Variations autour d’une production d’élève

Voici une autre solution d’élève pour le plateau 3. Chaque ligne contient deux pièces ayant un angle droit. Je n’avais pas vraiment étudié ce prélude 1, ayant juste vu qu’il y avait des solutions, et j’avais photographié cette solution car les pièces à angle droit étaient au dessus les unes des autres, ce que je n’avais pas vu auparavant sur ce prélude, pour les deux plateaux.

Voyons alors que cette solution peut en engendrer plusieurs autres par de simples échanges.

Tout d’abord retrouvons des configurations à 4 angles droits consécutifs

Dans le cadre d’une utilisation scolaire

On pourrait être tenté d’essayer de placer les quatre pièces à angle droit depuis un bord du plateau, comme cela fonctionne bien avec le plateau 2. Mais ici cela n’aboutit pas à une solution finale. En effet si on s’y essaie, les pièces G et H sont utilisées comme « deux creux », donc il manquera toujours un bombé pour la ligne 4 :

On sera donc attentif à ce que les élèves ne passent pas trop de temps sur ce type de configurations insolubles, quitte à faire émerger la raison de cette impossibilité.

Avant d’ouvrir le bloc suivant pour voir les autres solutions, on peut s’amuser à chercher soi-même sur cette figure, déjà préparée dans la configuration :https://lc.cx/Plateau3_Prelude1

Finalement - sauf oubli toujours possible - les plateaux 2 et 3 ont tous les deux 15 solutions pour ce prélude 1, ce qui en fait un prélude facile à résoudre en un temps limité comme dans les ateliers IREM où les permutations entre les différents ateliers est important.

Haut de la barre ’Rectangles ondulés’

Le prélude 2 - Richesse spécifique

Voici le nouveau prélude pour les deux plateaux

La grande différence avec le prélude précédent est, bien sûr, le groupe de six pièces qui nous sort de la linéarité de ce que l’on a plus ou moins toujours fait jusqu’ici, y compris avec le pourtour du rectangle, y compris les « préludes non connexes ».

En particulier, on va pouvoir placer les quatre pièces ayant un angle droit (E, G, H, U) dans ce même bloc. Certes on a déjà pu mettre ces quatre pièces à la suite dans une même ligne dans le prélude précédent, pour les deux plateaux. Mais ce bloc de 2x3 pièces permet de trouver des situations nouvelles, dont voici deux exemples.

Regroupement des quatre pièces pour le plateau 2

Regroupement des quatre pièces pour le plateau 3

Avec le plateau 3, on peut même regrouper ces 4 pièces à angle droit ensemble, dans un groupe 2x2, ce qui n’est pas possible avec le plateau 2 (voir pourquoi), et il y a, à nouveau, deux possibilités pour les 6 pièces restantes

Recherche d’autres solutions

On peut choisir de poursuivre la recherche soi-même, pour le plaisir de découvrir d’autres solutions, avec des figures spécifiques
• pour le plateau 2 : https://lc.cx/Plateau2_Prelude2
• pour le plateau 3 : https://lc.cx/Plateau3_Prelude2

On peut commencer à remplir le bloc de six pièces, mais tous les remplissages possibles n’aboutissent pas à des solutions pour les deux autres groupes de trois pièces. On peut choisir une recherche depuis les blocs de trois pièces.

Il n’y a donc seulement que quelques solutions (7 et 8) - sauf oubli toujours possible - à ce prélude pour chacun des deux plateaux.

Dans un environnement scolaire, rechercher simplement une solution se trouve assez rapidement, car il y a trois contraintes - les trois blocs.

Haut de la barre ’Rectangles ondulés’

Comme le prélude 2 n’offre que peu de solutions, même si on peut rapidement en trouver une, on peut envisager des modifications permettant plus de latitude, en particulier en évitant les segments droits des lignes 2 et 3 en les arrondissant avec les pièces J et D ... mais pas que ...

Une recherche d’élève de ce prélude pour le plateau 3

L’élève a placé V à la place R ... C’est dommage car il y a bien une solution avec, en haut les trois pièces S U H et en bas G E P comme il l’a placé ... mais c’est plus facile à trouver si déjà on sait qu’il y a une solution. Et surtout, car cela arrive assez régulièrement, il y a la déception d’arriver à un emplacement final à remplir qui est le symétrique de la pièce qui reste !
Quelques solutions sont proposées plus loin dont celle-ci.

Une (vraie) solution élève

Premières solutions du plateau 2

... Mais pas que ... car exemple pour le plateau 2, on notera la structure du bloc de 6 pièces, avec les trois creux de la ligne du haut, et le même motif de côté à gauche et à droite, va permettre des permutations circulaires - cette fois d’une pièce - comme on a eu des permutations circulaires de 2 pièces dans le prélude 1 en ligne 4 par la régularité des ondulations.

Ainsi cette première configuration semble donner 4 solutions (permutation et échange). Mais on peut aussi échanger UG avec BX ou PN ... tout en pouvant à chaque fois ajouter la permutation circulaire de la ligne EHW.

Finalement cette première configuration aboutit très rapidement à 12 solutions de ce prélude pour le plateau 2.

Chercher d’autres solutions pour le plateau 2 avec cette figure dédiée : https://lc.cx/Plateau2_Prelude3
(Il y en a 8 autres, orphelines des précédentes)

On l’a déjà dit, même s’ils ne nous font trouver seulement que quelques solutions, ces préludes très contraints permettent de faire émerger assez rapidement des solutions particulièrement belles et structurées.

Quelques solutions pour le plateau 3

Pour le plateau 3, il ne semble pas possible de préparer un prélude aussi riche que ce que l’on vient de voir pour le plateau 2.
Mais, avec ce prélude, on trouve quand même quelques configurations intéressantes comme celle-ci contre, avec les quatre pièces à angle droit dans le bloc des six pièces.
Cette configuration contient 3 solutions, avec la possibilité d’échange : soit EH / SP soit - au choix - WV / SO,

Dans la solution suivante de gauche, on notera que la ligne 1 du bloc de 6 pièces est la réorganisation de la ligne 2 de la solution précédente. On repèrera une finalisation de solution de la démarche de l’élève ci-dessus.

Chercher d’autres solutions de ce prélude pour le plateau 3 :https://lc.cx/Plateau3_Prelude3
Nombre de solutions encore non étudié.

Bilan de ces trois préludes des plateaux 2 et 3

Dans le cadre d’une utilisation avec des élèves, on utilisera en priorité le prélude 1 pour les deux plateaux, et le prélude 3 du plateau 2. Avec le prélude 2, les élèves trouvent néanmoins des solutions assez rapidement.

Haut de la barre ’Rectangles ondulés’

Avec les préludes proposées pour les plateaux 4 et 5, on arrive aux utilisations les plus prisées des élèves en atelier Curvica de la fête de la Science ou de « la semaine des maths ». En effet, même s’il y a peu de solutions, les contraintes sont telles qu’il est facile d’en trouver plusieurs en peu de temps, c’est donc une « bonne activité » pour entrer dans la résolution de puzzles Curvica, avec une grande probabilité de réussite.

Ce prélude est si contraint que, dans un cadre plus scolaire, cette activité, encadrée, en faisant verbaliser la démarche, peut se transformer en une activité algorithmique débranchée. L’expérience montre que, sur des tâches qui leur paraissent abordables rapidement, les élèves apprécient de passer du temps.

Solutions pour le plateau 4

Une façon simple de chercher les solutions, et de les classer, est de se centrer sur les paires de pièces à angle droit qu’il faut apparier.

Quelques solution trouvées en atelier par les élèves

S’amuser à chercher d’autres solutions avec cette figure préremplie : https://lc.cx/Plateau4_Prelude1

Pour le plateau 4, ce prélude, pourtant très contraint, dispose de 10 solutions, c’est la raison par laquelle les élèves aboutissent rapidement à une solution.

Réalisations d’élèves pour le prélude 1 du plateau 5

(désolé pour la qualité des photos, prises un peu trop vite)

Jouer à chercher d’autres solutions avec cette figure préremplie : https://lc.cx/Plateau5_Prelude1

Pour le plateau 5, ce prélude admet lui aussi 10 solutions. Pour les deux plateaux, ce prélude est donc intéressant à proposer dans le cadre d’activités courtes.

Haut de la barre ’Rectangles ondulés’

Le prélude 2 du plateau 5

Ce prélude est spécifique du prélude 5, pour pouvoir placer les 6 pièces EA sur les colonnes extérieures, A, C, M ne peuvent pas y être dans le cas du plateau 4.

Comme le précédent, la spécificité - topologique, voire esthétique - de ce prélude le rend attractif dans les ateliers IREM. De plus, le fait de disposer de deux lignes de 6 pièces autorise de nombreux échanges de couples de pièces. En pratique, ce prélude est particulièrement riche en possibilités.

En profiter pour tester ce prélude dans cette figure dédiée : https://lc.cx/Plateau5_Prelude2

Quelques solutions sont proposées dans les deux blocs suivants.

Dans le bloc précédent, on observe trois solutions avec UH et GE face à face à gauche. Pour illustrer la richesse surprenante de ce prélude, le bloc suivant montre qu’il y a encore d’autres solutions de ce cas très particulier.

Le nombre de solutions de ce prélude n’a pas été approfondi, même si ce n’est pas très long ... Aussi merci de communiquer vos résultats si vous vous y êtes intéressé(e).

Prélude plus générique pour les plateaux 4 et 5

Même s’ils sont efficaces en terme d’activité, on peut trouver les préludes précédents un peu trop dirigistes, et préférer des activités plus ouvertes, sans aller chercher les préludes des napperons, nettement plus délicats.

Voici un exemple de prélude avec seulement les 6 pièces EA placées. Bien entendu, il y a un grand nombre de solutions.

Pour les tester on utilisera la figure générique de Curvica : https://lc.cx/CurvicaGene

Autre prélude proposé en atelier

De manière plus ponctuelle d’autres préludes ont pu être proposés, selon l’affluence des participants. En voici un, avec 9 pièces, et une production d’élève.

Haut de la barre ’Rectangles ondulés’

On part d’un carré de côté 5 (unité la pièce carrée I) privé du carré central pour avoir une aire de 24. Par contre ce plateau d’un carré privé du carré central n’est pas un plateau proposé dans la liste des plateaux Curvica.

On peut envisager de faire réfléchir des élèves de 6° sur cette question. La réponse est très simple : il y a 6 pièces EA (entièrement arrondis) qui ne peuvent être toutes placées si on conserve la pièce I au centre. Cet argument suffit pour dire que cette configuration ne peut pas être un plateau de Curvica.

On peut aussi aller plus loin, pour chercher d’autres possibilité. Donc en dehors les 6 pièces EA, il reste 18 pièces avec un segment, dont 7 avec au moins un angle droit. Si on place 4 de ces 7 pièces aux angles droits, il reste 14 pièces avec un côté droit (parfois deux mais un seul est désormais utile) pour les 4x3 = 12 côtés restant du carré extérieur). On dispose donc deux côtés supplémentaires, ce qui ne permet pas de faire le tour du carré central.

Ainsi, en comptant simplement les segments « utiles » des 24 pièces, sans modification du carré extérieur, seule un pièce avec au plus deux côtés droits - et d’aire 1 - pourrait être au centre du carré extérieur, soit les pièces G, H, ou F pour les pièces ayant un côté droit, ou encore les pièces M ou L, d’aire 1 et sans côté droit.

La question de la réalisation de ces figures sera le thème du prochain onglet.

Activités scolaires autour de la modification du contour du carré avec conservation d’aire

C’est important de présenter le problème en deux étapes
• Tout d’abord s’intéresser aux modifications du contour extérieur, du carré de côté 5, pour conserver l’aire, avec la pièce centrale qui reste le carré I.
• Ensuite s’intéresser à la modification de la pièce centrale quand les ondulations modifient l’aire du carré extérieur.

Modification du carré-contour et de la pièce centrale

On commence donc une modification du contour qui ne modifie pas l’aire : deux bombés, deux creux par côté : le carré central n’a donc pas à être modifié.

Puis on peut s’orienter vers des contours qui invitent à modifier le carré central de manière « naturelle ».

Mais ce n’est pas si naturel que cela. Pour avoir fait faire cette activité à quelques enfants, un « invariant initial » est l’inversion de la solution : les élèves ne compensent pas le déficit par exemple mais l’ajoutent au carré central. Donc souvent les enfants proposent spontanément la pièce Q quand il faut A ou l’inverse. Il peut donc être nécessaire d’envisager une validation physique. Par exemple par découpage quand on est en surplus ... et de voir comment compenser ce surplus. Mais cela peut se traiter aussi par hachures - et alors on peut aussi traiter le déficit.

Une fois ces premières approches effectuées, et résolues, on peut aborder la question de la modification totale du contour comme dans ces deux contours qui sont ceux de plateaux de Curvica : sur lequel de ces deux contours (au centre et à droite) doit-on placer Q et A au centre ?

La transformation des plateaux entre eux

Ces plateaux sont proposés en premier lieu pour travailler la modifications des plateaux avec conservation des aires, plus que pour leur résolution.

Voici le type de questionnement que l’on peut proposer dans ce contexte. L’intérêt est que l’on travaille sur les aires sans aucun calcul - et même sans savoir calculer les aires en jeu dans les petites classes. L’objectif n’est pas du tout numérique mais bien plus sur l’aspect « décomposition / recomposition » des aires pour leurs comparaisons.

Exercice 1 sur les aires : en comptant seulement les ondulations du contour extérieur de la figure, justifier que la pièce centrale est bien la pièce corrective qui fait que chacun des plateaux a une aire de 24 carrés (en classe on peut répartir les tâches de telle sorte que chaque élève ne traite qu’un plateau).

Remarques :
• Dans le vocabulaire utilisé par les élèves - par exemple « creux » et « bombé »- le sens de ces mots peut changer de sens sur le contour extérieur et sur la pièce centrale, car on s’intéresse à l’aire de la partie privée de la pièce centrale ... Il y a un effort cognitif non négligeable ici à prendre en compte. La réflexion peut être accompagnée par une fiche réponse un peu structurante pour la pensée sur ce sujet,
• Ce que peuvent dire les élèves sur ce sujet lors d’un débat est très formateur en terme de perception des aires.
• En classe de 5°, on peut envisager d’utiliser les relatifs +1 et -1 pour « bombé » et « creux ». On voit alors mieux - par ce formalisme arithmétique - l’inversion des rôles pour les pièces centrales.

Exercice 2 : passage du plateau « Carré 2 » au plateau « Carré 3 »
• Comment modifier le contour du « Carré 2 » si on transforme la pièce centrale (un A) en remplaçant un côté bombé par un segment (A transformé en B).
• On continue à modifier le contour - sur un autre côté - on ajoutant un nouveau segment (la pièce devient la pièce U).
• On fait cela sur les 4 côtés. Quel plateau obtient-on ?

Dans cet exercice, pour arriver au plateau « Carré 3 », il faut bien entendu modifier le plateau sur la partie « juste en face » du côté de la pièce centrale de l’on modifie.

Exercice 3 : passage du « Carré 1 » au « Carré 3 »
On refait à partir du « Carré 1 » la même démarche que dans l’exercice précédent.
Pour cela la pièce centrale, initialement Q, passe par S, puis E puis K avant de devenir le carré I.
Or on s’aperçoit que l’on n’obtient pas du tout le « Carré 3 », mais une variante. Expliquer comment passer du nouveau « Carré » obtenu au « Carré 3 »

Exercice 4 : passage du « Carré 1 » au « Carré 4 »
Ces deux plateaux ont la pièce Q au centre. Donc les modification ne portent que sur le contour.
Justifier la modification du contour d’un côté.

Exercice 5 : passage du « Carré 4 » au « Carré 5 »
Ici la pièce centrale passe de pièce Q (de plus petite aire) à la pièce A (de plus grande aire.
Justifier que la transformation d’un côté de la pièce centrale correspond à la transformation d’un côté du contour extérieur.

Haut de la barre ’La saga des carrés’

Par contour minimal on cherche les modifications minimales du contour carré pour réaliser une solution du puzzle en fonction de la pièce enlevée au centre - ou pas au centre - soit d’aire 1, soit une pièce quelconque, ce qui oblige à une modification du contour pour la conservation de l’aire totale égale à 24.

J’avais même fait faire plusieurs plateaux en bois sur les contours minimaux dont voici un rescapé (il y avait aussi F et Q au centre, mais je n’ai plus de traces). On remarquera que celui-ci était le 25^ième plateau.

Cet onglet se termine par plusieurs figures, une première, de synthèse, et une deuxième qui permet d’explorer soi-même cette question des contours minimaux du carré avec de nombreuse variantes. Puis une dizaine de figures avec des configurations bien spécifiques déjà réalisées.

Dans les illustrations suivantes, la pièce vide est celle en marron clair, d’aire 1 dans les premières illustrations, puis ensuite d’aire quelconque. La colorisation retenue est spécifique à ce thème du plateau carré. On repèrera que les pièces symétriques O et P sont de même couleur, de même que X et W.

Le carré initial privé d’une pièce d’aire 1

On a vu que, une fois les coins du carré remplis avec 4 des 7 pièces ayant un angle droit, il faut encore 12 segments pour compléter le contour du carré et on dispose de 14 segments que l’on a dit « utiles », au sens où une pièce à 2 côtés parallèle n’a qu’un segment « utile » pour le contour. Donc, a priori, la pièce vide à l’intérieur du carré est une pièce d’aire 1 avec (au plus) 2 segments, soit les pièces H, G, ou F.

Ci-contre, le premier remplissage du carré avec la pièce H comme pièce vide, en (4, 2) - sous la forme (ligne, colonne).

Il y a aussi deux pièces EA d’aire 1, les pièces M et L. Peut-on aussi réaliser une solution sans modifier le contour du carré ?

Mais finalement, le calcul précédent (14 segments disponibles) est un peu rapide, car il ne tient pas compte de cas particuliers : les pièces I, J, K peuvent intervenir sur plus de deux segments.

C’est en particulier le cas du carré comme pièce vide : on peut avoir deux côtés (coin du carré), ou même sur un côté du carré de côté 5 : dans les deux cas, les 4 côtés du carré sont comptabilisés : 1 ou 2 pour le bord, et 2 ou 3 pour le contact avec les autres pièces.

Bien-sûr, cela ne peut pas s’appliquer si la pièce vide carré n’est pas sur un côté du carré. Voici deux exemples.

Contour minimal sans modification du carré, avec une pièce centrée

Dans les deux cas, la pièce est d’aire 1, avec deux segments, on peut donc chercher une solution dans un contour carré non modifié. Pour F, elle est de plus symétrique, on peut envisager une solution avec une certaines symétrie. Pour G, c’est l’angle droit qui, au contraire, est utilisé pour une autre utilisation des pièces à côtés parallèles. Voici deux solutions.

On notera que quatre des six pièces EA (en bleu) sont aux 4 coins du « carré des sommets » de la pièce centrale et deux autres sont dans les « creux-bombés » de F ou G. L’argument du placement des pièces EA dans un carré non modifié disqualifie d’emblée la possibilité de placer un carré vide au centre.

Le cas des pièces M et L

Ce sont les deux pièces d’aire 1, sans aucun segment (EA). On a vu, pour les pièces avec segments d’aire 1, qu’elles ne pouvait avoir que 2 segments pour que le contour reste un carré (sauf les deux cas particuliers du carré dans un coin ou sur un bord du carré comme vu ci-dessus). De la même façon, pour des raisons symétriques segments/incurvés (F, G, H ont deux segments et deux côtés incurvés), il n’est pas possible d’avoir les 4 côtés incurvés sans modifier le contour du carré.

En effet, si on arrive à placer toutes les pièces EA et les pièces à côté parallèles D, F, T, comme ci-contre, on se trouvera avec deux segments de trop à placer : on a bien une possibilité à deux segments, mais pour placer la pièce I.

Le contour minimum comporte alors un creux et un bombé pour conserver l’aire. Voici un exemple pour chacune des pièces :

On peut préférer ne pas opter pour un contour minimal, pour des raisons esthétiques, et choisir, pour L au centre, d’avoir sur le contour deux creux et deux bombés, comme ceci :

Variantes autour de la solution avec F au centre

On passe de la pièce F à la pièce R en transformant ses deux segments en deux creux. On peut donc chercher une solution en remplaçant, dans le carré contour, deux segments par deux creux, si possible esthétiquement en face des deux creux du passage de F à R. On trouve alors une première solution (à gauche) :

Puis, en restant dans les pièces sans segment, on peut passer de la pièce R à la pièce Q. Pour cela il faut transformer « le bombé de R » en un « 4° creux de Q », et donc ajouter à nouveau deux creux dans le contour du carré. Deux creux que l’on va essayer, là encore, de placer au centre pour des raisons esthétiques (à droite).

Solutions avec les autres pièces EA

Il reste C et A qui ne sont pas d’aire 1 donc avec modification nécessaire du contour. Bien entendu pour A il faut ajouter 4 bombés mais pour C, deux suffisent,. En effet il y a de nombreuses possibilités pour placer deux bombés sur le pourtour du carré. Voici ce que l’on peut réaliser avec, pour A une solution différente de celle du plateau en bois.

Pour A, on peut jouer à placer les bombés un peu partout, en particulier sur deux sommets du carré.

Pièces centrales avec un seul segment

Une pièce avec un seul segment a au minimum - en terme de variation d’aire par rapport à l’unité - un creux et deux bombés ou l’inverse : elle ne peut donc être d’aire 1. I y a donc une modification minimale du contour à apporter : pour les pièces à un creux deux bombés ou l’inverse, une seule modification suffit. Reprenons la configuration avec le R au centre et deux creux dans le contour carré. En transformant un creux en segment on passe du R au V. On peut donc chercher une solution avec comme contour une seule modification (ici un creux car L est d’aire inférieure à l’unité). Puis on fait une subtile modification - la solution a été cherchée pour - afin d’obtenir un W au centre.

Quand on passe à une pièce à trois bombés - ou trois creux, il faut nécessairement trois bombés - trois creux, sur le carré extérieur, ils peuvent être sur trois côtés, comme ici :

et pour la pièce B on peut s’amuser à ces variantes :

De même pour la pièce S

Contours minimaux pour les pièces ayant un angle droit

Il y a deux sortes de pièces à angle droite :
• celles d’aire 1 :G, H, F, mais aussi I,
• celles d’aire différente de 1, U, E, avec un seul angle droit et deux segments, ainsi que K et J, à deux angles droits et trois segments.

La question a été résolue pour les pièces F, G, H, avec comme contour minimal le carré initial. On passe de G à H par une symétrie d’axe horizontal ou vertical d’une solution avec G.

Contours minimaux pour les pièces I, J, K

Voici trois exemples pour la pièce I au centre du carré, avec un contour minimal qui contient un bombé et un creux. En effet, pour I - tout comme les pièces M et L vue ci-dessus - on ne peut pas conserver le carré initial comme contour - il n’y a pas assez de segments. Il faut donc ajouter un creux et un bombé.

Ces trois exemples de solutions sont bien spécifiques car
• à gauche et au centre, l’échange des pièces Q et S permet de passer de I au centre à la pièce J au centre, avec un contour minimal qui contient un seul bombé, obligatoire pour la conservation d’aire.
• à droite, l’échange de A et B permet de passer de I au centre à K au centre.

Et les deux transformations signalées pour avoir au centre J et K :

Contours minimaux pour les pièces E et U au centre

Pour U, il suffit d’ajouter les 2B nécessaires à la conservation de l’aire, et pour E d’ajouter les 2C nécessaires, il n’y a pas de contraintes supplémentaires car modifier le contour suffit pour placer les 6 pièces EA.

Utilisation de la fonction inverse

On a déjà parlé de cette fonction inverse - dans le premier onglet de la barre « Le Rectangle » - qui échange « bombé » et « creux » : cette fonction échange G et H, S et B, V et N par exemple. Avec notre code couleur, les pièce bleues sont globalement stables, les pièces vert foncé aussi, ainsi que les pièces en vert clair. Enfin les pièces en marron conservent, elles aussi, leur couleur. Seules les pièces roses et mauves s’échangent leurs couleurs entre elles. Ce code couleur permet de vite s’apercevoir si deux puzzles sont ou ne sont pas inverses l’un de l’autre.

Jusqu’à cette section, nous avons fait attention à ne pas utiliser cette fonction pour présenter des solutions pour une pièce centrale à partir d’une solution de sa pièce inverse. Voici une comparaison sur les pièces S et B :

Visualiser les inverses des solutions précédentes

On propose dans la figure suivante de reprendre quelques unes des solutions précédentes en montrant leurs inverses.

Quelques remarques pour son utilisation

• Les pièces W et X, en se transformant en O et P - et réciproquement) - ne changent pas de couleur.
• Ce n’est qu’une figure de consultation, on ne peux pas agir sur les pièces pour réaliser les modifications suggérées, c’est disponible dans la figure suivante.
• On aurait pu choisir de montrer les solutions, puis leurs inverses. Dans cette figure, les pièces contiennent leur propre inverse. On active la transformation par une case à cocher. Il faut donc l’activer à chaque changement de solution (curseur n).

Figure d’exploration des contours minimaux

Dans cette figure, vous pouvez choisir la pièce centrale exclue, et, comme il n’y a pas de contour précis - juste le cadre - cela permet quand le contour minimal n’est pas le carré - toutes les pièces sauf G, H, F - de fixer vous même les emplacements des « bombés » et/ou des « creux ».

Une option « aucune pièce » est disponible, ce qui permet de mettre, virtuellement, par un manque, une pièce là où on le souhaite - pas au centre - et dans le sens que l’on veut.

Pour les pièces au centre comme A, B, ou leurs inverses, ne pas hésiter à explorer des solutions originales, en court-circuitant un ou plusieurs sommets, cela ouvre beaucoup de perspectives.

Préférer ouvrir la figure https://lc.cx/Explore_CM5_gene dans un nouvel onglet (plus grande bien entendu).

Pour une exploration plus rapide, voici 10 des 18 configurations présentées ci-dessus déjà réalisée avec cette figure. Cela permet d’explorer rapidement, les modifications simples proposées.
• Ces figures s’ouvrent avec les ancres des pièces cachées, pour des raisons esthétiques. Il faut décocher la case associée pour pouvoir manipuler les pièces.
• Pour déplacer le tableau dans la page, désactiver la flèche à gauche du tableau de bord.

• n=2 | G au centre. Dans la figure c’est l’inverse H qui est au centre : https://lc.cx/CM5_H_centre
• n=3 | F au centre. Configuration de référence. On peut essayer de mettre F à la place de D (immédiat - se mettre dans l’option « aucune pièce ») ou de T (plus long) : https://lc.cx/CM5_F_centre
• n=4 | I au centre. Aboutit rapidement à J au centre : https://lc.cx/CM5_I_centre_versJ
• n=5 | I au centre. Pour K au centre : https://lc.cx/CM5_I_centre_versK
• n=6 | W au centre. Permet d’obtenir V au centre : https://lc.cx/CM5_W_centre_versV
• n=8 | C au centre, dans la figure R son inverse : https://lc.cx/CM5_R_centre
• n=11 | L au centre. Nombreuses variantes sur les EA : https://lc.cx/CM5_L_centre
• n=12 | M au centre (et R sur un angle) : https://lc.cx/CM5_M_centre_Rangle
• n=15 | B au centre, configuration « symétrique » : https://lc.cx/CM5_B_centre_Sym
• n=16 | A au centre. Configuration « AKH-NFC » : https://lc.cx/CM5_A_centre_AKH

Haut de la barre ’La saga des carrés’

Comme déjà signalé dans le premier onglet de cette barre, ces plateaux ont plutôt été proposés dans un cadre plus institutionnel - scolaire disons - pour une réflexion sur l’aire en général, plus que pour les solutionner. Une des raisons de ce choix est probablement aussi que je n’arrivais pas à trouver des « préludes » vraiment esthétiques comme pour les autres plateaux. Mais cela n’a pas empêché de faire réaliser des versions en bois :

Les plateaux en bois

Dans la figure générique de cet article, nous n’avons pas retenu le plateau 8 de l’illustration ... et donc le plateau 9 de l’illustration s’appelle désormais le plateau 8 dans ces figures, et cet article. Les quatre plateaux, au format de notre figure générique, sont donc ceux-ci :

On étudie ces plateaux par groupe de deux.

Le choix des couleurs dans les figures à manipuler

On a choisi par défaut le deuxième jeu de couleur, avec les pièces avec un seul angle droit en jaune. Mais parfois, surtout pour les figures avec inverse, on voit mieux les contours des figures avec le jeu 3. Il est conseiller d’utiliser ce troisième jeu de couleur pour manipuler, surtout dans les figures sans contour.

Les plateaux P6 et P7

Premier prélude pour P6 et P7

On peut commencer par deux préludes à 12 pièces, comme les précédents, même si cela va être moins régulier (avec un côté à 5 pièces au lieu de 6)

On notera que l’on n’a pas fermé la ligne comprenant les pièces T et D, en utilisant J ou K. On le fera plus loin, mais c’est moins simple à résoudre car il y a peu de solutions.

On peut explorer ce prélude avec une de ces deux figures
• sur la plateau 6 :https://lc.cx/P6_Prelude1
• sur le plateau 7 : https://lc.cx/P7_Prelude1

En fait les deux plateaux P6 et P7 sont inverses l’un de l’autre. Aussi, pour chercher des solutions du puzzle et de quelques préludes, nous vous proposons d’utiliser plutôt cette version « modifiée »de la figure précédente où les pièces peuvent être inversées, ce qui fait que l’on trouve une solution pour les deux plateaux en même temps.

La figure n’a pas de contour (juste le cadre carré comme repère, si on ne le cache pas) mais ce n’est pas un problème pour un utilisateur désormais averti.

Explorer ce prélude 1 dans les deux plateaux avec cette nouvelle figure : https://lc.cx/P6P7_Inv_Prelude1

Deuxième prélude pour P6 et P7

On choisit désormais de « fermer » la ligne centrale pour avoir un prélude plus finalisé, ce qui donne les préludes suivants (inverses) pour les plateaux 6 et 7. A gauche, on les notera Prelude2a (bombé-creux deux fois), à droite ce seront les Prelude2b (2 bombés et 2 creux - pour P6 l’inverse pour P7)

Ces préludes sont présentés ici car ils ont bien au moins une solution, mais chacun n’a peut-être qu’une seule solution (ce qui reste à explorer). C’est la raison pour laquelle ils n’ont jamais été proposés dans les ateliers IREM car a priori les élèves ne les trouveront pas assez rapidement (le temps moyen de présence dans un atelier), mais c’est intéressant de chercher soi-même car il n’y a pas beaucoup d’options pour les 4 pièces de la ligne 2, en tenant compte qu’il faut placer les pièces I et F dans la partie inférieure du plateau. Le plus simple est d’utiliser la figure avec les pièces inverses

Tester la situation du prélude 2a sur cette figure : https://lc.cx/P6P7_Inv_Prelude2a
Idem pour le prélude 2b, toujours sur P6 et P7 : https://lc.cx/P6P7_Inv_Prelude2b

On peut aussi « jouer » avec les solutions en particulier en remarquant qu’on peut réorganiser la première ligne en échangeant deux pièces (M et R sur P6 - prélude 2a - et leurs inverses sur P7). Il faut bien entendu décocher la case « ancres cachées » pour pouvoir faire tourner les pièces.

Ouvrir la/une(?) solution du prélude 2a (nouvel onglet) : https://lc.cx/P6P7_Prelude2a_Sol

Ouvrir la/une(?) solution du prélude 2b (nouvel onglet) : https://lc.cx/P6P7_Prelude2b_Sol

Troisième prélude pour P6 et P7

Celui-ci comporte 9 pièces seulement pour être plus souple que les précédents. Voici le prélude, à gauche, et une variante - réorganisation des pièces EA - aboutissant aux mêmes solutions, à droite.

Tester cette configuration au choix :
• Plateau 6 seul : https://lc.cx/P6_Prelude3 (depuis la figure dite « de base », avec les contours)
• Plateau 7 seul : https://lc.cx/P7_Prelude3 (idem, avec les contours)
• Les deux : https://lc.cx/P6P7_Inv_Prelude3 (depuis la figure avec les inverses, sans le contour)

Ouvrir la figure de la solution précédente pour P6 et P7 : https://lc.cx/P6P7_Prelude3_Sol

Rappel :avec l’inversion, les couleurs des pièces W, X d’une part, ainsi que O et P d’autre part, changent pour P6.

On peut y explorer diverses variantes.

Les plateaux P8 et P9

Comme les deux précédents, ils sont inverse l’un de l’autre, et donc une solution pour P8 donne par inverse une solution de P9. Le fait que ces plateaux aient leurs coins carrés rend les deux préludes proposés beaucoup rapides à résoudre. Déjà ils ont plus de solutions.

Prélude 1 pour P8 et P9

On remarquera qu’il n’y a pas la pièce carrée I dans ce prélude, ni une des pièces EA, soit A pour le plateau 8 et son inverse Q pour le plateau 9.

La pièce Q de P9 (ou A de P8) peut prendre 7 positions différentes. Il n’y a qu’une position qui ne donne pas de solution : Q deux lignes sous L (ou pour P8, A deux lignes sous L aussi). Les 6 autres positions aboutissent à au moins une solution.

Explorer le prélude 1 avec, au choix
• du plateau 8 par la figure générique : https://lc.cx/P8_Prelude1 (qui a le contour du plateau)
• du plateau 9 par la figure générique : https://lc.cx/P9_Prelude1 (avec le contour du plateau
• des deux plateaux avec la figure des inverses : https://lc.cx/P8P9_Prelude1 (mais sans contour précis)

Préférer JOUER avec les solutions ci-dessus, pour passer de P9 à P8, chercher des variantes possibles.
Rappel : il faut bien entendu décocher les ancres pour pouvoir pivoter les figures
• Lancer la figure https://lc.cx/P8P9_Prelude1_Sol1
• Lancer la figure https://lc.cx/P8P9_Prelude1_Sol2
• Lancer la figure https://lc.cx/P8P9_Prelude1_Sol3
• Lancer la figure https://lc.cx/P8P9_Prelude1_Sol4
• Lancer la figure https://lc.cx/P8P9_Prelude1_Sol5
• Lancer la figure https://lc.cx/P8P9_Prelude1_Sol6

Prélude 2 pour P8 et P9

Sur les 12 pièces « standards » des préludes jusqu’ici seule une pièce manque (K ou J selon le plateau). Il y a trois possibilités pour la pièces manquante en ligne 1. On trouve au moins une solution pour chacune de ces trois pièces.

Explorer cette situation, sous trois formes possibles, au choix :
• Sur le plateau 8 seul avec cette figure https://lc.cx/P8_Prelude2 (avec contour)
• Sur le plateau 9 seul avec cette figure https://lc.cx/P9_Prelude2 (avec contour)
• Sur les deux plateaux 8 et 9 avec la figure des inverses https://lc.cx/P8P9_Prelude2 (sans contour)

Manipuler ces solutions avec les figures
• Sol avec G : https://lc.cx/P8P9_Prelude2_SolG
• Sol avec K : https://lc.cx/P8P9_Prelude2_SolK
• Sole avec E : https://lc.cx/P8P9_Prelude2_SolE

Bien entendu, il y a beaucoup plus de solutions si on réduit le prélude, par exemple avec seulement les 6 pièces EA, comme ici :

Bilan de cette partie sur les plateaux carrés

On aura compris que l’on a centré notre propre recherche sur les « contours minimaux » (second onglet) et, n’ayant pas proposé ces différents préludes en atelier IREM (ou rarement, on en verra une photo dans l’onglet P14), nous n’avons pas encore étudié toutes leurs solutions.

Ne pas hésiter à proposer vos solutions à MathemaTICE pour compléter cette partie ... ou même proposer votre propre article « Curvica » comme complément à celui-ci, avec des préludes originaux.

Haut de la barre ’La saga des carrés’

Variations autour de la « figure racine » des napperons

La configuration racine
Avant d’étudier les plateaux proposés , comme pour les plateaux carrés, on va commencer par regarder les « variations minimales » possibles de la configuration racine ci-contre à l’origine de ces « napperons ». On commence par vérifier qu’elle est bien d’aire 24, en enlevant le carré central.

Avec 7 pièces seulement comportant un angle droit, cette configuration ne peux pas être elle-même un plateau Curvica. D’où la question des modifications minimales à apporter, éventuellement en fonction de la pièce centrale, d’abord le carré I, puis les autres pièces d’aire 1 (F, G, H, L, M), ensuite en plaçant au centre des pièces d’aire différente de 1 qu’on choisira comme A, C, Q, R ou même J et K.

En pratique, ces contours minimaux ne seront pas retenus comme plateaux car trop irréguliers et peu esthétiques. Mais ils ont l’intérêt d’une configuration minimale pour avoir un puzzle Curvica proche de la figure racine ci-dessus. Les plateaux retenus pour l’étude seront, d’abord ceux dit « napperons » dans le premier article sur Curvica dont on a conservé la terminologie, et ensuite quelques variantes.

Exemples de configurations minimales avec des pièces centrales d’aire 1

Dans tous les cas, les contours obtenus contiennent 6 modifications, 3 bombés et bien sûr autant de creux. On pouvait espérer faire mieux que pour le cas du carré I au centre avec les pièces comme F, et H, ou peut-être M et L, mais ce n’est pas le cas : toujours 6 modifications. Cela resterait néanmoins à confirmer qu’il s’agit bien de configurations minimales. On notera que, dans ces solutions, il y a toujours une pièce à deux côtés arrondis. Cela peut être dû au fait que l’on a utilisé les pièces I, J, K pour utiliser leurs trois côtés droits.

Rappel de manipulation :
• Penser à désactiver le cache du contour éventuellement et surtout des ancres pour tourner les pièces.
• Être en « mode consultation » du logiciel, c’est-à-dire sans aucun outil sélectionné (et en particulier pas la flèche à gauche du tableau de bord), cela évite de créer des points sans le vouloir.

Pour tester et éventuellement améliorer ce qui est proposé, vous pouvez utiliser les figures suivantes (utilisant les pièces inverses de la barre des plateaux carrés)
• Centre I : https://lc.cx/Origin_Napp_I
• Centre H : https://lc.cx/Origin_Napp_H
• Centre F : https://lc.cx/Origin_Napp_F
• Centre M : https://lc.cx/Origin_Napp_M
• Centre L : https://lc.cx/Origin_Napp_L

Exemples de configurations avec les autres pièces

On remarquera que pour le centre J, il n’y a que 5 modifications du contour ... ce qui est possible car il y a un bombé de plus mais ouvre aussi quelques perspectives d’éventuelles améliorations ...

Les figures disponibles pour manipulations :
• Centre A : https://lc.cx/Origin_Napp_A
• Centre C : https://lc.cx/Origin_Napp_C
• Centre J : https://lc.cx/Origin_Napp_J

Si on n’utilise pas les trois pièces I, J, K aux extrémités, on peut trouver des variations minimales de telle sorte que les pièces à la frontière de la figure racine soient avec un seul segment sur le contour, contrairement aux figures précédentes.

Ouvrir cette figure : https://lc.cx/Origin_Napp_Cbis

Dans les ongles suivants, on va travailler sur de « vrais » napperons, c’est-à-dire des configurations nettement plus esthétiques et symétriques.

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Beaucoup de ces plateaux sont aussi proposés aux élèves dans leur version en bois. La numérotation des activités IREM n’est pas celle utilisée ici : notre P10 s’appelait alors P11 (et notre P11, P14).

Les index cardinaux

On appellera index cardinal d’un prélude ou d’une solution, la combinaison des pièces retenues aux points cardinaux ci-contre.

Les emplacements Ouest et Est peuvent recevoir les pièces L, R et V, alors que les emplacements Nord et Sud peuvent recevoir les pièces L, N et C, soit, respectivement les paires^(*) (R, L), (R, V) et L, V) horizontalement et (L, C), (L, N) et (C, N) verticalement.

(*) j’ai écrit des couples car je ne sais pas (encore) mettre des accolades dans un texte qui ne rend pas en italique, mais il s’agit bien de paires.

C’est parce que la pièce L peut intervenir dans les deux directions que ce plateau P10 a moins d’index cardinaux que d’autres et au final, moins de solution que les autres.

En tenant compte des symétries orthogonales du plateau, et de sa symétrie centrale, il n’y a que cinq index cardinaux à étudier, à savoir LCVN, VLRN, VLRC, LCRN et VCRN.

L’index cardinal VCRN

Le cinquième index ne permet pas de réaliser un contour qui puisse aboutir, simplement car, quelque soit le contour réalisé, il n’y a pas de possibilité placer les deux pièces A et Q.

Deux exemples de situations parmi les plus favorables : si on arrive à placer Q on ne peux pas placer A et réciproquement. À gauche on voit bien que si on pouvait échanger L et R on pourrait placer A et Q. Cela correspond au premier index à réorientation près, c’est-à-dire à un des symétriques du premier index.

Explorer soi-même l’index cardinal VCRN : https://lc.cx/P10_index_VCRN

Donc ce plateau P10 n’admet que 4 index cardinaux aboutissant (pouvant aboutir) à des solutions.

Les préludes-contours associés et leurs résolutions

On rappelle que par prélude-contour on entend non pas des préludes possibles, mais des préludes qui aboutissent à des solutions. Cela nous a permis de proposer de tels préludes en atelier IREM, en particulier à des élèves de classes de 3° ou de lycées. En effet, les contraintes sont telles que l’exploration devient assez rapide. Le plus long est l’étude préalable qui permet de proposer ces préludes.

Deux préludes associés à l’index LCVN

À droite, le second prélude correspond seulement à l’inversion des pièces H et P. Chacun de ces préludes aboutit à deux solutions

Explorer ces préludes pour trouver soi-même des solutions : https://lc.cx/P10_LCVN_Preludes1et2

Prélude associé à l’index cardinal VLRN

Un seul prélude est opérationnel pour cet index. Ce « prélude 3 » permet lui aussi d’aboutir à deux nouvelles solutions.

Ouvrir la figure de ce prélude pour chercher les solutions : https://lc.cx/P10_VLRN_Prelude3

Prélude associé à l’index cardinal LCRN

Il n’y a qu’un seul prélude qui aboutit lui-même à une seule solution

Lancer ce prélude pour chercher une solution : https://lc.cx/P10_LCRN_Prelude4

Prélude associé à l’index cardinal VLRC

A nouveau un seul prélude permet d’aboutir à une solution - et à nouveau une seule solution.

Lancer ce prélude pour chercher une solution : https://lc.cx/P10_VLRC_Prelude5

On a donc trouver 8 solutions. Compte tenu des symétries (2 axiales et une centrale), il y a donc seulement 32 solutions pour ce plateau P10, premier des deux napperons proposé dans l’article initial de Jean Fromentin (proposé surtout pour un travail sur les aires). Rappelons que, dans les symétries orthogonales, les pièces G, O, X sont respectivement échangées avec H, P, W.

On peut retrouver le plateau P10, avec inversion possible et d’autres centres possibles, dans le troisième onglet « Perspectives IA » de la dernière barre de menu.

Haut de la barre ’Les plateaux napperon’

Le plateau P11

Recherche des index cardinaux

Dans la direction Ouest/Est, les pièces peuvent être Q, R, et S et dans la direction Nord/Sud, les pièces peuvent être A, B, et C.

Ainsi, les index cardinaux - toujours compte tenu des symétries axiales et central - peuvent être :

• ic₁ : QARB, ic₂ : QASB, ic₃ : QARC, ic₄ : QASC, puis
• ic₅ : QBRC, ic₆ : QBSC, ic₇ : RASB, ic₈ : RASC, et enfin
• ic₉ : RBSC.

Nous n’allons pas faire une étude exhaustive comme au plateau P10 - qui était vraiment intriguant tant il avait peu de solutions - mais seulement donner quelques solutions pour certains index.

Même si on présente quelques « préludes-contours » - puisque l’on a des solutions - dans cet onglet, on va avoir une démarche différente de ce qui a précédé jusqu’ici, plus souple puisqu’il n’y a pas d’objectif d’exhaustivité, en cherchant des solutions comme variations de quelques pièces d’une première solution, en conservant l’index, mais en pouvant changer le contour.

Pour commencer, un gag magistral

L’histoire est assez incroyable, mais elle est vraie ... comme quoi on peut être passionné et en même temps, parfois, un peu à côté de la plaque.

En effet, il a fallu qu’un élève produise cette solution lors d’un atelier de la « Fête de la Science » pour voir un méga bug qui, dès qu’on le voit, devient inimaginable.

La pièce O paraît mal placée, mais en regardant de plus près, c’est le modèle autour de cette pièce qui est faux : il y a deux bombés au lieu d’un bombé et un creux.En fait l’élève avait trouvé une solution ... sur un modèle erroné. Bien entendu l’élève avait un prélude-contour correct (avec le O placé sur un creux un bombé issu des fiches proposées dans l’atelier).

Cela vient du fait qu’on a repris le plateau reçu par l’ébéniste, très habitué pourtant à produire nos plateaux (j’avais sous traité la partie « Illustrator » à un collègue infographiste sans même avoir regardé le plateau) :

Cela a été vite corrigé bien sûr, mais ce gag nous a bien marqué, même si on en a assez rapidement souri ... sauf les premières heures ...

Trois solutions avec ic₁, l’index QARB

Pour ce premier index, on commence encore classiquement, par ce prélude-contour qui aboutit, au moins, à trois solutions :

Manipuler ce prélude : https://lc.cx/P11_QARB_Prelude1

Quinze solutions pour pour l’index ic₂ : QASB

On commence encore par un prélude. Mais ce prélude aboutit ensuite à des petites modifications qui donnent 5 solutions

Manipuler ce prélude QASB pour ses propres investigations : https://lc.cx/P11_QASB_Prelude1

Treize solutions pour pour l’index ic₃ : QARC

Le prélude-contour suivant est conçu de telle sorte qu’il aboutisse à de nombreuses solutions, rapides à trouver, tout en conservant le contour proposé.
Si le lecteur devait tester un seul prélude-contour de P11, choisir celui-ci.

Manipuler soi-même ce prélude QARC : https://lc.cx/P11_QARC_Prelude1

Quelques solutions avec l’index ic₄ : QASC

Tout d’abord 5 solutions d’un même prélude-contour.

Puis des solutions originales, avec un bel exemple de symétrie partielle non connexe.

Sur la solution de gauche, on remarque que la forme géométrique constituée des 5 pièces JKFHU comporte une symétrie axiale. Mais le groupe des 5 pièces n’est pas symétrique en soi à cause de la pièce H dont le symétrique est la pièce G qui n’est pas dans le groupe des 5 pièces. Il faudrait inclure la pièce G. Pour cela on ajoute la partie (symétrique) des trois pièces GBV. L’ensemble de ces 8 pièces (illustration de droite, pièces colorisées en rose clair) admet alors un axe de symétrie (axe horizontal).

Avec seulement 5 des 9 index, et seulement quelques préludes-contours pour chaque index, on a déjà trouvé 37 solutions au lieu des 8 du plateau précédent (hors isométries du plateau).

Nous laissons au lecteur téméraire de poursuivre les investigations sur ce plateau. Merci de communiquer vos résultats ...

On peut retrouver le plateau P11, avec inversion possible et d’autres centres possibles, dans le troisième onglet « Perspectives IA » de la dernière barre de menu.

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Tout d’abord, le plaisir du contact avec le bois ...

... et de l’esthétique des napperons. Ces deux plateaux sont les derniers commandés à l’ébéniste. Ils l’ont été même après les plateaux des puzzles partitionnés présentés à la prochaine barre d’onglets. Et donc, en pratique, ils n’ont jamais été manipulés par les élèves, car arrivés trop tard. Disons que c’était plus pour le plaisir de la collection ...

Ce sont donc les variantes des napperons avec les pièces Q et A au centre, avec des modifications, à chaque fois, sur seulement deux extrémités. Comme pour le plateau précédent, les pièces pouvant se placer en Ouest/Est et Nord/Sud sont différentes, ce qui induit, pour chaque plateau, de fait 9 index cardinaux (hors isométries).

Là encore, nous n’allons pas étudier tous les cas, on va juste proposer quelques solutions.

Comme dans le plateau précédent, certains index et préludes-contours offrent une variation interne intéressante.

Rappel sur l’utilisation des figures
• Se mettre de préférence en mode consultation : aucun outil activé, en désactivant la flèche à gauche
• Penser à décocher la case « cacher les ancres » pour modifier l’orientation des pièces qui se déplacent par leur nom au centre.

Le plateau P12

On a choisi de s’intéresser à un seul index, de manière un peu systématique, mais pas non plus de manière exhaustive, loin de là.

L’index cardinal SLQN

On arrive assez rapidement à des solutions avec de nombreuses variantes internes. En voici quelques unes :

Lancer cette première figure : https://lc.cx/P12_SLQN_Sol1a

Dans la suite, on se propose d’inverser la ligne 2 (X, O, C) sur elle-même ainsi que la ligne 6 (W, T, R), aussi sur elle-même. Mais comme le symétrique de la pièce O est la pièce P (et W et X sont symétriques), il faut aussi échanger P et O, et en plaçant P nécessairement à la place de S, ce qui donne :

Lancer une de ces 4 figures, pour explorer les variantes : https://lc.cx/P12_SLQN_PsousL1

Pour cette approche, on abandonne la démarche par « prelude-contour » qui est surtout centrée sur l’utilisation par des élèves pour leur proposer un contour qui aboutit à des solutions. Ici, pour cet index particulier, l’étude peut être pilotée par la position des pièces A, B et C. Cet index a beaucoup de solutions car ces pièces peuvent prendre chacune six positions différentes, et, au contraire des démarches précédentes, on peut chercher des solutions (éventuellement des « préludes-contours » pour les élèves), à partir des positions que l’on choisi pour ces pièces.

Ainsi, on peut ensuite poursuivre en cherchant le solutions avec B sous L. On trouve à nouveau plusieurs variantes, dont cette belle inversion de la colonne 3 :

On poursuit, toujours avec B sous L mais en l’encadrant
• d’abord par les pièces X et W,
• puis par R et M.

On propose une petite incursion dans la rubrique A sous L, encadrée par les 4 même pièces, d’abord R et M, et ensuite X et W.

On vient de trouver 21 solutions pour le simple index cardinal SLQN, et encore, en conservant toujours G et H à côté de S alors qu’on pourrait y placer W et X en conservant la structure pour placer I ou K à côté de S,. On pourrait y placer aussi O et P, avec alors au choix V ou R à côté de S. Il y a donc encore beaucoup à explorer pour ce premier index.

Pour chercher plus avant ces situations, lancer une des figures précédentes
• Avec B sous L : <https://lc.cx/P12_SLQN_BsousL_XW
• Avec A sous L : https://lc.cx/P12_SLQN_AsousL_RM

Bien entendu, on peut utiliser les figures précédentes pour explorer les 8 autres index.

Le plateau P13

Ce plateau admet lui aussi 9 index cardinaux puisque dans la directions Ouest/Est les pièces peuvent être L, V, R et dans la direction Nord/Sud, les pièces utilisables sont C, B , A. Nous allons être plus rapides que pour le plateau précédent avec seulement quelques solutions qui ne sont qu’un très petit échantillon.

Deux solutions pour l’index RALB

La seconde solution est juste une inversion des pièces U, S, J.

Ouvrir une figure associée : https://lc.cx/P13_RALB_Sol1

Quatre solutions pour l’index VALB

Ouvrir une première figure : https://lc.cx/P13_VALB_Q_nord

Ouvrir cette autre figure : https://lc.cx/P13_VALB_Q_est

Haut de la barre ’Les plateaux napperon’

Avec les plateaux 14 et 15, on renoue avec des plateaux régulièrement proposés en atelier et qui ont eu un certain succès auprès des élèves généralement les plus âgés (à partir de la classe de 4°). N’ayant pas de pièce au centre, comme avec les autres napperons, ces plateaux ont beaucoup de solutions. Pour le plateau 14 on s’est même autorisé à quelques préludes plus fun que les classiques contours.

Un classique prélude-contour

Voici la façon dont sont illustrées les activités sur préludes-contours des plateaux « napperons ».

En fait, ayant d’autres préludes plus engageants, spécifiquement pour ce plateau, on n’a proposé que le prélude ci-contre. Il était alors annoncé qu’il aboutissait à au moins 3 solutions.

Ouvrir une figure dédiée pour explorer ce prélude : https://lc.cx/P14_PC1
(PC pour prélude-contour)

La fiche d’activité dédiée précisait aussi :

Remarque : vous pouvez, sans difficulté, chercher un contour personnel, et aboutir à des solutions avec votre prélude. Ce plateau est très ouvert en terme de solutions

Une élève de classe de 4° a alors réalisé cette solution, qui n’a aucun rapport avec le prélude proposé

Ouvrir la figure associé à cette solution élève pour explorer des variantes possibles : https://lc.cx/P14_Sol_Eleve

Autres préludes spécifiques à P14

On a donc plutôt proposé aux élèves ces trois préludes. Ils sont assez contraints pour que l’on trouve rapidement une solution.

On les appellera « Prélude 1, 2, et 3 » respectivement. Le premier, à gauche, admet quatre solutions, le second, au centre ci-dessous, trois solutions, et le troisième, à droite, plus contraint, une seule solution.

Jouer avec ces préludes
Celui ayant 4 solutions : https://lc.cx/P14_Prelude1
Celui à 3 solutions : https://lc.cx/P14_Prelude2
Celui à une seule solution (semble-t-il) : https://lc.cx/P14_Prelude3

Les solutions utilise partiellement la symétrie axiale verticale, en échangeant O, P et X, W.

Haut de la barre ’Les plateaux napperon’

Avec les plateaux des rectangles ondulés (P2 à P5), ce plateau a été lui aussi très utilisé. En particulier, avec les élèves plus âgés, on peut plus facilement proposer les plateaux en bois car la manipulation et la distinction des pièces - de même couleur - ne pose pas de problème.

Comme d’autres, ce plateau était disponible en bois en deux tailles, la version standard et une version plus grande. Ci dessous, on voit deux élèves côte à côte avec les deux tailles du plateau 15. En bas à droite, on remarque aussi un plateau carré - le plateau 7 étudié dans une partie précédente - avec des pièces de grande taille.

Le choix des préludes-contours

Les trois préludes proposés ne sont bien-sûr pas les seuls préludes-contours possibles. Ils ont été retenus pour les nombreuses symétries internes que l’on trouve dans leurs solutions. Ces symétries internes existent aussi car il n’y a pas de trou au centre comme dans les napperons P10 à P13.

En haut, le prélude 1 dans deux versions : à gauche, ce qui été prévu de proposer, à droite ce qui a été effectivement utilisé. En effet, on pourrait placer A sous la pièce L, mais alors il faut un peu de temps (trop pour un atelier à la Fête de la Science) pour s’apercevoir que l’on ne peut aboutir à une solution. On propose donc un prélude avec 14 pièces, il reste donc 10 pièces seulement à placer.

Le deuxième prélude contient lui aussi de belles symétries locales intérieures. On notera que, comme ce prélude n’admet pas de rotation dans ses isométries - contrairement au prélude P14 - avoir le couple GH en sud donne de nouvelles solutions, non isométriques à celles où le couple GH est en ouest. Le troisième prélude contient lui aussi quelques symétries internes.

Tester l’un de ces préludes
• Prélude 1 : https://lc.cx/P15_Prelude1
Conseil pour ce prélude : commencer par placer le carré I. Il y a trois possibilités, dont une qui produit plus de solutions que les deux autres. Observer ensuite la forme des pièces qui restent, cela limite fortement les explorations de ce prélude.
• Prélude 2 : https://lc.cx/P15_Prelude2
• Prélude 3 : https://lc.cx/P15_Prelude3

Très heureuse d’avoir résolu, assez rapidement en fait, le prélude 2, une élève de collège m’avait alors invité à la prendre en photo devant sa réussite.

Voici, dans 3 blocs à ouvrir, quelques solutions avec analyse des symétries partielles internes, et d’autres réalisations d’élèves. Les blocs contiennent des figures DGPad de quelques solutions que l’on peut ouvrir.

Le bloc du prélude 2 contient d’autres analyses intéressantes

On termine par le troisième prélude

On a donc présenté (dans les blocs) 29 solutions à ce plateau ... sur possiblement plus d’une centaine.

Haut de la barre ’Les plateaux napperon’

Commençons donc par un tour d’horizon des différents plateaux de partitionnement proposés, et en particulier avec la nouvelle figure générale dédiée.

On va donc regarder, plus ou moins en détail, huit situations de partage, les deux premiers n’étant pas des partitions des 24 pièces mais seulement l’utilisation de 18 pièces parmi les 24.

Le menu R9 I9 B9 (2 des 3)

La copie d’écran est réglée sur le second item. Dans les activités d’élèves, cet item est proposé dans trois options distinctes, soit R9 I9, soit R9 B9, soit I9 B9. On les a regroupées dans un seul item de menu, en particulier pour pouvoir chercher des situations particulières.

En effet, en pratique, les élèves ayant une fiche d’activité R9 I9 ou R9 B9 peuvent remplir la composante R9 - comme suggéré par la consigne - sans, parfois, pouvoir remplir ensuite l’autre composante, ce qui est assez frustrant. Un peu pris de court sur le moment - n’ayant pas du tout anticipé cette situation - il a suffit de suggérer aux élèves de commencer par remplir I9 ou B9, cela limite largement les cas de non remplissage de la composante R9.

Le fait que l’on ait placé, dans la figure DGPad, les trois situations ensemble permet d’étudier plus facilement ce genre de problématique.

Il est bien entendu facile de trouver un remplissage de I9 ou de B9, qui ne permet pas de remplir R9 : il suffit d’utiliser 4 des 7 pièces qui ont un angle droit. Et comme ce n’est clairement pas une démarche scolaire naturelle, en commençant par un I9, on peut « statistiquement », sans encombre, remplir un R9. Divers exemples de "blocage de R9 par I9 sont proposés plus loin. Par contre, aucun de ces exemples ne permet de bloquer B9 en même temps.

Une autre orientation d’étude est, à l’inverse, de rechercher les remplissages de la composante R9 qui permettent de remplir (pas simultanément bien sûr !) à la fois I9 et B9. Un exemple est proposé dans un bloc un peu plus loin,

Ouvrir la figure : https://lc.cx/Curvica_Partitions

• En l’ouvrant vous remarquerez - cela ne se voit pas sur la copie d’écran précédente - que la figure permet de passer en mode inverse, en inversant les pièces et les plateaux. Cela permet par exemple, sur le thème précédent, de voir une composante I9 bloquant la réalisation de R9 à partie d’une composante B9 le réalisant, et réciproquement. C’est aussi très sympa, esthétiquement, sur les trois derniers plateaux.
• Pour chaque plateau, on remarquera au coin haut gauche de la composante de gauche un point qui permet de déplacer le tout. Mais on peut aussi déplacer la page à la souris (trackpad) en mode consultation, c’est-à-dire sans aucun outil du tableau de bord activé.

Voici quelques exemples de composantes réalisant le blocage d’une des deux autres composantes, dans divers sens. On peut aussi lancer les figures associées pour continuer les explorations. Il faut ouvrir les blocs associés.

D’autres aspects, en particulier sur les solutions de type (I9, B9) sont développés dans le prochain onglet, après les productions d’élèves.

Le menu R6 I6 B6

C’est bien entendu le plus simple, il y a probablement plusieurs milliers de solutions. Cela n’est jamais arrivé qu’un élève, prenant ce tableau, ne le finisse pas.

Ces deux menus sont les seuls utilisant seulement 18 des 24 pièces. Tous les autres plateaux sont de vrais partitionnements et donc bien moins simples à réaliser.

Les autres menus sont présentés sans développement particulier ... ils seront repris dans les onglets suivant.

Le menu R12 I6 B6

Ce partitionnement n’a pas été proposé aux élèves. Il reste néanmoins assez facile à résoudre, mais pas en temps (très) limité sur un stand lors de la Fête de la Science.

Lancer la figure générique sur les plateaux partitionnés pour tester ce menu ou l’un des suivants : https://lc.cx/Curvica_Partitions

Le menu R8 I8 B8

Il est plus contraint, et donc très facile à remplir. De plus, comme on le verra, il y a souvent de nombreuses permutations internes propre à chaque composantes, donc cette option est intéressante à étudier.

Le menu I12 B12

C’est l’une des partitions proposées aux élèves de lycée. Cette configuration mériterait une étude bien spécifique, qui sera seulement esquissée dans les deux onglets qui lui seront dédiés.

Les trois menus cosmétiques BRI9

Comme 27= 3x(9-1), on propose de répartir les 24 pièces en trois blocs d’un carré de côté 3 sans une pièce centrale d’aire 1. C’est le premier item R9 I9 B9 Ctr IML

Puis on poursuit, en se disant que finalement il faut que la somme des trois centres soit d’aire 3, mais qu’on peut ne pas avoir une aire 1 dans chaque composante. On propose donc deux versions de cette option, tout d’abord en gardant une aire égale à 1 (la pièce M), les autres étant de variation +3 et -3 :

Et une dernière option avec aucune pièce centrale d’aire 1 : U de variation d’aire +2, à nouveau S de variation -3 et P de variation +1.

C’est clair que ce n’est que pour l’esthétique, mais rien que pour cela, c’est sympa. Le plus surprenant est que ces plateaux ait des solutions !

Jouer avec tout de suite : https://lc.cx/Curvica_Partitions

Mais pourquoi BRI9 dans le titre ?

Car eux aussi ont fait l’objet de versions en bois, et c’était leur nom à l’époque.

Haut de la barre ’Les partitionnements’

On commence donc par des blocs de 18 pièces, sous plusieurs formes. Tout d’abord le bloc nommé BRI6, c’est-à-dire trois composantes de 6 pièces chacune, un rectangle (R6), un bloc de 6 pièces bombées (B6) et un bloc de 6 pièces incurvées (I6) dont voici une « version ébéniste ».

Ensuite, l’option 18=2x9 se décline, dans les fiches de l’IREM, en trois réalisations, un R9 B9 (rectangle, bombé) - même si le « rectangle » est un carré - le R9 I9 (rectangle et contour inversé) et le I9 B9, avec un contour creux (on a utilisé le terme « inversé » au lieu de « creux » sur les fiches, on continue) et un contour bombé, comme c’est le cas dans cette version en bois.

Dans tous les cas, il y a des centaines de solutions. Voyons juste quelques réalisations d’élèves.

Les blocs R6 B6 I6

Les blocs R9 I9 - R9 B9 - I9 B9

On peut être surpris de la consigne, mais, alors qu’il y a beaucoup de solutions en (I9, B9), il y en a moins en (R9, I9), et, comme déjà mentionné, un élève peut avoir rempli le carré R9 de telle façon qu’il ne va pas pouvoir remplir le carré bombé B9 ou le carré incurvé I9.

Première analyse d’une graine de I9 B9

On reprend ici une analyse réalisée (en juillet 2015) suite aux difficultés rencontrées par les élèves pour finaliser ce puzzle. Comme l’analyse proposée est longue, elle est en partie proposée dans des blocs. On part d’une graine, notée ci-dessous (I9_P1, B9_I1), pour dire que la pièce centrale de I9 est la pièce P et celle de B9 est la pièce I. Ce choix a été fait par hasard, justement pour être dans une « situation d’élève », et on verra que, le choix de la pièce P au centre de I9 n’est pas le plus pertinent, loin de là, en terme de nombre de solutions ... même s’il va y en avoir beaucoup quand même.

Après cette première approche des pièces I9, pour la B9_P1 donnée, on se propose maintenant de chercher non plus quelques, mais toutes les solutions B9_xy qui peuvent faire une paire avec la pièce initiale I9_P1. On place le résultat dans cinq blocs ... on peut aussi se contenter de la conclusion, sans ouvrir les blocs.

Sur une graine (I9, B9) solution du puzzle, choisie au hasard ... dans une salle d’attente médicale ..., notée (I9_P1, B9_I1), on peut remarquer :
• qu’il y a beaucoup de solutions : on a trouvé, rapidement, sans soucis d’exhaustivité, 13 solutions I9 pour la configuration B9_I1, et, en y passant plus de temps, 84 solutions de B9 pour I9_P1.
• Par ailleurs, il y a plus d’une centaine de solutions supplémentaires en combinant les 13 I9 et les 84 B9 (sur les plus de 1000 possibles) car W, N, V sont souvent utilisées dans I9 et B9. Finalement cette graine aboutit à 227 solutions, rien qu’à partir de 13 variantes de I9.

On peut aussi remarquer qu’en dehors des 5 solutions où elle est au centre du bloc B9, la pièce D n’a aucune utilité dans les solutions B9, alors que la pièce F a manqué souvent. On est dans une situation où un seul couple de pièces symétriques sont dans le même ensemble (G et H pour B9). On aurait une situation bien plus riche si les deux autres couples de pièces symétriques (O et P, puis W et X) était, chacun, disponibles dans l’une des deux parties . C’est ce que l’on va regarder maintenant.

Nouvelle analyse - 2026 - d’une graine I9 B9 optimisée

On se place dans une situation a priori plus riche, avec cette graine initiale

On remarque que, dans la composante I9, il y a deux couples de pièces symétriques, G et H, puis W et X. Donc, pour cette composante I9 donnée, les deux pièces symétriques O et P sont disponibles pour les composantes B9 que l’on va chercher.

On cherche donc toutes les composantes B9 que l’on peut associer à la composante I9 fixée. Comme O et P sont disponibles, cela signifie que pour chaque composante trouvée, ses 8 isométriques sont réalisables avec les pièces disponibles,. Il en résulte qu’il faut être vigilant à ne pas mettre en valeur des solutions isométriques ... pour pouvoir multiplier le nombre de solutions par 8 tout simplement. C’est facile bien entendu, mais il faut être attentif pour toutes les pièces ayant un axe de symétrie (V, C ...), en particulier pour L , D ou T qui en ont deux.

Ci dessus, on a commencé par la pièce D au centre car c’est la seule place qu’elle peut prendre.

Le détail des solutions est dans le bloc suivant

En prenant des composantes au hasard, on avait trouvé 84 solutions de B9 pour une composante donnée I9. En réfléchissant un peu plus, on peut construire une composante I9 optimisée pour le nombre maximum de composantes B9. On peut trouver (au moins - il peut y en avoir d’autre, au moins de centre J) 552 composantes B9 associée à cette composante I9.

De I9 B9 au partitionnement

Depuis I9 B9 on peut aller vers une partition structurée de type R6 I9 B9. En voici un exemple

Ouvrir cette figure pour explorer des variantes : https://lc.cx/I9B9_et_R6

On termine ici la partie « pré-partitionnement », plus orientée vers l’utilisation des élèves.

Haut de la barre ’Les partitionnements’

En pratique, comme B6 et I6 sont très contraints - puisque l’on veut une partition - les variantes d’une solutions sont, en général, surtout dans la composante R12. En voici un exemple très riche en variantes de R12 :

Exemple de variations sur d’une première solution

Tout d’abord il y a trois variantes de I6 : on peut échanger R et M, puis avec R en première colonne, échanger R et Q : on a donc trois variantes immédiates de I6. Pour B6, il n’y a que l’échange classique de C et A comme variante immédiate. Regardons maintenant les possibilités dans R12.

Tout d’abord on note que O est dans R12, mais pas son symétrique P, qui est dans B6. Cela autorise un regard différent pour l’exploration des variantes de R12 par rapport au rectangle de base de 24 pièces qui a tous ses symétriques. Les pièces I, J, K par exemples ne sont plus limitées au premier quadrant de R12 puisque l’on ne peut faire de symétries orthogonales. Il faut juste être vigilant à ne pas compter les symétries centrales des configurations.

Si on fait un symétrique d’une solution, de R12, il y a la pièce P à la place de O. Donc en ne conservant que P, on est sûr de de pas faire le symétrique d’une solution précédents. Exemple de symétrique que l’on n’aborde pas dans la suite :

On cherche donc seulement les variations R12 avec la pièce O. Cette composante est très riche en variantes, car on a à la fois les 7 pièces ayant un angle droit et les trois pièces ayant deux côtés parallèles.

Lancer la figure de cette solution : https://lc.cx/R12I6B6_Sol1
pour explorer les variantes (... et en trouver d’autres que les suivantes !)
Penser aussi à tester l’inverse.

Avec ces 28 solutions et les 3x2 variantes de I6 et B6, cette première solution aboutit à 168 variantes à composantes, chacune, non isométriques.

L’ensemble des 10 pièces ayant au moins un angle droit ou des côtés parallèles est globalement stable par inverse. O et V sont transformé en W et N donc, par inverse on a nécessairement à nouveau 168 autres solutions, soit au total 336 solutions à partir de la solution initiale.

Variations sur une deuxième solution

On conserve la même composante I6 ; On modifie légèrement B6 tout en conservant O pour R12. L’utilisation de la pièce J dans B6 casse la symétrie des solutions que l’on a pu rencontrer dans la configuration précédente. Il y a nécessairement moins de possibilités de permuations des pièces dans R12.

Lancer cette figure pour tester https://lc.cx/R12I6B6_Sol2

Explorer une troisième configuration

Dans la première configuration, il n’y avait qu’une pièce qui n’avait pas son symétrique dans R12. Dans la configuration 2, on est passé à deux pièces qui n’ont pas leur symétrique. Dans cette nouvelle configuration on passe à trois pièces sans leurs symétriques. La situation est donc bien plus contrainte.

En intégrant la pièce F dans B6 et la pièce H dans I6, on limite nettement les possibilités de permutations dans R12. On trouve néanmoins quelques solutions.

Lancer la figure associée pour tester : https://lc.cx/R12I6B6_Sol3

On arrete ici c’est introduction à ce partionnement qui n’a jamais fait l’objet d’activités avec des élèves.

Haut de la barre ’Les partitionnements’

La décomposition de 24 en 3x8, soit trois blocs de 2 lignes et 4 colonnes est une organisation différente que R12 I6 B6, permettant d’autres manipulations.

Comme dans le cas précédent, on propose une solution avec de nombeuses de variantes internes possibles, et des solutions plus spécifiques, moins ouvertes aux variantes internes.

Une première solution, riche en permutations internes

Ouvrir la figure de cette configuration : https://lc.cx/R8I8B8_Sol1

Tout d’abord on notera que R8 comporte les 6 pièces à côtés paralléles - qui sont, globalement, invariantes par inversion - et les pièces E et U qui sont inverses l’une de l’autre. Ainsi R8 est globalement invariante par inversion (ce qui ne pouvait pas être le cas des solutions pour R12 que l’on a proposé).
 :
Comme R8 est invariante par invesion, on n’étudie pas J en (1,1) car c’est l’inverse de K.

En ce qui concerne les permutations des pièces internes aux composantes, pour R8, on peut seulement échanger F et T en ligne 1, Pour I8, on a l’échange usuel de R et Q, et pour B8, le classique trio de M et C puis quand C est sous A , celui de A et C.

Voici les autre permutations internes possibles pour B8 d’abord, puis pour R8 et I8.

Finalement on a, en tout, (R8xI8xB8) : 3x4x6 = 72 permutations internes, soit, avec l’inversion 144 solutions issue de cette première solution (hors isométries bien entendu).

Autres solutions

On casse bien entendu l’invariance par inversion de R8.

Solution 2 : avec E en I8, J et T en B8

Ouvrir cette figure : https://lc.cx/R8I8B8_Sol2

Solution 3 : avec F en I8, J et H en B8

Ouvrir cette figure : https://lc.cx/R8I8B8_Sol3

Solution 4 : Conservation de B8 de sol 1 - Modif de R8 et I8

Ouvrir cette figure : https://lc.cx/R8I8B8_Sol4

Solution 5 : avec la même composante R8 de sol 4

Ouvrir cette figure : https://lc.cx/R8I8B8_Sol5

Haut de la barre ’Les partitionnements’

Avec ces tableaux, on s’offre une petite pause fun, juste pour le plaisir de manipuler les pièces dans un environnement très contraint, même s’il ne va pas y avoir beaucoup de solutions. Comme on l’a vu dans l’introduction - où on explique aussi l’ancien nom « BRI » (Bombé Rectangle Inverse) - on a même proposé ces puzzles avec des tableaux en bois. Avec les élèves, sur les stands de l’IREM, l’objectif était de remplir deux des trois composantes : il n’y a pas assez de solutions pour proposer ces tableaux « à résoudre entièrement » en temps limité, qui plus est sans prélude.

On appelera les plateaux du nom des pièces centrales. Pour une exploration effective directement sur les figures, on testera d’abord le deuxième ou troisième plateau qui ont plus de solutions que le premier.

Le plateau BRI9 - IML

Dans ce tableau chaque pièce intérieure est d’aire 1, et de plus les trois sont invariantes par inversion (avec une rotation pour M et L). L’inverse ne donne bien entendu pas une autre solution, mais une solution d’un autre tableau puisque M devient centre de B9 et L de I9.

Remplir la composante R9 : cette composante doit contenir I, J, K qui ne peuvent être ni dans I9 ni dans B9. C’est aussi le cas de G et H. Et donc il y a 5 pièces sur les 8 « obligatoires ». Finalement, on voit vite su’il n’y a que deux possibilités.

Avec la première solution, il faut placer D, dans I9, mais sans disposer de E, pris par R9. En fait cela ne peut aboutir, même si on peut remplir facilement B9. La solution 2, permet de disposer de T pour la composante B9. Cette solution aboutit, même si on ne dispose pas de U.

Il y a des pièces trés « fluides », qui peuvent être dans un sommet ou dans une place intermédiaire, et d’autres très contraintes. C’est le cas des pièces T, V, L ou N. Le placement de ces pièces structure la recherche des solutions.

Ouvrir BRI9 IML avec la solutiion 2 pour R9 : https://lc.cx/IML_R9rempli

Le plateau BRI9 - BMS

Avec ce plateau, on aborde une démarche de résolution encore plus statégique : non seulement on regarde les pièces contraintes, mais il faut aussi tenir compte de l’aire des pièces plus spécifiquement pour B9 qui doit avoir « 3 bombés » de plus que dans le cas précédent. Ce qui implique de favoriser les pièces de plus grande aire.

Ainsi, par exemple, avec le segment de S de B9, on pourrait placer la pièce G, ou H, sous S, au lieu de U. Mais il n’y aura pas assez d’aire avec les autres pièces possibles pour cette composante. Et donc, même si on peut remplir R9 en enlevant G ou H et en mettant U à la place, on n’aboutira pas à remplir B9.

Au final il n’y a qu’un possibilité « opérationnelle » pour R9

Quelques remarques pour résoudre ce plateau
• Tout d’abord comme W et X ne peuvent prendre place dans B9, ces deux pièces sont dans I9.
• De même O et P qui pourraient être dans I9 se placeront dans B9 pour des questions d’aire.
• Ainsi les pièces symétriques sont dans la même composante, ce qui autorise : une symétrie axiale d’axe celui de M (diagonale) pour I9, et d’axe vertical (celui de S) pour B9. On a ainsi plusieurs solutions en prenant des symétriques de l’une des des composantes.
• Il y a une situation assez surprenante pour ce plateau : les pièces L et M ayant toutes deux deux bombés, deux creux - et donc d’aire 1 - elles peuvent s’échanger (elles seules seulement simplement sans autres échanges) entre I9 et B9 : il y a des solutions avec L en I9 et M en B9 et réciproquement, toutes les autres pièces étant conservées.

Ouvrir la figure associée avec R9 correctement rempli : https://lc.cx/BMS_R9rempli

Le plateau BRI9 - USP

Avec P au centre de B9, on relache la « pression aire » du plateau précédent. De même, S au centre de I9 donne de la marge pour la circulation des pièces au sein de I9.

Par contre, ces pièces centralent apportent des contraites fortes sur certaines pièces. Ainsi, il n’y a qu’une position possible pour le pièce L, dans B9. De même pour V. Et en conséquence, il ne reste alors qu’une seule place possible aussi pour le pièce N, dans I9, et oblige également T à être dans la composante R9.

Pour remplir R9, on doit nécessairement utiliser I, J, K et T. Pour I et K c’est évident, et pour J la seule place possible en B9 serait celle de V, donc J est bien en R9. En pratique, pour R9, il faut 3 pièces ayant un angle droit. Il reste une pièce qui peut être F ou D. Mais D n’a aucune place possible en I9 ou B9, donc c’est nécessairement D la dernière pièce.

Au final, on aboutit - à une symétrie orthogonale d’axe la diagonale montante près - à une seule solution, ci-dessous avec les contraintes sur B9 (L, V) et I9 (N). Ce qui donne :

• Par ailleurs les deux pièces symétriques W et X ne pouvant être dans B9 sont nécessairement toutes les deux dans I9.
• Par contre O et P peuvent être indifféremment dans I9 ou B9. Comme l’une est symétrique de l’autre, quand il y a une des deux pièces dans I9 et l’autre dans B9, on décide, dans la suite, de placer O dans I9 et P dans B9, pour éviter de construire simplement des symétriques d’une solution déjà vue.

Lancer cette figure pour explorer soi-même ce plateau : https://lc.cx/USP_R9rempli

Haut de la barre ’Les partitionnements’

Avec ce plateau, nous reprenons la pratique scolaire sur les stands de l’IREM, mais réservée toutefois aux lycéens, car il n’a pas été prévu de préludes significatifs. Voici notre « version ébéniste » habituelle.

Ce plateau est particulièrement riche, et on l’explore sur deux onglets. Pour rentrer dans les activités autour de ce plateau, nous commençons, avec ce premier onglet, par une analyse de résultats partiels d’élèves. C’est aussi une façon de proposer aux lecteurs des « préludes » construits depuis des productions d’élèves.

Analyse d’une première production d’élève

L’élève a rempli la composante B12 sans difficulté, mais a du mal à finaliser sa composante I12. Et effectivement, il y a un peu trop de segments pour finaliser I12, mais juste un peu. Si on essaie de finaliser I12 avec les pièces disponibles, on arrive à cela :

Il reste une pièce R alors qu’il aurait fallu E, déjà utilisé dans cette composante. Cela signifie qu’il y a seulement deux segments de trop dans les pièces disponibles pour I12.

Il faudrait donc échanger une ou deux pièces entre les deux composantes en perdant deux segments du côté de I12, tout en conservant l’aire des pièces échangées. Or il y a un F du côté de I12 et un M du côté B12, les deux ayant même aire. Donc l’échange d’une seule pièce est possible. Et ... cela va suffire.

Voici une figure pour vous proposer de remplir la composante I12 aprés cet échange

Préférer ouvrir cette figure dans un nouvel onglet (plus grande) : https://lc.cx/I12B12_Eleve1

Analyse d’une deuxième production d’élève

Dans cet exemple l’élève a rapidement rempli lui aussi la composante B12, mais en utilisant beaucoup de pièces arrondies. Clairement il reste bien trop de segments pour même tenter de compléter I12. C’est sans issue.

Cela fait donc deux exemples où l’on voit qu’il est facile de remplir une des deux composantes - on dira une « racine » dans la suite - mais que cela n’assure pas du tout que l’on puisse remplir la seconde composante. Quand c’est le cas on dira que la racine devient une « graine ». Ainsi une racine n’est pas nécessairement une graine. On a déjà une première conclusion : pour finaliser le remplissage des deux composantes I12 et B12 - que les racines soient bien des graines - il faut « équilibrer », par exemple en étant attentif aux segments, la répartition des pièces entre les deux composantes.

Cette fois, vu que le remplissage de I12 est compromis, on se propose de partir du début du remplissage de l’élève et d’échanger quelques pièces pour finaliser la composante I12 et voir si on peut compléter alors B12 avec les autres pièces.

Voici ce que l’on peut faire

On commence par conserver une bonne partie des première pièces posées par l’élève.

On a ajouté la pièce I et F, qui sont disponibles. On conserve aussi R et Q.

Puis on échange J et D avec M et W, et, donc, du point de vue I12, on perd donc 4 segments ... tout en conservant la même aire bien entendu.

Voici à nouveau une figure en ligne pour compléter la composante B12 :``

Préférer ouvrir cette figure dans un nouvel onglet : https://lc.cx/I12B12_Eleve2

Une troisième production d’élève

Ce nouvel exemple va être l’occasion de commencer à rentrer dans la richesse et la soupleese de cette configuration I12 B12. On part, cette fois-ci, d’un remplissage erronéde I12 puisque la pièce H est mal placée, avec un « bombé » là où il fallait un « incurvé ». On se propose de corriger cela avec un minimum de modification, si possible d’une seule pièce, tout en complétant la composante B12 avec les pièces restantes..

Sur la réalisation de l’élève, il y a donc « deux bombés » de trop. Il faudrait donc échanger une ou deux pièces avec une économie totale de deux bombés. Or la pièce C, qui, comme pièce entièrement courbée, est intéressante pour B12, est d’une aire de « +2 bombés ». Il faudrait donc l’échanger avec une pièce d’aire 1, prise dans le reste des pièces non utilisées. Il y a trois pièces qui remplissent cette condition : F, L et M. Donc on peut essayer d’échanger C avec l’une de ces trois pièces.

La richesse et la soupleese mentionnée plus haut se trouve ici : on peut utiliser chacune de ces trois pièces, pour, non seulement construire une racine, mais surtout réaliser une graine, c’est-à-dire résoudre le puzzle I12B12.

Dans les liens suivants, vous pouvez remplir vous-même B12 à partir des 3 versions de I12, vous pouvez aussi lancer une des trois solutions avec (F, L, ou M) et tester directement l’échange entre les pièces L-F, L-M, ou F-M et trouver aussi d’autres solutions que celles proposées.

Une racine avec F à la place de C

Lancer la figure avec cette racine pour compléter B12 : https://lc.cx/Faire_Eleve3_C_F
Sur cette racine, on peut échanger N/X et R/Q.

Une racine avec L à la place de C

Lancer la figure avec cette racine pour compléter B12 : https://lc.cx/Faire_Eleve3_C_L

Une racine avec M à la place de C

Lancer la figure avec cette racine pour compléter B12 : https://lc.cx/Faire_Eleve3_C_M

On retient aussi de cette petite exploration que le nombre de segments dans les échanges n’est pas si fondamental que cela : on a échangé C, sans segment, avec deux pièces sans segment et une pièce avec deux segments, sans aucun problème des deux côtés de la graine.

Remise en cause de notre représentation

Poursuivons encore l’exploration sur ce remplissage erroné, décidément fructueux en enseignements. On se propose maintenant de remplacer les deux pièces C et W - soit 1 segment et 7 arrondis - par K et F - soit 5 segments et 3 arrondis : on ajoute donc 4 segments pour I12.

Il y a bien une solution, et même en gardant les deux colonnes extérieures de la réalisation de l’élève (l’une est inversée pour que H soit correctement placé) :

Ouvrir la figure associée (et tester des variantes) : https://lc.cx/I12B12_Eleve3_CW_FK_Sol

Ainsi la question du nombre de segments, si elle peut parfois avoir du sens, comme dans l’exemple 2, n’est pas nécessairement toujours pertinente.

On retient aussi que le nombre de solutions semble très élevé puisque, sur un exemple au hasard, en modifiant seulement une configuration solution d’une pièce, on trouve encore des solutions.

Une solution d’élève

... ce qui nécessite de rester plus longtemps sur le stand ...

On notera que L est au centre d’une composante, alors que généralement, on essaie de mettre cette pièce sur le bord, que ce soit dans I12 ou B12, et surtout que B est dans I12 ce qui, a priori, est assez contre intuitif - même si c’est aussi le cas de la « version bois » en début d’onglet - car généralement utilisé pour un coin de B12.

La question d’une solution auto-inverse

Comme on dispose, pour ce plateau, d’une figure DGPad permettant l’inversion des pièces, et donc du plateau (ce qui n’était pas le cas à l’époque des ateliers IREM), on peut se poser la question de l’inverse d’une solution. Est-il possible qu’une solution contienne dans I12 exactement les pièces inverses de B12 ? Est-ce seulement possible (question d’aire) et sinon comment l’approcher.

Rappel des pièces inverses

Tout d’abord, quatre pièces sont auto inverses I, F, M et L, bien entendu toutes d’aire 1. Il reste 20 pièces (dont encore deux d’aire 1, G et H) que l’on peut répartir en deux blocs de 10, l’un au dessus de I12, l’autre au dessus de B12. En dehors de G et H, celles au dessus de I12 sont d’aire inférieure à 1, et celles au dessus de B12 sont d’aire supérieure à 1.

Le déficit d’aire de I12 est de -14, et le déficit total d’aire des pièces au dessus de I12 est de -17. Donc, pour des questions d’aire, on ne peut pas remplir I12 qu’avec les pièces au dessus de I12 ci-dessus. Il faut donc ne pas toutes les utiliser, et compléter par des pièces d’aire 1 (auto-inverses) ou d’aire supérieure.

On peut ainsi n’avoir - toujours sur I12 - que des pièces différentes (au sens de sans leur inverse) sauf bien entendu les auto-inverses. C’est le cas de la solution dite « de l’élève 1 ».

Par contre, n’utilisant pas toutes les pièces d’aire inférieure à 1, dans B12, il y a nécessairement au moins une pièce et son inverse.

On peut aussi choisir de placer les deux autres pièces d’aire 1 - inverses - G et H dans I12, et compléter uniquement avec des pièces non inverses l’une de l’autre. En retournant voir les trois solutions trouvées pour la production de l’élève 3, vous verrez que c’est le cas de toutes les solutions proposées, avec - necessairement - une pièce d’aire supérieure à 1, la pièce N puisqu’elle était dans la configuration initiale.

Voici, au contraire, un solution avec aucune des 4 pièces G,H, E, U dans I12, seulement K comme pièce ayant des angles droits, mais avec néanmoins deux pièces inverses, W et O.

La composante I12 comporte 3 pièces d’aire 1 et une pièce d’aire supérieure à 1 (O). On va faire un peu mieux dans l’onglet suivant, consacré à une étude (un peu) plus approfondie de cette partition I12 B12.

Haut de la barre ’Les partitionnements’

Dans cet onglet, nous allons voir deux choses :
• Sur l’exemple d’une graine, l’étendue de l’arbre produit par les permutations internes des pièces dans chaque composante, I12 et B12.
• Sur la base d’une proposition de nomenclature des graines, une étude de quelques cas spécifiques.

Les permutations internes d’une solution

Nous choisissons une solution particulière, avec une composante I12 qui ne comporte aucun couple d’une pièce et de son inverse, contrairement aux solurtions trouvées dans l’onglet précédent. Nous partons donc de cette solution :

La composante I12 comporte 4 pièces d’aire 1, les 3 auto-inverses (L, M, F) et H dont l’inverse G est dans B12. La présence de H sans G permet déjà de dire que, pour le décompte des permutations internes, sans compter les isométries, il n’y a que la symétrie centrale sur laquelle il faut être vigilant. De même pour B12 avec le même argument sur la présence de G sans H.

Pour cela on ne cherche :
• Dans 12, que les composantes où la pièce E est dans la ligne 3 ou 2 - et pour la ligne 2, on se limite alors à deux possibilités.
• Dans B12, on se centre sur l’inverse de E, la pièce U, que l’on choisit de limiter à la ligne 1 (elle ne peux pas être en ligne 2) et à une position en ligne 3.

Lancer la figure associée : https://lc.cx/I12B12_40permutI12
(pour explorer soi même les variations internes ... et éventuellement trouver quelques solutions qui manquent dans le décompte suivant ... pour motiver les curieux à chercher, il en manque dans I12, c’est détaillé dans le bloc suivant

Les pièces de I12 sont très fluides et s’agencent de bien des façons, parfois de manière très esthétique. Il y a beaucoup plus de possibilités dans I12 que dans B12 car on a placé les trois pièces I, J, K en même temps dans B12, et que I et K ne peuvent être qu’au centre. Cela n’est pas à lié à la structure bombée de B12 car l’inverse de I12 a autant de permutations internes que le I12 actuel.

Solutions pour I12

Solutions pout B12

Cette première graine produit donc, sans tenir compte des symétries diverses, un arbre à 40x14 = 560 feuilles.

Par symétries diverses, on entend, d’abord les symétries centrales de chaque composantes, indépendantes l’une de l’autre, ensuite les symétries orthogonales : il faut prendre simultanément deux symétries orthogonales, une pour chacune des composantes - et pas nécessairement la même - pour que G et H soient échangées. On obtient alors 4x560+4X560 =4880 solutions ... et autant avec leurs inverses, tout ceci à partir de la seule solution initiale. On notera que les inverses sont nécessairement des solutions différentes à cause des 4 pièces auto-inverses (F, I, L, M) qui, chacune, reste dans sa composantes, même quand elle est inversée.

Toutes les graines initiales n’ont bien entendu pas cette richesse là, il faudrait tester sur les solutions trouvées à l’onglet précédent par exemple, mais il y a clairement plusieurs dizaines de milliers de solutions pour ce partitionnement (I12, B12).

Une possibilité de classification des composantes

Un autre point de vue a été developpé, à l’origine pour (se forcer à) trouver des composantes plus originales. Le principe est de regarder les composantes depuis les deux pièces centrales.

On utilise ainsi ces deux pièces comme nom d’un index avec, en indice, le bombage global de ces deux pièces, dans la configuration retenue. On se centre ici sur la composante I12 d’une solution. Par inversion, on fait un travail similaire (en inversant l’indice) pour B12 bien entendu.

Par exemple dans la solution suivante, l’index s’appelle IT et est d’indice +2.

Autre exemple d’index IB et d’indice +3.

Lancer la figure associée (utilisée plus loin) : https://lc.cx/I12_IB_SolBase

Un lecteur très (vraiment très) attentif aura remarqué que la composante I12 est celle de la solution de la « version ébéniste » utilisée comme introduction à l’onglet précédent.

Dans ces deux exemples, la démarche a une certaine pertinence interne car les deux pièces centrales ne peuvent pas être placées sur les bords de I12. Et donc l’index et son indice sont invariants vis à vis des permutations internes à la composante : c’est donc une caractéristique de la composante. Cela vient du fait qu’on cherche des solutions d’indice élevé - et c’est l’origine du concept, trouver de nouvelles composantes.

Mais en prenant comme solution celle étudiée ci-dessus, l’index de I12 varie avec les 40 permutations internes, cela pert donc en intérêt. On notera par ailleurs que la composante B12 de cet exemple étudié ci-dessus, ayant les pièces K et I au centre - qui ne peuvent être sur les bords - reste d’index KI (ou IK) et d’indice toujours -1.

Dans la suite, on choisit juste regarder quelques index d’indice +3 pour I12, avec des pièces centrales qui, dans un premier temps, ne peuvent pas être échangées avec d’autres pièces du bord. C’est essentiellement fait ici pour voir d’autres solutions, disons« de niche », en particulier avec moins de permutations internes, voire même parfois aucune.

On choisit l’indice +3 car on arrive assez rapidement à se convaincre (pas de preuve néanmoins) que l’indice +4 est impossible.

Quelques possibilités de l’index IB au centre de I12

Les variantes de l’exemple précédent

On est d’abord surpris de constater que la composante I12, donc avec IB au centre, et avec les pièces déjà choisies, est figée dans une seule solution : elle n’a pas de permutations internes (autre que la symétrie axiale - possible car W et X ,symétriques, sont présentes - mais qu’on ne prend pas en compte). Par contre la composante B12 admet 6 variantes non isométriques visibles dans le bloc suivant.

On est bien sur des solutions un peu exceptionnelles - « de niche » donc - vu le peu de variantes internes possibles.

L’index IB de I12 peut être réalisé avec d’autres pièces autour. Voyons celles des racines trouvées qui sont effectivement des graines de solutions.

Echange G/L entre I12 et B12

Avec cette modification - échange de deux pièces d’aire 1 - on arrive à une composante I12 un peu plus souple en terme de permutations internes.

On trouve - pour I12 - une solution symétrique à celle de l’élève de l’onglet précédent. On a, ici, G à la place de H dans la production élève.

Lancer cette figure : https://lc.cx/I12_IB_G1a

Ci-dessous, une permutation interne de I12, et une inversion des colonnes 1 et 4 dans B12, avec ajustement des pièces.

Voici deux autres permutations internes de cette composante I12.

Remplacer IB par JC ?

La forme géométrique de l’index IB au centre de I12 peut aussi se réaliser autrement, on peut remplacer le duo IB par JC sans changer les autres pièces, et le plus surprenant et que cela aboutit à une solution !

Lancer cetre figure : https://lc.cx/I12_Ech_IB_JC_Sol
On peut s’essayer à échanger L contre G comme ci-dessus.

D’autres possibilités aboutissent, elles aussi, à des solutions complètes, parfois avec de belles variantes ; En voici quelques unes.

Exemples de l’index JT d’indice +3 - dans I12

Lancer cette figure : https://lc.cx/I12_JT1_Sol1

dont voici une permutation interne, à la fois dans I12, et dans B12

La composante I12 dispose de plusieurs autres permutations internes

Exemples de l’index PT d’indice +3 - dans I12

Avec la pièce P on quitte l’option de pièces centrales qui ne peuvent être sur le bord. Mais ce centre PT permet de belle variantes.

Tout d’abord avec la pièce F dans I12 avec T en position verticale :

Lancer cette figure : https://lc.cx/I12_PT_vertical

On peut l’utiliser pour tester l’échange F/L entre les deux composantes

Les versions PT avec T horizontal. On a échangé F avec G

Lancer cette figure (utilisée ensuite pour NT) : https://lc.cx/I2_PT_h1

L’utiliser aussi pour tester l’échange de G avec M

Les possibilités de NT d’indice +3

Là encore, on a une pièce qui peut être sur les bords, et elle aussi, elle a de nombreuses possibilités, avec T horizontal ou vertical.

Comme première solution, on échange simplement P avec N dans la première solution PT horizontal ci-dessus. Vous pouvez reprendre la figure précédente pour chercher la transformation ... sans regarder l’illustration suivante :

Lancer cette figure : https://lc.cx/I12_NTh_G1
On peut l’utiliser pour chercher deux permutations internes de I12 - et plusieurs de B12 aussi. Pour I12 d’abord en gardant G à la même place, puis en déplaçant G.

Un exempls avec les deux pièces NT verticales

Lancer cette figure :https://lc.cx/I12_NTv_Ech_PTv

Remarquer qu’outre le classique échange R/Q, la ligne 3 de I12 peut s’inverser.

Des racines I12 d’indice +3 qui ne germent pas en graines de solutions

Il y a d’abord l’utilisation de U dans I12 quand F et T restent dans B12 : U manque vraiment à B12 dans ce cas :

Mais plus surprenant, dans la transformation de IB, en remplaçant I par une autre pièce de même aire, comme M ou même G, en conservant l’indice +3 de I12, il semble (il semble !) que l’ajoute trop de segments, avec la pièce I, pour finaliser la composante B12.

Tester si BM est une racine ou une graine : https://lc.cx/I12_BM_r_ou_g

Tester si GB est une racine ou une graine : https://lc.cx/I12_GB_r_ou_g

Tester si GC est une racine ou une graine : https://lc.cx/I12_GC_r_ou_g

Si vous trouvez une solution à l’un de ces trois tests, merci de la communiquer à MathemaTICE, je modifierais l’article ...

Pour chercher ailleurs

Pour cet article, on s’arrête ici dans cette explorartion de I12 B12, même si de nombreuses autres possibilités seraient à explorer ...

Par exemple l’indice -3 dans I12, en particulier avec l’index SI. En effet - même si on n’est plus dans les pièces figées au centre - la composante I12 avec SI au centre a une toute autre configuration que ce qui précède, par exemple comme ci-dessous, avec 5 des 6 pièces d’aire 1, ce qui oblige B12 à avoir une pièce (au moins) d’aire inférieure à 1, ce qui n’apparaît jamais dans ce que l’on a fait avec les indices lèves de I12. C’est donc un tout autre champs de possibilités que l’on explore à noveau. Dans certaines configurations, on retrouve beaucoup plus de variantes que dans les cas étudiés. Mais il faut bien s’arreter à un moment.

Lancer cette figure pour explorer l’environnement SI de I12 : https://lc.cx/I12_SI_01

Comme chaque composante à ses pièces symétriques, plusieurs échanges internes sont possibles. Ainsi dans B12 on peut échanger NB et LA ou encore remplacer le quadruplet PU-CO par le quadruplet CP-OU ... Chercher aussi les permutations internes de I12 avec SI au centre.

Haut de la barre ’Les partitionnements’

On termine cette partie sur les partionnements par la proposition d’un élève qui ne s’en sortait pas avec le partionnement I12B12. D’où sa proposition :

« Ca serait peut-être plus simple si on gardait un demi-rectangle dans chacune des deux composantes ».

Sur un coin de table, nous voici partis pour tester son idée. Et effectivement, avec deux côtés du rectangle et une partiede I12 et l’autre de B12, on arrive très simplement à des solutiuons en posant les premières pièces quasiment au hasard.

Voici deux solutions

On remarque qu’il n’y a pas la limite précédente à l’indice, puisqu’ici le demi I12 est d’indice 6 !

Lancer la iigure d’une des solutions : https://lc.cx/I12B12_demi_Sol2

Haut de la barre ’Les partitionnements’

Dans cet onglet, on regarde des activités logiques autour des préludes, aussi bien comme activité d’appropriation des pièces, pour les cas élémentaires, mais aussi comme activité d’anticipation de réalisation d’un plateau de Curvica, éventuellement comme changement de support, plus concret, sur des démarches déductives.

On a vu beaucoup de préludes, surprenants de régularité, ayant néanmoins des solutions. On regarde ici des préludes qui ne peuvent pas avoir de solutions, en cherchant pourquoi . Pour cela on va aller d’activités immédiates à des démarches véritablement déductives.

Introduction aux préludes impossibles

La pièce carrée I.

C’est un peu le cas archétypique de la pièce « impossible à placer ». On peut la décliner sur plusieurs plateaux. On a déjà vu le cas de I dans le rectangle en position (2,2) : on ne peut placer que 5 des 6 pièces entièrement arrondies EA.

On peut très facilement construire de nouvelles impossibilités pour placer I dans des cas tout aussi élémentaires.

La pièce qu’il faut nécessairment placer deux fois

Un registre un peu plus subtil consiste à construire un prélude où une pièce devrait être placée à deux endroits. Cela se produit en général avec les pièces qui ne sont pas symétriques (à une rotation près), soit les trois couples (G, H), (O, P) et (W, X).

C’est le cas du prélude suivant, qui demande donc une première anticipation (à une étape seulement).

En notant les cases traditionnellement en (ligne, colonne), on voit qu’en ligne 1, entre les deux pièces bleues, donc en (1,5), il faut placer la pièce X. De même, en (3,5), la pièce à placer est N. Alors, en (1,7), juste aprés la pièce bleue M, trois côtés de la pièce manquante sont trois côtés des pièces X et N. Le quatrième côté ne peut donc être ni un creux (c’est X), ni un bombé (c’est N), donc nécessairement un segment. La seule pièce possible est donc G. Mais alors c’est aussi la pièce à placer à côté en (1,8), et donc ce prélude est impossible car G devrait être à deux places différentes.

Une version plus élémentaire

mais plus artificielle : ce placement des 6 pièces EA sur la plateau 14.

Un prélude bien trop symétrique

On vu plusieurs préludes avec de belles symétries, alors on peut chercher dans ce sens, mais ici c’est trivialement sans espoir ... (ici sur le plateau 8 sur lequel on va revenir avec une réflexion plus aboutie).

Les contours de napperons impossibles

Avec les napperons, on aborde des situations plus réflexives. Mettre en évidence un contour impossible est une démarche intéressante. Commençons par deux exemples encore simples.

L’une des difficultés des plateaux « napperons » est aussi - peut-être surtout- dans la consommation de pièces ayant les mêmes arêtes (bombé-incurvé) à un sommet, ce qui fait que ces pièces manquent ensuite pour réaliser les plateaux.

Avec un peu d’habitude, et surtout si c’est présenté en ce sens, cela peut se voir dès la constitution du contour. En voici deux exemples proposés pour les plateaux 10 et 15, pour que l’on voit la similitude des problématiques même si la résolution des plateaux est largement différente dans les deux cas. On notera que les deux préludes utilisent les mêmes 12 pièces dans les deux plateaux.

Ouvrir la figure de P10 pour explorer la situation : https://lc.cx/P10_Prelude_Imposs1

Ouvrir le prélude de P15 : https://lc.cx/P15_Prelude_Imposs1

Exemples plus abouti avec le plateau 8

Ces exemples ne sont plus aussi immédiats que les précédents, mais reposent sur les mêmes ressorts. En pratique les utiliser dans un contexte scolaire encadré peut permettre, de manière opérationnelle - simplement en acte - d’aborder ce qui est une conséquence « certaine » des données (ie du prélude proposé). C’est une façon d’aborder la démarche hypothético-déductive de manière ludique, et quasiment non verbale, par manipulations, ou encore, orale non écrite.

Épisode 1

On reprend le plateau 8, on corrige les trop grossières « erreurs » du prélude ci-dessus pour proposer un prélude qui semble plausible pour aboutir à une solution.

Vérifier que ce prélude n’aboutit pas ... a priori sans ouvrir la figure ci-dessous ...

Ouvrir néanmoins la figure associée : https://lc.cx/P8_Imposs_Episode1

Épisode 2

On modifie donc le prélude pour éviter de devoir placer U en (2,3). Par exemple comme ci-dessous, en plaçant O à la place de H :

Vérifier à nouveau que ce prélude n’aboutit pas à une solution.

Lancer la figure associée pour tester : https://lc.cx/P8_Imposs_Episode2

Épisode 3

Dans le prélude précédent, on n’a pas pu placer la pièce G en (1,1). On peut essayer de remédier à cela en échangeant C et M dans le prélude, pour tenter d’avoir enfin un prélude qui permette de terminer le plateau. De la façon suivante :

Peut-on terminer désormais le prélude ?

Lancer la figure asociée pour tester : https://lc.cx/P8_Imposs_Episode3

On voit qu’il est facile, en fait, de construire des activités de ce type. On peut aussi trouver des exemples de difficulté intermédiaire, comme l’exemple suivant.

Autre exemple sur un prélude du napperon P10

Les 12 pièces du prélude sont les mêmes que dans le premier exemple sur P10, avec juste une redistribution entre 3 pièces.

Ce prélude est intéressant à analyser, en particulier parce que, à part les pièces Q et A, il n’y a pas de pièces à emplacement fixe spontanément comme dans l’exemple précédent. Pour autant, une orientation vers une solution en parcours d’arbre n’est pas pertinente. Là encore une simple réflexion suffit.

Lancer la figure associée pour explorer la situation : https://lc.cx/P10_Prelude_Imposs2

Retour à des activités plus élémentaires

Ces activités sont à placer dans le cadre de l’appropriation des pièces du puzzle Curvica en général et des problématiques de placement de pièces.

On propose ici aux élèves de chercher des arguments simples qui justifient qu’il n’y a pas de solution.

Haut de la barre ’Autres activités’

Ce qui suit a été développé pour pouvoir rapidement prédire si un début de remplissage d’un rectangle par un élève pouvait aoutir ou non. Sur un stand IREM, quand plusieurs élèves sont sur des puzzles différents et qu’il faut suivre ce qu’ils font, c’est pratique de pouvoir anticiper le résultat, en un clin d’oeil, et relancer un élève découragé de ne pas y arriver. Un simple « tu devrais essayer cette pièce ici » peut relancer une activité, et aboutir à un sourire. Et c’est possible sur le rectangle. Quand on a l’habitude, c’est quasi immédiat.

Mais, même si on ne sera jamais dans cette « urgence pratique », la démarche est néanmoins intéressante en soi.

Exemple introductif : compléter deux préludes en des préludes contours

Voici deux préludes différents. On se propose de les complèter en des « préludes-contours ».

Or pour l’un on y arrive facilement, et pour l’autre cela semble bien impossible. Pour celui qui paraît impossible, on relate plusieurs démarche possibles : celle où l’on essaie de remplir les côtés, et alors il reste une pièce à angle droit impossible à placer, puis celle où l’on place d’abord les sommets (avec inversion des deux pièces dans les deux exemples) avant de tenter de finaliser le contour.

Bien entendu - sauf à faire une étude exhaustive par arbre, ce n’est pas parce que l ’on n’arrive pas à finaliser un contour qu’il n’y a pas de solution. Pour avoir moi-même beaucoup exploré ces plateaux, j’ai été parfois surpris de mes propres « blocages » - représentations initiales erronées - de mon manque parfois de vision topologique de la situation : clairement, ce n’est pas parce que l’on n’arrive pas à finaliser un plateau que ce n’est pas possible.

Pourtant là, dans cette situation, on sent bien, pour le début de contour de droite, qu’il y a intrinsèquement une impossibilité. Il serait intéressant de pouvoir en rendre compte de manière objective, par exemple mathématiquement.

Poids des pièces dans le puzzle rectangle

Pour cela, on attribue à chaque pièce ayant un côté droit, un poids qui correspond à son
bombage quand on pose la pièce sur le contour du rectangle.

Ainsi les pièces B et N ont un poids de +2 car 2 parties bombées interviennent quand on les pose sur le pourtour du puzzle. De même S et V ont un poids de -2 car 2 parties incurvées interviennent quand on les pose. Les parties opposées au segments n’interviennent pas dans ce calcul.

Pour les parties à angle droit, on voit qu’on ne compte que les bombées ou incurvées,
du moins quand ils sont sur un sommet. D’un point de vue plus général, pour les pièces
posées parfois à côté d’une pièce déjà à angle droit, on attribue aux segments une courbure nulle, ils ont donc un poids nul. Ainsi, selon leur place, les pièces U et G peuvent valoir 2 et 0 ou 1, ou même -1 pour G.

Notation en bordure de prélude
Ci dessus la pièce J a pour poids +1. La pièce T a pour poids +2, mais on a noté +1 car, selonle point de vue :
• opérationnel : on s’intéresse à ce qu’il y a à droite des pièces, on ne compte que la partie droite des pièces.
• mathématique : +1, sur J comme sur T, car dans les deux cas, c’est la somme des poids des pièces sur les deux colonnes ( I et J en ligne 1 ou K et T en ligne 4 à gauche, E et T en ligne 4 à droite).

Les pièces à un segment
La somme de toutes les pièces marrons, à un seul segment, est nulle, donc fondamentalement, si elles y sont toutes, elles n’interviennent pas dans le poids de la finalisation du contour.

Les 4 pièces à angle droit
Reste les pièces jaunes, avec un angle droit. À gauche la somme des deux pièces à utiliser fait -2, elle compense la somme de 2 du début de prélude. Comme le total est nul, le prélude peut se terminer. « peut » est à prendre au sens de « il est possible que ». A priori on n’a qu’une condition nécessaire. En fait, on a seulement le résultat que « L’on ne peut pas assurer que le prélude soit impossible ».

À droite la somme des deux pièces jaunes restantes est nulle, elle ne s’annule pas avec la somme +2 du début de prélude, on est sûr, cette fois, qu’il est impossible de finir le contour car s’il se termine, la somme totale des poids devrait être nulle.
Cette simple remarque permet donc d’anticiper sur les constructions de prélude. Elle permet d’aller bien plus vite dans les choix du placement des pièces jaunes. Au passage, cette contrainte devrait être intégrée à tout logiciel de décompte du nombre de solutions du plateau « Rectangle ».

Sur la condition nécessaire  : a priori dans les contextes simples comme les préludes à deux colonnes, elle est de fait suffisante. Cela ne sera plus le cas quand on sera sur 3 lignes et que des pièces marrons (à un segment) à somme non nulle sont utilisées. Donc la condition est bien nécessaire mais pas suffisante.

Sur la solution complète du puzzle rectangle : de même dans des situations assez contraintes - en particulier sur des préludes non connexes, les contours produits peuvent ne pas avoir de solutions finales : il faut toujours vérifier qu’on peut modifier le contour (échange de S/V, B/N etc ...) pour qu’une solution du puzzle complet existe.

Application immédiate de ce qui précède

Voici 4 préludes, construits sur les deux premières colonnes. On herche à savoir si on va pouvoir les prolonger en des contours ou non, et pour le dernier, comment ?

Comme ci-dessus, on voit bien que le prélude A ne pourra pas être complété car il est de somme nulle et les pièces restante, à cause de la pièce U, est de somme +2.

Par contre, avec les même pièces disponibles, la configuration du prélude B convient car sa somme initiale est -2 : le prélude B se complète bien en un contour. Et plusieurs variantes de ce contour aboutit à des solutions du puzzle. Le prélude C est comme le prélude A.

Dans ce contexte d’introduction, le prélude D présente plusieurs intérêts : il utilise une pièce marron, à un côté droit. Cette pièce est de somme nulle. Ce prélude n’utilise alors qu’une seule pièce à angle droit. Il y a donc trois pièces à angle droit à placer, soit 6 possibilités. Le prélude étant de somme 1, il faut réaliser -1 avec ces 3 pièces E, H, U. Il y a plusieurs façons de placer les pièces jaunes pour réaliser le contexte voulu : 1+(-2) + 0 ou encore -1+(+2)+(-2), ce qui fait 4 possibilités de placement des pièces jaune qui permettent de poursuivre vers un contour sur les 6 possibilités initiales. Les deux positions impossibles sont quand E serait placé à côté de la pièce carrée.

Tous ces placements des pièces à angle droit aboutissent toujours à une solution (non unique), en voici trois :

Un exemple plus significatif

On reprend l’activité de complétion de prélude en contour complet du plateau 1 dans l’activité du prélude 3. Il y a une nuance avec ce qui précède car, comme il faut compléter la première colonne, en particulier avec une pièce à angle droit, l’algorithme d’anticipation, tout en restant le même, va être amené à être toutefois affiné.

Lancer la figure associée : https://lc.cx/Rect_Intro2_Calc

Exercice proposé au lecteur : en utilisant ce qui précède, déterminer, parmi les placements des pièces à angle droit restantes, quels sont les préludes qui peuvent se prolonger en contour (et ensuite en solution, ce ne sera pas un problème) ?

Nouvel exemple

On poursuit sur un autre exemple qui achève notre présentation de cet algorithme d’anticipation par calcul. Nous allons travailler sur le prélude 4 des activités sur le rectangle. Ce prélude présente les intérêts de l’exemple précédent, mais avec l’utilisation initiale d’une pièce à un coté droit de poids 2. Autrement dit ce poids intervient directement dans le positionnement préalable de 3 pièces jaunes.

Le prélude initial

Par ailleurs deux autres pièces à un segment vont être placées en colonne 1. Il peut donc y avoir des difficultés, une fois un prélude de contour finalisé, de terminer effectivement le puzzle du rectangle : les contraintes sur les pièces bleues (EA) peuvent être trop importantes. Nous verrons qu’il y a de nombreuses modifications des préludes de contour pour finaliser des solutions.

Les 6 possibilités

Comme on doit placer 3 pièces, il y a encore 3 ! = 6 possibilités de commencer à placer ces pièces dans les sommets et à côté de la pièce carrée.

Question : lesquelles des propositions précédentes sont effectivement des préludes d’un contour complet ?

Lancer la figure associée, pour tester : https://lc.cx/Rect_Intro3_Calc

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Tout cet article, toutes les figures ont été réalisées en mode « old style », à la main (qui plus est par un boomer). C’est bien entendu l’esprit de manipulation du puzzle.

Mais pour une étude systématique, par exemple pour étudier certains plateaux, ou les composantes I12 B12, il serait intéressant d’apprendre à une IA à jouer à Curvica. J’imagine que cela peut être un peu long. Je suis bien entendu intéressé par toute initiative en ce sens ...

Cet article comporte beacoup d’illustrations, bien entendu pour les lecteurs, mais aussi avec l’idée d’être éventuellement utilisées pour « nourrir d’exemples » un tel apprentissage. On peut penser que le fait d’avoir laissé les noms des pièces peut aider à un apprentissage plus rapide, plus efficace.

Nouveaux plateaux pour proposer à une IA

Dans cet état d’esprit, plusieurs plateaux n’ont pas été abordés, dans l’idée de voir comment une IA se comporterait avec des plateaux nouveaux. Voici quelques plateaux proposés à exploration.

On a repris les plateaux P10 et P11, désormais avec possibilité d’inversion, en plaçant d’autres pièces d’aire 1 au centre, à savoir L et F, horizontalement ou verticalement, et M.

Préférer ouvrir cette figure (plus grande) dans un nouvel onglet : https://lc.cx/Curvica_Suite

Utilisation de cette figure pour inverser les solutions des plateaux P10 et P11 : on a laissé l’option « aucune pièce au centre » pour que les lecteurs curieux puissent jouer avec l’inversion sur les solutions déjà vue de ces plateaux avec la pièce I au centre.

Au moment de rédiger ces lignes, les plateaux n’ont pas encore été étudiés en détail, et il est possible que P10, sur un des deux L, n’ait pas de solution. Il n’y a pas de problème avec F.

Enfin on propose un troisième plateau très simple à résoudre sur la base de 24 = 3x9-3. On ne l’a jamais proposé aux élèves, uniquement parce que, avec les tailles de nos pièces, il ne rentrait pas dans une page A3. De même, pas de version « ébéniste » car il aurait été trop encombrant pour être utilisé sur les stands de l’IREM.

Et qui sait ...

Et qui sait, à moyen terme, le World Model de Yann Lecun sera probablement capable d’utiliser les logiciels de géométrie dynamique : on pourra lui apprendre à utiliser une figure (ici de DGPad), pour faire des figures de Géométries Non Euclidiennes mais plus simplement jouer - sur logiciel - à Curvica.

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