Introduction

L’activité décrite dans ces pages est inspirée d’une séquence qui avait été mise au point par une équipe du CREM comme activité à réaliser avec Apprenti Géomètre version ordinateur ((1), pp. 124–132). Elle a été testée dans des classes du primaire à cette époque. Elle peut convenir à des élèves de 10 à 12 ans, de la fin du primaire ou du début du collège (la sixième qui est la première du collège en France est en Belgique la dernière du primaire).

La mise au point de la version multiplateformes [1] d’Apprenti Géomètre mobile a conduit tout naturellement à la relecture des séquences d’apprentissage déjà existantes pour Apprenti Géomètre version ordinateur afin d’en réaliser l’adaptation pour Apprenti Géomètre mobile. Ce travail consiste à vérifier la faisabilité des activités sur la nouvelle version, établir une nouvelle réflexion sur ces séquences, créer les fichiers et modifier le texte donnant le déroulement des activités.

La séquence sur les suites de carrés reprend l’essentiel des idées de la version initiale, avec quelques variantes. Elle a été présentée lors du colloque de la Copirelem à Marseille en 2023 et en formation continue.

Ce qui suit présente tout à la fois la séquence d’apprentissage telle qu’elle est pratiquée avec les élèves et les réactions des participants lors des diverses présentations.
S’ils ne sont pas encore familiarisés avec Apprenti Géomètre mobile, nous conseillons aux lecteurs qui souhaitent tester l’activité de commencer par l’activité de prise en main du logiciel décrite dans 6) ou 7) ou encore dans cet article publié dans MathémaTICE. Les fichiers Apprenti Géomètre mobile cités dans cet article sont téléchargeables sur le site du CREM.

 1. Manipulation de carrés de papier

L’activité débute par une première phase de manipulation de carrés en papier.

L’enseignant place au tableau quatre illustrations de suites de carrés (figures 1 et 2). Les carrés sont colorés de manière aléatoire. Les adultes repèreront directement qu’il n’y a que deux sortes de suites différentes : on parlera ici de la suite de carrés emboîtés (figure 1) et de la suite des carrés en spirale (figure 2).

Fig. 1 : Suite de carrés emboîtés

Fig. 2 : Suite de carrés en spirale

Fig. 3 : Huit carrés

L’enseignant distribue également des enveloppes contenant huit carrés en papier cartonné, de différentes dimensions. Ces huit carrés sont en réalité deux jeux de quatre carrés, dont les deux plus petits de chaque série sont de dimensions légèrement différentes (figure 3).

Les carrés dans l’enveloppe sont blancs, ou tous de la même couleur, l’absence de couleurs focalise l’attention sur les dimensions des carrés. Dans un premier temps, les huit carrés sont destinés à la reproduction d’une seule des quatre figures. La consigne pour les élèves est la suivante :

Tu as reçu une enveloppe avec huit carrés.
Utilises-en quatre pour reproduire un dessin semblable à un de ceux présents au tableau.
Essaie ensuite de réaliser cette même figure, avec les quatre autres carrés.
Colle une des figures réalisées dans le cadre ci-dessous.

Les élèves choisissent une suite, analysent les positions relatives des carrés et déterminent par essais-erreurs quatre carrés permettant de la construire. Ils peuvent ensuite se rendre compte que les dimensions des quatre autres carrés permettent également de construire cette même suite.

Une seconde consigne suit dès que la première consigne a été réalisée :

Avec les quatre carrés non collés, essaie de reproduire l’autre suite de carrés.

Par cette activité, les élèves sont amenés à se rendre compte que, pour pouvoir former une suite, les quatre carrés doivent être judicieusement choisis car leurs dimensions sont liées entre elles.

Néanmoins, le contexte dans lequel l’activité se déroule a été construit de manière à rendre le recours à la mesure non naturel (voire impossible dans la suite de l’activité sur logiciel). En effet, comme N. Rouche, nous sommes convaincus que « Dans la civilisation d’aujourd’hui, les mesures sont tellement répandues que bien souvent, dès qu’on pense grandeur, on pense spontanément mesure. […] Or, il faut d’abord savoir ce que sont les grandeurs avant d’apprendre à les mesurer. » (9) p. 103).

Fig. 4 : Utilisation du centre

Pour construire la suite des carrés en spirale, il faut observer que deux sommets opposés d’un carré plus petit peuvent être placés sur deux sommets consécutifs du carré plus grand.

Lors des expérimentations, certains élèves ont voulu utiliser le centre des carrés pour placer l’un des sommets d’un carré plus petit (deux sommets consécutifs d’un carré plus petit peuvent être placés sur un sommet et le centre du carré plus grand).

Ce centre avait été repéré en pliant les carrés selon leurs diagonales. Cette procédure n’était pas
attendue, mais est également intéressante.

Pour la suite des carrés emboîtés, certains participants (adultes) ressentent la nécessité de repérer le milieu des côtés pour être suffisamment précis. Ils effectuent alors des plis dans les carrés de papier. Comme prévu, d’autres se contentent d’une superposition approximative des carrés ; c’est ce que font généralement les élèves. Pour ces derniers, le passage à la manipulation sur le logiciel rendra nécessaire la recherche du milieu des côtés du carré. La manipulation des figures en papier vise principalement à découvrir les propriétés géométriques qui lient les carrés d’une suite de carrés, notamment que les sommets d’un carré sont les milieux des côtés du carré plus grand ou que les côtés d’un carré sont les diagonales du carré plus petit. Ces propriétés sont nécessairement mobilisées pour construire les suites avec le logiciel.

Les notions de diagonale, de milieu, de côté, de sommet et de centre sont ici employées assez intuitivement. Il n’est nullement nécessaire de les définir avant de les employer dans l’activité. Ils prennent sens dans l’action et leur dénomination mathématique est précisée lors de la réalisation de la tâche. L’activité permet de réinvestir ces notions lorsqu’elles sont déjà connues des élèves.

 2. Manipulation de carrés sur Apprenti Géomètre mobile

Après le travail sur les carrés en papier, on propose aux élèves de réaliser la construction sur Apprenti Géomètre mobile, version « Grandeurs », en répondant à la consigne suivante.

Utilise quatre carrés parmi les six proposés sur le logiciel (figure 5) pour reproduire avec précision une figure semblable à l’une de celles présentées au tableau (figure 1 ou 2).

Fig. 5 : Choisir quatre carrés parmi six (fichier SixCarres.agg)

La proposition de six carrés a été faite pour éviter que les élèves ne gardent l’idée qu’il est possible de construire de telles suites avec n’importe quelle série de quatre carrés.

Les caractéristiques du logiciel peuvent amener les utilisateurs à prendre conscience de la nécessité de créer des points spécifiques (milieux des côtés des carrés). Il est cependant possible d’obtenir une suite proche visuellement de la suite de carrés emboîtés affichée au tableau en plaçant les carrés de manière imprécise. Dans la figure 6, on voit, en faisant apparaitre les milieux des côtés dans la figure de droite, à quel point celle de gauche est approximative. L’enseignant doit alors amener les élèves à prendre conscience de la nécessité d’utiliser le milieu des côtés pour placer précisément les sommets des carrés emboîtés, et le leur faire formuler.

Fig. 6 : Suite de carrés emboîtés imprécise

Les carrés proposés sur le logiciel permettent de voir par transparence lorsque deux figures sont superposées. Ce choix amène de nouvelles stratégies. Cette transparence des figures sur le logiciel a amené certains élèves à utiliser les centres des carrés pour les superposer afin de construire la suite de carrés emboîtés. Cependant, si les milieux des côtés des carrés n’ont pas été identifiés, la suite obtenue est proche de celle affichée au tableau, mais de nouveau imprécise.

Ceux qui choisissent de reproduire la suite de carrés en spirale ne sont pas confrontés à ce besoin,
étant donné que la superposition des sommets suffit pour obtenir la suite.

Fig. 7 : Fichier QuatreCarres.agg

Vient alors la deuxième partie de la consigne :

Utilise les quatre carrés du fichier QuatreCarres.agg pour reproduire avec précision l’autre suite de carrés (figure 7).

Cette consigne amène chacun à réaliser les deux suites pour que tous puissent rencontrer la nécessité de préciser les points de construction évoqués pour la reproduction de la suite des carrés emboîtés.

 3. Construction des suites de carrés dans l’environnement « Grandeurs »

La première partie de la séquence d’apprentissage a attiré l’attention des élèves sur l’importance de certains points de construction de ces suites de carrés. L’étape suivante consiste à leur faire construire eux-mêmes les carrés formant ces suites en utilisant l’environnement « Grandeurs » d’Apprenti Géomètre mobile. Comme explicité dans un article précédent 6), les contraintes du logiciel forcent l’utilisateur à procéder par découpages et assemblages.

La suite de la séquence s’intéresse donc à la construction des carrés des suites à partir d’un seul carré, amené à l’écran via l’environnement « Grandeurs ».

Fais apparaitre un carré à l’écran dans l’environnement « Grandeurs ».
À partir de ce carré, construis les trois autres carrés nécessaires à l’assemblage d’une des deux suites de carrés.
Indique ensuite de quels éléments géométriques tu as eu besoin pour réaliser ta construction.

Une deuxième consigne consiste à demander la construction de la deuxième suite de carrés. Ces deux consignes sont importantes pour les élèves car la construction de ces deux suites amène à des stratégies différentes, que nous développons ci-dessous. Certaines stratégies s’appuient sur le carré placé à l’écran pour construire les plus grands, les autres partent de ce même carré pour obtenir les plus petits. Voici les stratégies les plus souvent observées.

  3.1. Suite de carrés emboîtés

Du petit carré vers le grand :

Fig. 8 : À partir du petit carré

On découpe un triangle dans le carré après avoir construit le centre, on génère trois copies de ce triangle.

On pose ces quatre triangles sur les côtés du carré, puis on fusionne ces cinq éléments pour obtenir le carré de dimension supérieure (figure 8). En pratique, il est utile de grouper les cinq morceaux pour fusionner l’ensemble en une fois.

On recommence la même démarche jusqu’à l’obtention du plus grand carré.

Du grand carré vers le petit :

Fig. 9 : À partir du grand carré

On construit les milieux des côtés du carré, on découpe successivement quatre triangles pour obtenir le carré de dimensions inférieures (figure 9).

On recommence la démarche jusqu’à l’obtention du plus petit carré.

Notons que cette démarche est fastidieuse car il faut découper un coin à la fois. Les milieux des côtés ne sont pas reproduits sur les découpes des figures intermédiaires (qui ne sont pas représentées ici par souci de clarté de l’illustration). Il faut marquer les points de découpe à chaque étape.

  3.2. Suite de carrés en spirale

Fig. 10 : À partir du petit carré

Du petit carré vers le grand :

On découpe le carré en deux triangles, on crée des copies pour obtenir quatre triangles, puis on fusionne ces quatre triangles pour obtenir le carré de dimensions supérieures (figure 10).

On recommence jusqu’à l’obtention du carré le plus grand.

Du grand carré vers le petit :

Fig. 11 : À partir du grand carré

On découpe un triangle après construction du centre du carré, on copie ce triangle et on assemble les deux triangles par l’hypothénuse pour former par fusion le carré de dimension inférieure (figure 11).

On recommence la procédure jusqu’à l’obtention du plus petit carré.

Dans la démarche de construction des carrés de dimensions supérieures, certains élèves se limitent à la construction d’un seul carré plus grand et, une fois celui-ci obtenu, ils copient quatre fois chacun des deux premiers carrés pour obtenir les deux plus grands (figure 10).

Fig. 12 : Quatre carrés à partir des deux premiers

Au cours de diverses expérimentations réalisées dans des classes de troisième et quatrième primaires, les élèves ont exprimé leurs difficultés à passer d’une grande figure à une plus petite. Les raisons tiennent tant au domaine mathématique qu’au domaine instrumental. Dupliquer des figures et les juxtaposer pour former une figure plus grande leur semble plus aisé ou plus naturel que de diviser, découper ou construire le centre des figures.

 4. Comparaison d’aires

Pour rendre explicites les rapports d’aires des carrés, la séquence se complète par l’activité ci- dessous.

Compare les aires des quatre carrés du fichier QuatreCarres.agg qui permettent de construire une figure comme celle de la figure 13.
Complète ensuite les fiches.

Fig. 13 : Carrés emboîtés

Fig. 14 : Fichier QuatreCarres.agg

Fiche 1	Fiche 1
La flèche signifie « Il faut … petits carrés pour construire le grand carré » (compléter par un nombre).	La flèche signifie « L’aire du petit carré = … de l’aire du grand carré » (compléter par un rapport d’aires).

Lors du passage de la première fiche à la suivante, l’enseignant devra être attentif en classe à soutenir les élèves dans le lien à faire entre la question de la première fiche, qui porte sur des comparaisons d’objets, et celle de la deuxième qui s’attache aux rapports d’aires. Nous rappelons que l’environnement « Grandeurs » du logiciel ne permet pas de construire les carrés en se laissant guider par les observations des propriétés géométriques (par des constructions de formes par segments par exemple). Elle engage les élèves à construire les carrés par découpages et assemblages, soit en partant du carré le plus petit, soit en partant du plus grand.

Les stratégies induites par le logiciel font percevoir quelles formes géométriques ont été ajoutées pour passer d’un carré à un carré plus grand, ou enlevées pour passer à un plus petit, ce qui facilite les comparaisons d’aires. Tout le travail mené sur le logiciel via l’environnement « Grandeurs » devrait permettre aux élèves de compléter ces différents rapports, ce qui les amène à visualiser notamment certaines fractions, en passant parfois par des fractions équivalentes.

Il est alors possible de tirer les conclusions suivantes :

• en passant d’un carré à son voisin dans la suite, l’aire est multipliée (ou divisée) par deux ;
• les nombres obtenus dans les deux fiches sont inverses l’un de l’autre ;
• le rapport entre les aires de deux carrés peut s’exprimer par deux nombres inverses l’un
  de l’autre.

Un tableau récapitulatif reprend dans chaque case le rapport de l’aire entre le carré qui figure dans la colonne à gauche par rapport au carré de la ligne au-dessus (figure 15).

Fig. 15 : Tableau des rapports d’aires

Le fait que les élèves semblent avoir davantage de facilités à construire des figures plus grandes à partir de plus petites dans l’environnement « Grandeurs » du logiciel, plutôt que l’inverse, donne matière à réflexion quant à la construction des concepts liés aux fractionnements. Serait-il plus judicieux et plus respectueux des premières intuitions des enfants de commencer par assembler des copies d’une même figure plutôt que de tenter de la diviser pour en construire la moitié ou le quart ? Cette question reste encore à explorer.

Un prolongement naturel de cette activité, qui a été testé dans différentes classes de quatrième primaire lors d’une recherche sur les nombres décimaux, consiste à s’appuyer sur tout le travail mené jusque là pour amener la comparaison entre les longueurs des côtés de deux carrés successifs de la suite et à faire émerger l’existence d’un nombre décimal illimité non périodique 3). Dans cette recherche, la comparaison de grandeurs, sans recours à la mesure, est exploitée pour appréhender l’existence d’un nouveau type de nombres.

 5. Environnements « papier- crayon » et « Géométrie »

  5.1. Construction aux instruments sur papier libre

En formation d’enseignants, il est intéressant de demander aux participants de réaliser aux instruments ces mêmes constructions (suites de carrés emboîtés et de carrés en spirale). En mode « papier-crayon », les propriétés géométriques guident les procédures de construction habituelles à l’aide de la règle graduée, de l’équerre et du compas. On ne demande pas de faire ces constructions avec grande précision, mais plutôt de réfléchir aux éléments géométriques en jeu dans la construction. Les figures 16 à 18 illustrent cette étape.

Fig. 16 : Carrés emboîtés

La figure 16 montre une construction très soignée de la suite des carrés emboîtés utilisant les médianes et les diagonales du grand carré initial.

Fig. 18 : Carrés en spirale

Sur la figure 17, on voit l’ébauche de la construction de la suite des carrés en spirale, avec l’ordre des constructions réalisées et l’indication des éléments géométriques en jeu. La suite est aboutie sur la figure 18, on y voit la constrution des médiatrices des côtés des carrés pour passer au carré de dimension inférieure.

Fig. 17 : Carrés en spirale, ébauche

Cette phase est proposée aux enseignants pour leur faire percevoir les spécificités du logiciel dans sa version « Grandeurs ». Le travail sur papier fait appel à des constructions de médianes, de diagonales, de médiatrices… mais il ne favorise pas la perception des rapports d’aires.

  5.2. Construction dans Apprenti Géomètre mobile « Géométrie »

L’environnement « Géométrie » n’ayant été rendu public qu’en août 2024, cette construction n’a été expérimentée que par des adultes lors des formations de 2025.

Construire un carré dans cet environnement ne nécessite que de placer à l’écran deux points libres qui correspondent aux extrémités d’un des côtés du carré, le logiciel termine la construction dans le sens trigonométrique. La procédure de construction de la suite de carrés se rapproche donc du dessin aux instruments, tout en évacuant la difficulté de la construction d’un carré dont on connait un côté. Le travail dans l’environnement « Géométrie » est rapide et efficace mais, tout comme que le travail papier-crayon, il ne favorise pas l’apprentissage visé, à savoir la perception des rapports d’aires.

  5.2.1. Suite des carrés emboîtés

Les participants commencent par le carré le plus grand, c’est le plus évident. On marque les milieux de deux côtés consécutifs qui servent alors de points de construction pour le carré suivant et on continue de la sorte. À chaque étape il faut bien regarder dans quel ordre on désigne les deux extrémités du côté pour que le carré se construise du bon côté. Certains participants marquent à l’avance les quatre milieux, ainsi s’ils remarquent que le carré se construit du côté qui ne leur convient pas, ils glissent rapidement le doigt (ou la souris) vers le milieu de l’autre côté pour rectifier.

Fig. 19 : Des carrés emboîtés à la spirale

La construction ainsi réalisée, on demande de vérifier que les quatre carrés permettent de réaliser la spirale. On constate immédiatement que les quatre carrés ne peuvent plus se déplacer indépendamment l’un de l’autre car, chacun ayant été construit sur des points du précédent, les figures sont liées. Il faut alors « copier » chacun des carrés. Les quatre copies peuvent ensuite être déplacées pour reformer la suite des carrés en spirale.

  5.2.2. Suite des carrés en spirale

Cette fois, la suite des carrés se construit le plus facilement à partir du carré le plus petit. Le carré suivant s’obtient en désignant comme extrémités du côté les extrémités d’une diagonale du précédent. On répète l’opération trois fois. Si on colorie les figures, il faudra, à chaque étape, passer à l’arrière-plan le carré le plus grand, car la dernière figure construite se place à l’avant-plan.

Fig. 20 : De la spirale aux carrés emboîtés

La figure 20 illustre ceci : l’image de gauche est présentée en « semi-transparent » ; dans la suivante on a corrigé « l’avant-plan, arrière-plan » et les figures ont été rendues « opaques ». Tout
est prêt pour reconstituer la suite des carrés emboîtés.

Notons que dans le dessin de gauche, où les carrés sont semi-transparents, on perçoit facilement que la moitié d’un carré (le bleu par exemple) correspond au quart de celui qui lui est immédiatement supérieur (le vert).

  5.3. Prise de recul suite au travail avec différents outils

La reproduction des figures aux instruments sur papier libre n’est pas facile, même pour des adultes. La construction d’un carré à partir d’un de ses côtés nécessite de la précision, d’autant plus qu’il faut répéter la construction trois fois en se basant à chaque fois sur l’étape précédente. La seule figure facile à réaliser est la suite des carrés emboîtés en partant du carré le plus grand, qui nécessite seulement de positionner convenablement les milieux des côtés. Pour les autres, il faudra faire appel aux notions de médianes et diagonales, centres des carrés, perpendiculaires et parallèles, report de longueurs… En utilisant les propriétés géométriques, on ne s’interroge pas sur les rapports de grandeurs entre les différents carrés construits.

L’environnement « Géométrie » de Apprenti Géomètre mobile facilite énormément la construction, mais ne focalise pas davantage l’attention sur les grandeurs. On peut éventuellement percevoir les rapports d’aires par une observation ultérieure comme expliqué à la figure 20.

L’activité mathématique est tout autre dans la séquence où les élèves construisent les carrés par découpages et assemblages. C’est là le principal apport du travail dans l’environnement « Grandeurs » du logiciel : la construction des différents carrés permet de visualiser les rapports d’aires, parfois non consciemment dans un premier temps pour les élèves. Par exemple, on obtient un carré à partir d’un autre en en prenant le quart deux fois, ce qui correspond à un rapport d’aire de $\frac{2}{4}$ ou encore $\frac{1}{2}$. De même, lors de la construction d’un carré plus grand, on en prend la moitié quatre fois, ce qui revient à doubler l’aire.

Notons que les élèves ne rechignent pas à répéter à trois reprises une procédure qui fonctionne bien, ils prennent de l’assurance à chaque fois et la maîtrise progressive du logiciel leur permet de gagner du temps, par exemple en groupant plusieurs figures pour les fusionner en une seule fois. Ceux qui passent du premier au troisième carré, ou du deuxième au quatrième comme à la figure 12 perçoivent d’emblée les rapports 4 ou $\frac{1}{4}$ entre les aires de ces carrés, ce qui facilite le remplissage des fiches et renforce leur compréhension du tableau.

L’idée n’est évidemment pas de remplacer l’enseignement traditionnel de la géométrie par l’utilisation d’un logiciel, mais de concevoir Apprenti Géomètre mobile comme un complément pour amener à réfléchir à des stratégies différentes, en fonction de l’apprentissage visé.

 6. En conclusion

À l’école fondamentale, le travail sur les grandeurs est souvent court-circuité par un passage trop rapide à la mesure. Dès qu’on mesure, les comparaisons, additions, multiplications par un nombre ne s’appliquent plus aux grandeurs mais aux nombres, on quitte le monde des grandeurs pour celui des nombres. La version « Grandeurs » du logiciel Apprenti Géomètre mobile, qui ne donne pas accès à la mesure, a été spécialement conçue pour permettre de travailler les grandeurs longueurs et aires.

La séquence proposée ici illustre les propos que Nicolas Rouche tenait déjà en 1994 : […] il faut enseigner les grandeurs dans les écoles maternelles et primaires. […] Il faut faire vivre et comprendre aux élèves l’essentiel des phénomènes familiers liés à la comparaison de deux grandeurs de même espèce, à l’addition des grandeurs, à leur multiplication et leur division par un nombre naturel. Ces phénomènes sont plus nombreux qu’on le croirait de prime abord 8).

Les fichiers pour réaliser les carrés de papier, les fiches pour élèves et les fichiers Apprenti Géomètre mobile sont téléchargeables sur le site du CREM.

  Pour en savoir plus

(1) CREM, Apprenti Géomètre, Grandeurs, fractions et mesures. Nivelles, CREM. 2003.
(2) CREM, Impact du logiciel « Apprenti Géomètre » sur certains apprentissages. Nivelles,
CREM. 2007.
(3) (4) CREM, L’apprentissage et l’enseignement des nombres décimaux. Nivelles, CREM. 2010.
CREM, Apprenti Géomètre mobile (ressource en ligne). https://ag.crem.be/. 2023.
(5) CREM, Apprenti Géomètre mobile Mode d’emploi. https://agmobile.crem.be/wp-content/uploads/2025/03/Mode_emploi2025.pdf. 2025.
(6) Guissard, M.-F., Henry, V. et Lambrecht, P., Apprenti Géomètre mobile, découverte et
prise en main. Losanges, 63, pp. 2–6. 2024.
(7) Guissard, M.-F., Henry, V. et Lambrecht, P., Découvrir Apprenti Géomètre mobile, Au
fil des maths n° 557, pp. 86-90, 2025.
(8) Rouche, N., Qu’est-ce qu’une grandeur ? Analyse d’un seuil épistémologique. Repères-
IREM, n°15, pp. 25–36. 1994.
(9) Rouche, N., Du quotidien aux mathématiques (1). Nombres, grandeurs, proportions. Paris,
Ellipses. 2006