Différences finies - [Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiques]

Différences finies

Article mis en ligne le 31 janvier 2026

par Sébastien Reb

Sommaire

1 – INTRODUCTION

« L’acceptation de la différence avec autrui ne peut se faire que dans la conscience d’une identité commune. »
Edgar MORIN (né en 1921), sociologue français

La différence est le résultat de la soustraction, ce qui mesure la distance entre deux nombres sur la droite graduée s’ils sont placés dans l’ordre croissant. Les différences finies sont étudiées post bac en mathématiques. Elles recèlent de nombreux trésors et curiosités arithmétiques qui font l’objet de cet article. Avant de vous accompagner dans ces quelques découvertes, quelques mots sur l’origine, la genèse d’une telle idée. Comment évoquer des mathématiques universitaires dès le cycle 2 ou 3 ? Comment rendre accessible de telles notions aux élèves de primaire ou du secondaire par le biais de la démarche expérimentale ? Autant de questions qui trouveront résonance dans les lignes qui suivent…

Gérard VILLEMIN est un ancien ingénieur de l’INSA en électronique et systèmes numériques. Passionné de mathématiques et de sciences, il a créé un site fabuleux (http://villemin.gerard.free.fr), qui est une véritable référence nationale pour ceux qui souhaitent découvrir les maths autrement. Parcourir son site peut vous prendre des heures, des jours, des semaines tant il foisonne de contenus extraordinaires. Lors d’un passage sur son site, je découvre une propriété arithmétique étonnante sur les différences que je note immédiatement sur mon carnet de maths :
« Le produit de toutes les différences entre 4 entiers distincts est toujours divisible par 12 »

Ni une, ni deux, me voilà à griffonner quelques exemples pour m’en assurer la compréhension, voire faire émerger une idée d’explication, de démonstration. Car, il est inconcevable pour un matheux de se satisfaire d’échantillons numériques. Établir une preuve est l’essence même des mathématiques et au cœur d’une démarche expérimentale scientifique à faire vivre à nos élèves dès le plus jeune âge. Voici donc un 1er exemple. Avec les nombres $3$, $7$, $8$ et $11$, il y a 6 différences possibles (calculées de sorte que la différence soit toujours positive, on parle de valeur absolue en classe de seconde générale) :

$7 – 3 = 4$
$8 – 3 = 5$
$11 – 3 = 8$
$8 – 7 = 1$
$11 – 7 = 4$
$11 – 8 = 3$

Le produit de ces 6 différences donne : $4 \times 5 \times 8 \times 1 \times 4 \times 3=1920=12 \times 160$ qui est divisible par $12$.

Passé ce constat, le mathématicien cherche fréquemment à disposer les résultats sous la forme d’une représentation plus parlante, plus visuelle. C’est souvent l’occasion de procéder par analogie. L’idée consiste à faire des liens entre des notions différentes (c’est le cas de le dire…), des ponts qui unissent par un schéma commun. Dans ce cas, la théorie des graphes nous est fort utile. Elle est, ici, fortement illustrée par le nombre de segments dans un polygone. En effet, les 4 nombres entiers de la propriété peuvent être considérés comme les 4 sommets d’un carré, les différences étant perçues comme les segments reliant ces sommets entre eux (diagonales comprises). Il y a bien 6 segments possibles, les 4 côtés ainsi que les 2 diagonales (voir figure ci-contre). Que se passe-t-il avec 3 nombres entiers ? Combien y a-t-il de différences ? Par quel nombre est divisible le produit de toutes les différences ? Je vous laisse le soin, voire le plaisir de le découvrir par vous-même.
Comme bon nombre d’idées, il faut laisser du temps de gestation pour qu’émergent d’autres pistes, d’autres prolongements. Tous les chercheurs en mathématiques ont vécu ces moments où prendre du recul par rapport au thème cherché est une nécessité pour progresser, évoluer dans ses idées. Cet article explique le cheminement des différences finies, issues de cette première propriété. Cela débute avec un tour de magie…

2 – DIFFÉRENCES EN CARRE

Ce tour de magie apparaît naturellement en ne considérant que les 4 différences correspondant aux 4 côtés du carré.

Matériel : Le carré en annexe et un crayon

Déroulement du tour : Le magicien demande à un spectateur :

Choisir un 1er nombre entier et le placer en haut à gauche du grand carré.
Ex : $27$
Choisir un 2ème nombre entier (le magicien écrit une prédiction) et remplir les 3 autres sommets du grand carré en tournant dans le sens des aiguilles d’une montre et en l’ajoutant au 1er nombre
Ex : $36$ donc les 3 nombres sont $27+36=63$ ; $63+36=99$ et $99+36=135$
Compléter le grand carré de la façon suivante :
Le milieu de chaque côté vaut la valeur absolue de la différence entre les deux sommets, c’est-à-dire que l’on soustrait le plus grand nombre au plus petit, nombres situés aux extrémités du côté.
Compléter les autres carrés intérieurs de la figure avec la même règle, ceci jusqu’au carré central.
On poursuit jusqu’au carré central comme suit :

Le magicien avait prédit le nombre identique au carré central ! Ex : $72$

Explication : Tout repose sur les suites de différences dans un carré !
Notons $n$ le 1er nombre et $k$ le 2e :

Astuce pour le magicien : la prédiction est $2k$.

Compléments : Dans un tel carré, si on choisit 4 nombres au hasard aux 4 sommets, la suite des différences conduit toujours à un carré dont les 4 sommets valent 0, et ce quels que soient les 4 nombres de départ !
Voici quelques exemples :

Cela reste valable dans tous les polygones à $2^n$ côtés comme le carré, l’octogone…

ANNEXE – Les carrés à remplir

3 – DIFFÉRENCES ENTRE 4 NOMBRES

Le titre de ce paragraphe semble redonder avec ce qui précède, mais que nenni, il s’agit de faire un focus théorique sur 3 différences possibles entre 4 nombres quand ces derniers sont disposés sous la forme d’une pyramide. À travers la démarche expérimentale et une expérience vécue en classe de cinquième, le tableur sera utilisé pour expérimenter et établir des conjectures sur certaines pyramides. Dressons le tableau de départ via l’exemple suivant :

Toutes les différences s’effectuent en valeur absolue (le plus grand moins le plus petit). L’objectif pédagogique est de comprendre le mécanisme soustractif de cette pyramide, puis d’étudier deux cas particuliers. Cette situation adidactique proposée aux élèves de début de cycle 4 (adaptable au cycle 3 sans aborder les nombres relatifs) est gage de nombreuses compétences. Comme bon nombre de choix, cette activité, basée sur des « petits nombres », est facilement accessible à tous les élèves, qui peuvent ainsi s’engager dans la tâche. L’autre idée sous-jacente est de favoriser la compétence chercher, puis de permettre à chacune et chacun de découvrir de manière autonome, les arcanes de la démarche expérimentale, en étant capables d’énoncer certaines remarques voire certaines conjectures. Deux choix leur étaient suggérés :

soit 4 entiers, chacun étant le double du précédent ;
soit 4 entiers dont l’écart en valeur absolue était constant mais dont les signes alternaient entre positifs et négatifs.

En voici deux exemples :

Les élèves expérimentent « à la main » plusieurs exemples et émettent quelques observations sur le nombre final ou sur les lignes intermédiaires. Le tableur prend alors naturellement tout son sens pour passer le cap des tests et des conjectures. En amont de la séance, les élèves ont découvert le tableur, en classe entière, dans des activités où la feuille de calcul a été réalisée en direct. Ensuite, après présentation du vocabulaire associé au tableur, ligne, colonne, cellule, étirer une formule,…, les élèves ont programmé la pyramide. À partir des 4 nombres de départ, le calcul est automatisé sur les trois lignes suivantes avec des formules simples du type =A2-A1. Pour les nombres relatifs, la fonction abs a été introduite en étayant en amont avec la notion de distance entre deux nombres relatifs sur une droite graduée (ce travail a été effectué en questions flash en classe). La formule =A2-A1 devient dans le 2e exemple =ABS(A2-A1).
À l’issue, les élèves conjecturent sans difficulté que :

pour la 1re pyramide, le nombre final est toujours égal au 1er nombre de la 1e ligne ;
pour la 2e pyramide, le nombre final vaut toujours 0.

Lorsque l’on propose de telles situations adidactiques (chères à Guy Brousseau) aux élèves, certains n’hésitent pas à prolonger l’activité. Une élève suggère de multiplier par 4 au lieu de 2 chaque nombre de la 1re ligne. Que se passe-t-il alors ? Le feedback des élèves sur ce type d’activité, leurs idées sont autant de pistes à explorer pour aller plus loin. Étudions ainsi plus en profondeur ces pyramides de 4 nombres sous un angle plus théorique.

Notons $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$ les 4 nombres de la 1re ligne.

Lemme 1 : Si les 4 nombres sont issus d’une table $t$ et si $u_n=nt$ alors le nombre final vaut toujours 0.

Exemples :

Preuve :

Si on souhaite décaler la table, on tombe inexorablement sur les suites arithmétiques :

Lemme 2 : Si $u_n=(n-1)t+u_1$ alors le nombre final est encore 0.

Exemples :

Preuve :

Que se passe-t-il lorsque l’on multiplie par un même nombre pour passer d’un nombre à l’autre sur la 1re ligne ? C’est le cas des puissances évoqué par l’activité et l’élève durant la séance d’expérimentation :

Lemme 3 : Trois cas et une généralisation avec les suites géométriques.

Si $u_n=u_1 \times 2^{n-1}$ alors le nombre final vaut $u_1$
Si $u_n=u_1\times3^{n-1}$ alors le nombre final vaut $u_1\times2^3$
Si $u_n=u_1\times4^{n-1}$ alors le nombre final vaut $u_1\times3^3$
Si $u_n=u_1\times q^{n-1}$ alors le nombre final vaut $u_1\times(q-1)^3$

Exemples :

Preuve :

Et dans un cas plus général, où les nombres $u_i$ n’ont aucun lien apparent entre eux, que se passe-t-il ? Modélisons la situation en utilisant l’opérateur delta des différences finies et en supposant les termes $u_i$ en ordre croissant :
$Δu_n=u_n - u_{n-1}$ par définition de sorte que la pyramide à 4 étages devienne :

Cet opérateur peut s’itérer autant de fois que l’on veut. En effet :

$Δ^2u_3=Δ(Δu_3)=Δ(u_3-u_2)=Δu_3-Δu_2=u_3-u_2-(u_2-u_1)=u_3-2u_2+u_1$

$Δ^3u_4=Δ(Δ^2u_4)=Δ(u_4-2u_3+u_2)=Δu_4-2Δu_3+Δu_2=u_4-u_3-2(u_3-u_2)+u_2-u_1=u_4-3u_3+3u_2-u_1$

On remarque que les coefficients sont ceux du binôme de Newton, issus du célèbre triangle de Pascal d’où :

Lemme 4 : $Δ^ku_{n+1}= \sum_{p=0}^{k} \binom{k}{p}(-1)^p u_{n-p}$

La preuve est laissée au lecteur !

Ce qui nous donne une formule générale pour 4 nombres pris totalement au hasard dans cette pyramide :

$$Δ^3u_4=(u_4-u_1)-3(u_3-u_2)$$

En pratique sur l’exemple suivant, cela donne :

Le nombre final se calcule avec deux différences :

celle des deux nombres extrêmes : $47-12=35$
celle des deux nombres du milieu : $33-20=13$
Le nombre final vaut $35-3 \times 13=-4$ qui en valeur absolue vaut bien 4.

À vous d’explorer le cas d’une pyramide à 3 nombres, puis 5 nombres et pourquoi pas n nombres ?

4 – DIFFÉRENCES EN CASCADE

De cette pyramide à la conception d’un algorithme, il n’y avait qu’un pas à franchir, celui de la création judicieuse d’un procédé permettant d’enchaîner ces pyramides. En cascade, les premiers termes de chaque ligne forment la 1re ligne de la pyramide suivante et ainsi de suite…

Chaque pyramide est numérotée comme dans l’exemple ci-dessous de 1 à 6. L’algorithme se poursuit jusqu’à aboutir à un cycle qui se répète ou une suite de 4 nombres figée. Dans l’exemple qui suit, en partant des 4 nombres $1$, $5$, $11$ et $16$, les étapes successives mènent au cycle de nombres : $(1 \ 1 \ 1 \ 0)$ → $(1 \ 0 \ 0 \ 1)$

Pour étudier cet algorithme, procédons à l’envers de la démarche expérimentale du paragraphe 3, en modélisant de suite les différentes étapes en prenant comme précédemment 4 nombres de départ $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.

Étape 1 :

Étape 2 :

Étape 3 :

Étape 4 :

À l’instar de la démarche expérimentale de début de cycle 4, l’observation de ces 4 étapes permettent les conjectures suivantes. À l’étape $n$ :

le 1er terme est toujours $u_1$
le second terme est $u_2-nu_1$
le 3ème est du type $u_3-2nu_2+n^2u_1$
enfin le 4ème s’écrit $u_4-3nu_3+3n^2u_2-n^3u_1$

En observant plus attentivement, les coefficients du triangle de Pascal sont encore apparents devant chaque terme. La généralisation est alors à portée de main avec le :

Lemme : Pour une pyramide à $p$ étages avec $u_1$,…,$u_p$ sur la 1re ligne, l’algorithme conduit à la $n^{ième}$ étape et la $p^{ième}$ ligne au nombre :

$$\sum_{k=0}^{p-1} \binom{p-1}{k}(-1)^k n^k u_{p-k} $$

Comme bon nombre de preuves issues de l’observation, une démonstration par récurrence permet de vérifier la véracité de cette proposition.

La modélisation finalisée, regardons ce qu’il se passe avec des suites arithmétiques ou géométriques.

Cas des suites géométriques :

On tombe sur un 2-cycle $(1 \ 1 \ 1 \ 1)$ → $(1 \ 0 \ 0 \ 0)$. On peut même prouver :

Lemme 2 : Il faut exactement $q-1$ étapes dans l’algorithme pour obtenir la première fois, la suite $(1 \ 1 \ 1 \ 1)$ si $u_n=u_1 \times q^{n-1}$

Cas des suites arithmétiques :

Lemme 3 : Si $u_n=nt$ représente une table alors l’algorithme aboutit à un 2-cycle du type $(t \ t \ 0 \ 0)$ → $(t \ 0 \ t \ 0)$ (n’y voyez aucune blague…)

La preuve est évidente et laissée au lecteur.

Dans ce dernier exemple, la suite est arithmétique de raison $7$ et de 1er terme $3$. L’algorithme conduit à un 2-cycle $(3 \ 1 \ 0 \ 0)$ → $(3 \ 2 \ 1 \ 0)$.

Vous pouvez tester d’autres configurations. Il semblerait que quels que soient les 4 nombres de départ, l’algorithme fournisse un 2-cycle comme ci-dessous :

À vous d’explorer cet algorithme et je vous avoue être très preneur de vos suggestions pour d’autres propriétés issues de ce procédé.

5 – UN TOUR DE MAGIE AU LYCÉE

Pour terminer notre voyage au pays des différences, je ne pouvais nullement omettre les œuvres de Martin GARDNER, une référence internationale en mathémagie. Ce tour provient de son ouvrage The colossal Book of Mathematics de 2001 dans lequel un chapitre entier est consacré aux différences finies.
Lien vers le livre en pdf.

Matériel : de quoi écrire, un tableau est l’idéal

Déroulement du tour : Le magicien propose à un spectateur de choisir un trinôme du second degré sous la forme $ax^2+bx+c$ sans lui dire les valeurs de $a$, $b$ et $c$. Il lui dévoile que le but du tour est de retrouver son trinôme !

Voici la procédure :

le spectateur choisit son trinôme : $P(x)=3x^2+5x-2$
Il calcule successivement :
$P(0)=-2$
$P(1)=3\times1^2+5\times1-2=6$
$P(2)=3\times2^2+5\times2-2=20$
Il énonce ces trois résultats dans l’ordre : $-2$ ; $6$ et $20$.
Avec ces trois nombres, le magicien retrouve en quelques secondes le trinôme de départ : $3x^2+5x-2$.

Comment fait-il ?

Explication : Tout repose sur le calcul successif de différences !

Astuce pour le magicien : il calcule de tête les différences successives suivantes :

avec l’algorithme :

Exemple :

pour calculer la 2e ligne : $6-(-2)=8$ et $20-6=14$
pour calculer la 3e ligne : $14-8=6$

Pour retrouver $ax²+bx+c$, le magicien utilise ces différences :

pour $a$, il calcule la moitié du nombre obtenu à la 3e ligne : $a=\dfrac{6}{2}=3$
pour $b$, il calcule la différence du 1er nombre de la 2e ligne avec a : $b=8-a=8-3=5$
pour $c$, il suffit de prendre le 1er nombre de la 1re ligne : $c=-2$

Preuve des formules : On part de $P(x)=ax^2+bx+c$
$P(0)=c$ ; $P(1)=a+b+c$ et $P(2)=4a+2b+c$.

Le tableau des différences successives donne :

le 1er nombre de la 3e ligne est le double de $a$
le 1er nombre de la 2e ligne est $a+b$ donc $b=a+b-\dfrac{2a}{2}$
le 1er nombre de la 3e ligne est bien $c$

Variante : Que se passe-t-il avec un polynôme de degré 3 ?

Voici le tableau des différences avec les calculs de $P(0)$ ; $P(1)$ ; $P(2)$ et $P(3)$ si $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ :

pour $a,$ on calcule la division du 1er nombre de la 4e ligne par $6$
pour $b$, on soustrait les deux 1er nombres des lignes 3 et 4 et on divise par $2$
pour $c$, il suffit de soustraire la somme de $a$ et $b$ avec le 1er nombre de la 2e ligne
pour $d$, on lit le 1er nombre de la 1ère ligne

Évidemment, un tel tableau à mémoriser demande de l’entraînement !

Exemple :$P(x)=2x^3-3x^2+6x-1$ et les nombres sont $-1$ ; $4$ ; $15$ ; $44$

Compléments

Au 17e siècle, la formule de Grégory-Newton d’interpolation par les différences finies était utilisée. La voici :

Si on pose $p_i=P(x_i)$ pour $i=0,1,2,…$ avec un pas constant de $h$ entre chaque $x_i$ ; $Δp_i=p_{i+1}-p_i$ et $Δ^np_i=Δ^{n-1}p_{i+1}-Δ^{n-1}p_i$ alors le tableau des différences devient :

$$p_0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ p_1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ p_2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ p_3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ p_4...$$

$$Δp_0 \ \ \ \ \ \ \ \ Δp_1 \ \ \ \ \ \ \ \ Δp_2 \ \ \ \ \ \ \ \ Δp_3...$$

$$Δ^2p_0 \ \ \ \ \ \ \ \ Δ^2p_1 \ \ \ \ \ \ \ \ Δ^2p_2...$$

$$Δ^3p_0 \ \ \ \ \ \ \ \ Δ^3p_1...$$

$$...$$

$P(x)=p_0+\dfrac{x-x_0}{1 ! \ h} Δp_0+\dfrac{(x-x_0)(x-x_1)}{2 ! \ h^2}Δ^2p_0+...$

Si on stoppe les différences, on peut obtenir avec cette formule un polynôme qui interpole une fonction qui coïncide avec le dit polynôme sur les valeurs $p_i$.

Revenons à notre tour et appliquons la formule de Newton avec

Dans notre cas, le pas $h$ vaut $1$, $x_0=0$, $x_1=1$ et $x_2=2$ donc :

$P(x)=c+\dfrac{x}{1 !}(a+b)+\dfrac{x(x-1)}{2 !}(2a)=c+x(a+b)+ax(x-1)=c+ax+bx+ax^2-ax=c+bx+ax^2$ CQFD !