Dans les années 1730, Leonhard Euler s’intéresse à la fonction notée ζ (dzêta) définie, pour x supérieur à 1, par ζ(x) = 1^-x+2^-x+3^-x+... et la définit même sur des nombres complexes du moment que leur partie réelle dépasse 1 (car dans ce cas, la série converge).

En 1859, Bernhard Riemann qui s’intéresse à la répartition des nombres premiers, prolonge la fonction ζ à presque tout le plan complexe (tout comme la fonction ζ d’Euler, celle de Riemann a un pôle en 1, c’est-à-dire que ζ(1)=∞). Voici une représentation graphique de la fonction ζ de Riemann :

module de la fonction zeta

Riemann s’intéresse essentiellement à la position des zéros de ζ, c’est-à-dire des nombres complexes z tels que ζ(z)=0. Sur la gauche, on aperçoit que la fonction s’annule en -1, -2, -3 etc. mais il y a aussi des zéros de partie imaginaire non nulle, dont la partie réelle est comprise entre 0 et 1. Riemann conjecture que ces zéros ont tous une partie réelle exactement égale à 1/2.

De cette conjecture, dépend une estimation fine de la répartition des nombres premiers.

Un siècle et demi après son émission, la conjecture de Riemann est toujours une conjecture. La fondation Clay offre d’ailleurs un million de dollars à la première personne qui prouvera, ou réfutera, cette conjecture.

Au début du XX^e siècle, la conjecture était déjà célèbre au point que David Hilbert en a fait son problème numéro 8.

En 1928, le même Hilbert affine son problème numéro 2, en posant le Entscheidungsproblem (problème de décision) : existe-t-il des fonctions non calculables ? En 1936, Alan Turing répond par la négative, à l’aide de machines théoriques, appelées machines de Turing, ce qu’on peut considérer comme l’acte fondateur de la science informatique.

C’est pendant la seconde guerre mondiale qu’ont été construits les premiers ordinateurs (militaires), suivis par les ordinateurs civils construits vers le milieu du XX^e siècle. Turing a participé à la réalisation des premiers ordinateurs britanniques, parmi lesquels le Manchester Mark I.

Lorsqu’un mathématicien comme Turing dispose d’un ordinateur (le Manchester Mark I), la question se pose de savoir quelle tâche mathématique il veut lui confier. Il aurait pu faire des tests de primalité ou d’autres calculs en lien avec la théorie des nombres. En fait c’est l’hypothèse de Riemann qu’il choisit (au début des années 1950, la publication de son article datant de 1953) ! En fait, Turing cherche à infirmer la conjecture de Riemann, en cherchant si l’ordinateur arrive à calculer un zéro avec suffisamment de précision pour prouver que sa partie réelle est différente de 0,5 :

L’algorithme de Turing se révèle peu efficace pour trouver un zéro dont la partie réelle diffère significativement de 0,5. Peut-être est-ce parce que la conjecture de Riemann est vraie ?

Euclide propose de jouer à un jeu sur les nombres entiers. Par exemple on choisit le nombre 2026, alors

• on calcule ses parties aliquotes (diviseurs autres que 2026) : ce sont 1, 2 et 1013 ;
• on additionne les parties aliquotes : 1+2+1013 = 1016.

Conclusion : 2026 est déficient parce que 1016 est plus petit que 2026. La plupart des entiers sont, ou bien déficients, ou bien abondants (la somme de leurs parties aliquotes dépasse le nombre, par exemple 12 dont les parties aliquotes 1, 2, 3, 4 et 6 s’additionnent à 16 qui est plus grand que 12). Mais certains rares entiers sont parfaits : la somme de leurs parties aliquotes leur est égale.

On ne connaît aujourd’hui aucun nombre parfait impair, mais Euclide a réussi à caractériser les nombres parfaits pairs : ils sont donnés par la formule 2^p-1(2^p-1) où 2^p-1 est premier.

Marin Mersenne s’intéressait aux nombres parfaits, et (suite à une correspondance avec Pierre de Fermat) a émis l’hypothèse qu’il y a une infinité de nombres premiers de la forme 2^p-1 où p est premier. Un tel nombre est appelé aujourd’hui nombre de Mersenne. Par exemple 2²-1=4-1=3 est premier, et on en déduit que 6 est parfait (ses parties aliquotes sont 1, 2 et 3 dont la somme est effectivement égale à 6).

Dans le cadre de recherche sur la suite de Fibonacci, Édouard Lucas découvre le fait suivant :

description du test par Lucas

Il en déduit un test de primalité pour les nombres de Mersenne. Voici le code Python de ce test :

def est_premier(p):
    M = 2**p-1
    u = 4
    for k in range(1,p):
        if u == 0:
            break
        u **= 2
        u -= 2
        u %= M
    return u == 0

par exemple l’appel

>>> est_premier(31)
True

prouve que 2³¹-1 = 2147483647 est premier.

Pour effectuer les calculs, Lucas utilise une version améliorée de l’abaque de Neper, avec des jetons à déplacer sur l’abaque, et réussit notamment à prouver la primalité de 2¹²⁷-1. De nos jours Python répond instantanément :

>>> est_premier(127)
True

Pour information, 2¹²⁷-1 est égal à 170141183460469231731687303715884105727 : il paraît difficile même aujourd’hui, de prouver sa primalité autrement qu’avec le test de Lucas !

Avec ce nombre, Lucas est recordman du plus grand nombre premier, de 1876 à 1952, soit une durée de 76 ans, inégalée depuis !

Emma Lehmer est née Trotskaya en Russie, en 1906. Son père étant commerçant, c’est en Chine qu’elle a suivi l’école, jusqu’à son adolescence où elle est partie vivre en Californie. C’est à Berkeley qu’elle a étudié les sciences de l’ingénieur, puis les mathématiques, sous la direction de Derrick Norman Lehmer, dont les travaux portaient sur les nombres premiers et la factorisation des entiers. Elle rencontre alors le fils de son professeur, Derrick Henry Lehmer, qui fabriquait et utilisait des machines à calculer congruentielles pour aider aux recherches de son père. D.H Lehmer et Emma Trotskaya se sont mariés en 1930, et depuis lors ont travaillé en couple sur des problèmes d’arithmétique.

Toujours en 1930, D.H. Lehmer publie un article titré An extended theory of Lucas’ functions dans lequel il généralise le test de Lucas à des nombres autres que ceux de Mersenne, mais son but est clairement de profiter des moyens de calcul de l’époque pour utiliser le test de Lucas sur des nombres de Mersenne, et pour cela, les époux Lehmer doivent attendre la construction des ordinateurs, qui n’existaient pas encore.

La seconde guerre mondiale accélère considérablement le progrès technologique, en particulier pour les Lehmer, qui participent au projet Manhattan sur la première version de l’ENIAC. Cet ordinateur passe ses journées à calculer des trajectoires balistiques pour l’effort de guerre, et la nuit, les Lehmer viennent le programmer pour tester la primalité de nombres de Mersenne.

En 1949, c’est Alan Turing qui cherche, avec le test de Lucas, des nombres premiers plus grands que 2¹²⁷-1, sans toutefois en trouver. L’année suivante, une nouvelle théorie est publiée : l’arithmétique de Robinson. Son auteur Raphael Robinson se retrouve à la tête d’un projet sur l’ordinateur Standards Western Automatic Computer.

C’est en janvier 1952 que l’équipe de Robinson (dont Emma Lehmer) vérifie (en une seconde et demie) que 2¹²⁷-1 est premier, puis établit un nouveau record avec 2⁵²¹-1, puis, le même jour, 2⁶⁰⁷-1. La même année 1952, la même équipe (Robinson-Lehmer) bat trois fois le record du monde sur la même machine. D’autres prennent le relais durant les décennies suivantes, sur des descendants du SWAC puis sur des superordinateurs de Cray (entreprise).

Le projet GIMPS (Great Internet Prime Search) continue la quête de grands nombres premiers avec le test de Lucas, en utilisant du calcul parallèle : chaque participant reçoit un exposant p premier, et utilise son (ou ses) ordinateur sur le temps libre (sous la forme d’un économiseur d’écran) pour lancer un test de Lucas sur p. Parfois un record est battu avec cette technologie et les nombres premiers les plus grands connus actuellement sont tous des nombres de Mersenne, dont la primalité est établie par GIMPS.

Ces calculs ont même permis de découvrir un bug d’Intel.

Une courbe elliptique est une courbe dont une équation est de la forme y²=f(x) où f est de degré 3. On peut y définir une loi de groupe (source : jsxgraph) :

Il est possible, à partir des coordonnées de A et B, de calculer celles de A+B, et même (la droite (AA) est la tangente à la courbe en A) celles des multiples de A. Les formules font que si A et B ont des coordonnées rationnelles, A+B et 2A ont aussi des coordonnées rationnelles.

L’ensemble des points à coordonnées rationnelles sur une courbe elliptique est un sous-groupe de la courbe elliptique. Si A est un point de la courbe à coordonnées rationnelles, l’ensemble des multiples de A est un sous-groupe de ce sous-groupe. Il y a alors deux possibilités :

• il existe un entier n tel que nA soit l’élément neutre (dans la figure de l’onglet précédent, l’élément neutre est le point à l’infini, cela veut dire que (n-1)A et A ont la même abscisse),
• pour tout n non nul, le point nA est différent de l’élément neutre.

Dans le premier cas, le groupe engendré par A est isomorphe à Z/nZ, dans le second cas, il est isomorphe à Z.

Il y a un siècle de cela, Louis Mordell a montré que pour toute courbe elliptique, il existe un nombre fini de générateurs du groupe des points à coordonnées rationnelles, c’est-à-dire des points dont les multiples engendrent ce groupe. Le groupe est donc le produit de groupes cycliques (les Z/nZ de certains générateurs) et de copies de Z. Le nombre de copies de Z qui interviennent est un entier naturel r appelé rang de la courbe.

Une anecdote en passant : le logiciel PARI/GP, développé à Bordeaux, sert à calculer le rang de certaines courbes elliptiques (et, en particulier, déterminer, lorsque le rang est nul, et que donc le groupe est fini, les générateurs de ce groupe). Il y a une dizaine d’années, Bernard Parisse a intégré Pari-gp à Xcas, ce qui fait que maintenant Xcas aussi peut faire efficacement des calculs sur des courbes elliptiques. Fin de l’anecdote.

Le théorème de Mordell implique l’existence du rang, mais il n’est pas facile de calculer ce rang.

Il est difficile d’étudier une courbe elliptique sur Q mais la courbe ayant même équation sur Z/pZ donne des renseignements sur la courbe initiale, et a un groupe fini même pour une courbe de rang non nul.

Par exemple la courbe d’équation y²=x³-2x+1 visible dans le premier onglet, a pour équivalent dans Z/17Z l’ensemble de ces 15 points (dont les coordonnées sont à regarder modulo 17) :

( 0 , 1 )
( 0 , 16 )
( 1 , 0 )
( 6 , 1 )
( 6 , 16 )
( 8 , 2 )
( 8 , 15 )
( 9 , 7 )
( 9 , 10 )
( 11 , 1 )
( 11 , 16 )
( 13 , 8 )
( 13 , 9 )
( 16 , 6 )
( 16 , 11 )

Les coordonnées des points de la courbe elliptique ont été calculées et affichées à l’aide de ce script Python :

p = 17
for x in range(p):
    for y in range(p):
        if (y**2)%p == (x**3-2*x+1)%p:
            print('(',x,',',y,')')

Il y a en tout 17²=289 points dans le plan sur Z/17Z et seulement 15 d’entre eux sont sur la courbe elliptique.

Birch étudie le quotient du nombre de points de la courbe elliptique modulo p, par p. Pour p=17 ce quotient vaut 15/17. Voici un script Python permettant de calculer ce quotient pour divers nombres premiers :

def nsurp(p):
    total = 0
    for x in range(p):
        for y in range(p):
            if (y**2)%p == (x**3-2*x+1)%p:
                total += 1
    return total/p

for p in [2,3,5,7,11,13,17]:
    print(nsurp(p))

qui donne la suite de quotients suivante :

1.0
1.0
0.8
1.5714285714285714
0.6363636363636364
1.1538461538461537
0.8823529411764706

dont il est difficile d’extraire des informations intéressantes. Mais le produit de ces valeurs, donné par le script

def nsurp(p):
    total = 0
    for x in range(p):
        for y in range(p):
            if (y**2)%p == (x**3-2*x+1)%p:
                total += 1
    return total/p

l = 1
for p in [2,3,5,7,11,13,17,19]:
    l *= nsurp(p)

est environ 0,6430102405334602.

En 1960, Brian Birch avait accès à un ordinateur britannique avancé pour l’époque : un EDSAC, sur lequel il a calculé ce genre de produit pour diverses courbes elliptiques de rang connu, et pour diverses bornes supérieures sur les nombres premiers p (ci-dessus, on a multiplié les densités pour tous les nombres premiers inférieurs à 20). Il a constaté que

• si le rang est nul, il n’y a pas d’augmentation significative du produit lorsque la borne supérieure sur p augmente,
• si le rang est unité (comme dans l’exemple ci-dessus), le produit pour les p inférieurs à x semble dépendre logarithmiquement de x,
• si le rang est 2, le produit semble proportionnel à (log x)²,
• etc.

Birch a en fait conjecturé que le rang d’une courbe elliptique peut être estimé en calculant, en fonction de x, le produit des N/p (où N est le cardinal de la courbe modulo p) pour les nombres premiers inférieurs à x, et en cherchant pour quelle valeur de r la fonction (log x)^r a la même allure que la suite des produits : cette valeur de r serait, d’après Birch, le rang de la courbe.

Il existe une généralisation de la fonction ζ à des groupes finis (comme ceux des points à coordonnées rationnelles sur une courbe elliptique) notée L. Et comme la fonction ζ, la fonction L peut être prolongée sur C.

Les calculs de Birch ont mené celui-ci, avec Peter Swinnerton-Dyer à conjecturer que la fonction L s’annule en 1, et même qu’elle s’y annule r fois, où r est le rang de la courbe elliptique.

Tout comme la conjecture de Riemann, celle de Birch et Swinnerton-Dyer rapportera un million de dollars à la première personne qui saura la prouver.

Il existe deux groupes ayant 4 éléments, et dont voici les tables :

Le premier (groupe des restes d’entiers dans la division par 4) est, d’une certaine manière, plus simple que le second (groupe des entiers inférieurs à 3 pour la Nim-addition), parce que en notant (0,0), (0,1), (1,0) et (1,1) les nombres 0, 1, 2, et 3, on peut additionner modulo 2 chaque coordonnée pour retrouver la table d’addition ci-dessus : le groupe de Klein est le produit (cartésien) du groupe à deux éléments, par lui-même. En écrivant le groupe de Klein sous la forme Z/2Z×Z/2Z, on dit qu’on a résolu ce groupe (le terme est d’Évariste Galois, qui modélisait la résolution d’équations par celle de groupes) en groupes simples : en effet les groupes Z/pZ sont simples.

La théorie de Galois se résume essentiellement au fait que les groupes de permutations alternées (ayant un nombre pair de transpositions) sur n éléments est simple lorsque n dépasse 4. On peut résoudre les équations de degré 4 parce que le groupe des 12 permutations paires sur 4 éléments est d’une certaine manière le produit du groupe de Klein par Z/3Z : il s’agit d’un groupe résoluble.

Le groupe des permutations paires sur les 4 sommets d’un tétraèdre coïncide avec celui des rotations laissant le tétraèdre invariant. Des groupes (y compris des groupes simples) apparaissent donc naturellement en géométrie.

Après la mort de Galois, la recherche sur les groupes simples s’est poursuivie assez discrètement (le XIX^e siècle est celui des mathématiques appliquées et il a fallu attendre la fin de ce siècle pour que les physiciens réalisent que les groupes aussi sont des maths appliquées). Felix Klein, Sophus Lie et Henri Poincaré se sont intéressés à des groupes ayant un nombre infini d’éléments, comme par exemple R ou le groupe fondamental d’une variété topologique (voir plus bas), mais Klein a su ramener l’étude des groupes simples finis à des problèmes de géométrie. Ainsi

• le groupe des rotations sur un espace vectoriel fini (de dimension finie sur un corps fini) est simple,
• le groupe des transformations symplectiques sur un espace fini est simple,
• le groupe des transformations unitaires sur un espace fini doté d’une conjugaison est simple,
• le groupe des homographies d’un espace projectif fini est simple,

et dans les cas où l’une des affirmations ci-dessus est fausse, c’est le quotient par le centre qui est simple.

En dehors des groupes de permutations, on ne connaissait pas d’autres groupes simples non commutatifs finis, que ceux décrit ci-dessus, et on doutait qu’il en existât... jusqu’à ce qu’en 1873 Émile Mathieu publie un article titré Sur la fonction cinq fois transitive de 24 quantités où il décrit des groupes simples ne faisant partie d’aucune des catégories décrites ci-dessus.

Sophus Lie, quant à lui, a étudié les groupes de Lie, qui sont continus. La physique théorique étudie beaucoup les groupes de Lie, et le besoin s’est vite fait sentir, de classer ces groupes. De fait, la classification des groupes de Lie simples ressemble beaucoup à celle des groupes finis simples, du moins au début (rotations etc.).

Mais un phénomène similaire à la découverte des groupes de Mathieu apparaît à la fin des années 1920, où Pascual Jordan, dans le cadre de recherches en mécanique quantique, découvre des groupes de Lie qui ne font partie d’aucune classe de groupes jusque là connue. Ce sont les groupes exceptionnels de Jordan, nommés respectivement E₆, E₇, E₈, F₄ et G₂.

Ces groupes ont permis à Claude Chevalley de construire d’autres familles infinies de groupes simples finis, les groupes de Chevalley, au milieu du XX^e siècle. La question s’est posée alors de savoir s’il pouvait éventuellement y avoir d’autres groupes simples que ceux jusqu’alors connus :

• les groupes de rotations etc sur des espaces finis,
• les groupes de Chevalley
• et des groupes apparaissant sporadiquement comme ceux de Matthieu.

En 1963, Walter Feit et John Griggs Thompson montrent le résultat suivant :

Le nombre d’éléments d’un groupe simple fini est pair.

Ce résultat est appelé théorème géant à cause de la longueur de sa preuve. Initialement longue de 250 pages mais avec de nombreuses références à des théorèmes peu connus disséminés dans toute la littérature sur les groupes, il a été dit à l’époque que moins de 10 personnes au monde étaient capables de vérifier cette preuve. Le théorème a donc statut de théorème par la confiance que l’on a envers ses démonstrateurs.

Pourtant ce théorème a une implication importante : il permet de déduire qu’il n’y a pas d’autre classe infinie de groupes simples, que ceux déjà connus. La classification des groupes simples ne demandait plus que la découverte des derniers groupes sporadiques et la preuve qu’il n’y en a pas d’autres.

Le plus grand des groupes sporadiques est le groupe Monstre, construit au début des années 1980. Il y a donc 26 groupes simples sporadiques, mais sous réserve que le théorème de Feit-Thompson soit vrai ! La quête d’une preuve abordable par un humain, de ce théorème, est toujours en cours...

En 2012, l’équipe de Georges Gonthier à l’X a réussi à montrer le théorème Géant avec le logiciel Rocq. Mais de 1963 à 2012, restait un sentiment de malaise face à un théorème admis mais invérifiable. Cela a préparé le terrain à l’histoire suivante.

Une carte est un partitionnement du plan en composantes connexes, deux d’entre elles ayant soit une frontière commune formée d’une courbe (ici droite), soit aucune frontière commune :

En fait, les cartes sont des représentations duales de graphes planaires (c’est-à-dire dont deux arêtes ne se croisent pas). Une coloration propre d’une carte est une coloration de chaque composante connexe telle que deux composantes connexes ayant une frontière commune ne soient pas de la même couleur. Par exemple la carte ci-dessus peut être coloriée proprement ainsi (il y a d’autres manières) :

On constate que dans l’onglet précédent, seules 4 couleurs ont été nécessaires pour colorier la carte : rouge, jaune, vert et bleu. Ce phénomène est général.

Dans les années 1840, Francis Guthrie s’intéressait à la cartographie. Il voulait que deux comtés anglais ayant une frontière commune ne soient pas de la même couleur, et il a réussi à faire cette coloration avec seulement 4 crayons. Intrigué par ce phénomène, il a contacté des cartographes et leur a demandé si cela avait déjà été prouvé. Leur réponse négative l’a alors mené vers Auguste De Morgan qui avait été son professeur. Celui-ci, pour qui le problème est nouveau, écrit alors une lettre à son ami William Rowan Hamilton, le 23 octobre 1852. Il lui décrit le problème, en donnant ce célèbre contre-exemple (3 couleurs ne suffisent pas toujours) :

Hamilton va lui-même en parler à son ami Arthur Cayley, qui communique dans les années 1870 sur ce problème, alors considéré comme une conjecture.

Le premier à démontrer la conjecture des 4 couleurs est Alfred Kempe en 1879. Kempe utilise des sous-graphes appelés encore aujourd’hui chaînes de Kempe. La conjecture des 4 couleurs, devenue théorème des 4 couleurs, rend Kempe célèbre (il l’est aussi pour des travaux en cinématique : toute courbe algébrique peut être dessinée par un système de bras articulés).

Mais en 1890, Percy John Heawood trouve une faille dans la preuve de Kempe, et le théorème des 4 couleurs redevient la conjecture des 4 couleurs en 1891 (voir plus bas). Au passage, Heawood prouve le théorème des cinq couleurs : il est possible de colorier une carte avec seulement 5 crayons. Mais sa preuve ne peut aisément être étendue au cas de 4 couleurs...

Le second à démontrer la conjecture des 4 couleurs est Peter Guthrie Tait en 1880. Mais en 1891, Julius Petersen trouve une faille dans la preuve de Tait, et ce théorème que Lucas croyait prouvé de deux manières différentes, redevient une conjecture.

En 1929, André Sainte-Lagüe publie un résumé de la situation sur les 4 couleurs au début du XX^e siècle, on y trouve de jolies cartes comme celle-ci, appelée graphe d’Errera :

Dans les années 1960, Heinrich Heesch propose un programme consistant à classer les configurations possibles, et montrer que chacune d’entre elles peut être coloriée en 4 couleurs sans interférer avec le coloriage déjà effectué. Las, rien que pour trouver les configurations possibles, il est nécessaire de faire appel à un ordinateur, et même, un des plus puissants de l’époque.

Parmi les collaborateurs de Heesch, se trouve Wolfgang Haken, topologiste, qui cherche un accès à un superordinateur pour chercher ces configurations. Mais c’est surtout avec Kenneth Appel que Haken fignole le travail, en établissant qu’il y a 1478 configurations à étudier, puis en les résolvant l’une après l’autre. Appel sous-traite à ses enfants une partie du travail, mais l’essentiel est fait sur un ordinateur.

Le théorème des quatre couleurs (publié en 1976) est célèbre dans l’histoire des sciences parce qu’il est le premier à avoir été prouvé à l’aide d’un ordinateur sans avoir été préalablement prouvé autrement. D’ailleurs on ne connaît en 2025 aucune preuve de ce théorème qui soit lisible par un humain.

Il faut donc faire confiance à la machine qui a établi la preuve : si elle dit qu’il y a 1478 configurations c’est que ça doit être vrai, et si elle trouve que chacune est coloriable en 4 couleurs c’est que ça doit être vrai.

Puisqu’il faut faire confiance à l’ordinateur pour des preuves invérifiables par l’humain, on peut quand même vérifier l’algorithme et sa programmation sur l’ordinateur. Le logiciel Rocq (anciennement Coq) sert justement à prouver des propriétés (comme l’absence de certains bugs) d’algorithmes. Ce logiciel est développé par l’INRIA mais avec le soutien de l’X, où enseigne Georges Gonthier, qui, avec le soutien de ses élèves, a développé en Coq une preuve du théorème des 4 couleurs. Douter de cette preuve, serait douter du logiciel Coq, et peu de chercheurs osent faire ce pas.

Il n’en reste pas moins que personne n’a prouvé qu’il n’existe pas de preuve plus simple de ce théorème...

La sphère (de dimension 2) est l’ensemble des points à distance donnée de son centre. C’est une surface, mais le concept peut être généralisé :

• la sphère S0 est formée de deux points (le milieu des deux points est le centre de la sphère),
• la sphère S1 est un cercle,
• la sphère S2 est celle qu’on connaît,
• la sphère S3 est un espace de dimension 3 mais fini et courbé... dans la quatrième dimension,
• il y a une sphère de dimension 4, encore plus difficile à imaginer, etc.

Sur la sphère S2 (par exemple la surface terrestre), une fois qu’on a commencé à suivre un chemin, il est toujours possible de revenir au point de départ sans nécessairement faire demi-tour : on peut faire quelques virages, voire continuer tout droit durant 40000km auquel cas on est forcément de retour ! Ce phénomène (que Poincaré verbalise en la sphère est contractile) est magnifiquement illustré par cette énigme de Raymond Smullyan :

Un chasseur quitte son campement et court 100 mètres plein sud à la poursuite d’un ours. Puis il court durant 100 autres mètres vers l’est, et s’arrête. Là, il voit l’ours sur son campement, tire et abat l’ours. Quelle est la couleur de l’ours ?

La solution de Nicolas Patrois montre assez bien le caractère contractile de la sphère.

Plus généralement Poincaré appelle lacet un chemin qui revient à son point de départ, puis identifie deux lacets si on peut passer continument de l’un à l’autre (par exemple si on pose un élastique sur un des lacets, on peut tendre ou détendre l’élastique pour arriver à l’autre lacet). Sur ces classes d’équivalence de lacets, Poincaré définit alors une structure de groupe (l’opération est le parcours d’un lacet puis de l’autre) appelé groupe fondamental de la sphère. Que la sphère est contractile, signifie que son groupe fondamental est réduit au lacet nul (celui consistant à rester sur place, conformément au principe du wu wei).

Poincaré a prouvé que toute surface contractile, orientée et sans bord, est une version déformée de S2. Il a alors posé la question suivante :

Est-il vrai que tout volume contractile, orienté et sans bord, est une version déformée de S3 ?

C’est la fameuse conjecture de Poincaré, émise au début du XX^e siècle et prouvée près d’un siècle plus tard.

Au début des années 1960, Stephen Smale essaye, avec un relatif succès, une approche un peu surprenante : il cherche à prouver, non seulement la conjecture de Poincaré pour S3, mais aussi sa généralisation à toutes dimensions.

• En 1961, Smale prouve la conjecture généralisée pour les sphères de dimension au moins 7.
• La même année, Zeeman prouve la conjecture pour les sphères de dimension 5.
• En 1962, Stallings prouve la conjecture pour les sphères de dimension 6.
• Dans les années suivantes, Smale étend sa preuve à toutes les dimensions valant au moins 5.

Il ne reste alors que deux cas non résolus : la dimension 3 (conjecturée par Poincaré), et la dimension 4.

Dans les années 1970, William Thurston s’attaque à la dimension 3. Il comprend pourquoi la conjecture est difficile à prouver : il y a beaucoup de géométries possibles en dimension 3 (on constate que Thurston utilise la géométrie pour tenter de résoudre un problème de topologie). En dimension 2, il n’y a que 3 géométries (elliptique, euclidienne et hyperbolique). En dimension 3, il y a :

• la géométrie sphérique (celle de S3),
• la géométrie euclidienne,
• la géométrie hyperbolique (la plus riche, voir plus bas),
• la géométrie d’une généralisation tridimensionnelle du cylindre,
• la géométrie d’une généralisation tridimensionnelle d’un hyperboloïde,
• la géométrie d’une généralisation tridimensionnelle du plan hyperbolique,
• une géométrie liée à un groupe de Lie exceptionnel (voir plus haut) appelé E2,
• une géométrie venant d’un système dynamique chaotique.

Les espaces de dimension 3 ayant une géométrie sphérique sont classés : ce sont les espaces lenticulaires. Les espaces ayant une géométrie hyperbolique sont en cours de classement. Dans les années 1980, un étudiant de Thurston, Jeffrey Weeks, s’y attaque.

En 1986, Michael Freedman prouve la conjecture de Poincaré en dimension 4, et il ne reste alors que la conjecture originale en dimension 3, à prouver. C’est ce qui va motiver les efforts de Weeks, même s’il cherche avant tout à appliquer ces recherches à la cosmologie.

Thurston et Weeks constatent que, si on enlève à la sphère S3 (qui est un volume) un nœud (mathématiques), on obtient un espace de dimension 3 dont la géométrie reste à étudier. De la même manière qu’un plan hyperbolique (par exemple le disque de Poincaré) peut être pavé par des triangles hyperboliques, un espace hyperbolique tridimensionnel peut être pavé par des tétraèdres hyperboliques.

C’est ici que l’ordinateur intervient : pour classer les nœuds hyperboliques (c’est-à-dire ceux dont le complément est muni d’une géométrie hyperbolique), il est nécessaire de calculer certains de leurs invariants, comme le polynôme de Jones ou le volume du tétraèdre fondamental. Pour cela, Jeffrey Weeks développe des logiciels dont certains pour les enfants. On y trouve notamment

• un simulateur de jeu vidéo pour naviguer dans des espaces lenticulaires ou hyperboliques,
• une application de pavage d’ailleurs promue par une collaboratrice de cette revue !
• un logiciel de théorie des nœuds appelé initialement SnapPea puis SnapPy (à cause de Python)...

Ce dernier a inspiré la programmation d’un logiciel plus général, regina, destiné (entre autres) à calculer des invariants permettant de savoir si un espace de dimension 3 est, ou non, une sphère S3, et, le cas échéant, d’infirmer la conjecture de Poincaré.

Cette partie du projet échoue au début du XXI^e siècle, lorsque la conjecture de Poincaré en dimension 3 a été prouvée.

Un site web est consacré à des articles scientifiques non soumis (ou refusés) à des revues scientifiques avec referees. Ce site, appelé arxiv.org, est peuplé de joyeusetés comme la démonstration topologique du théorème des nombres premiers jumeaux et autres farces du même acabit. Aussi, lorsque j’y ai aperçu cet article sur les flots de Ricci, je n’ai pas mesuré l’importance du résultat. Grigori Perelman y suit l’idée de Richard S. Hamilton, consistant à étudier la topologie des espaces de dimension 3 par la physique théorique. Il faut dire qu’entre-temps la conjecture de Poincaré a été classée parmi les 7 problèmes du prix du millénaire à un million de dollars chacun (voir plus haut la conjecture de Birch et Swynnerton-Dyer, également parmi ces 7 problèmes).

Dans les années suivantes,

• Perelman est devenu célèbre pour avoir vaincu la conjecture de Poincaré,
• puis encore plus célèbre en recevant la médaille Fields en 2006,
• puis encore plus célèbre en refusant ladite médaille,
• puis encore plus célèbre comme l’unique chercheur à avoir reçu le million de dollars de la fondation Clay à ce jour (il a résolu un des 7 problèmes),
• et encore plus célèbre en refusant ce million de dollars.

Perelman ne semble apprécier, ni la célébrité, ni la richesse, dont il pense qu’elles sont génératrices de malheur, surtout dans la Russie de Vladimir Poutine et des oligarques.

Ainsi, ni Thurston, ni Weeks n’ont prouvé la conjecture de Poincaré, mais leurs travaux ont néanmoins produit des résultats, comme par exemple le plus petit volume d’un tétraèdre fondamental en géométrie hyperbolique, qui est légèrement inférieur à 1.

Chaque carte du jeu dobble possède exactement 8 symboles :

et si on prend deux cartes différentes, il y a exactement un symbole qui leur est commun. Pour vérifier cette propriété, il faut 57 cartes (deux ont été enlevées dans dobble) : On dit que sur un ensemble ayant 57 éléments, il y a une structure de plan projectif. Un plan projectif arguésien possède n² points à distance finie plus n+1 points sur une droite à l’infini, ce qui donne des nombres de points possibles pour des plans projectifs :

• 2²+2+1=7 points pour le plan de Fano,
• 3²+3+1=13 points pour l’ordre 3,
• 4²+4+1=21 points à l’ordre 4,
• 5²+5+1=31 points à l’ordre 5 (cas du dobble junior à 6 symboles par carte),
• 6²+6+1=43 points à l’ordre 6,
• 7²+7+1=57 points à l’ordre 7 (cas du dobble à 8 symboles par carte),
• 8²+8+1=73 points à l’ordre 8,
• 9²+9+1=91 points à l’ordre 9,
• 10²+10+1=111 points à l’ordre 10,

etc. La question est de savoir, pour chaque valeur de n, s’il existe une structure de plan projectif ayant n²+n+1 points.

Gino Fano a démarré ses recherches sur la géométrie projective dès 1892, avec notamment la découverte d’un espace projectif ayant 15 points : les 8 sommets d’un cube, et 7 points à l’infini, formant le plan à l’infini de 7 points, appelé aujourd’hui encore le plan de Fano, que voici (le cercle est une des 7 droites projectives) :

La numérotation des 7 points n’est pas anodine : trois numéros sont alignés (ou cocycliques ci-dessus) si et seulement si chacun d’eux est la nim-somme des deux autres. Ce plan de Fano peut donc être considéré comme un résumé de la stratégie gagnante au jeu de Nim. Par exemple, avec respectivement, deux, trois et cinq jetons, on commence par calculer la valeur actuelle du jeu :

• 2 plus 3 égale 1, comme on le voit en cherchant le troisième point de la droite (ici, le cercle) passant par 2 et 3 ;
• puis 1 plus 5 égale 4, comme on le voit en cherchant le troisième point de la droite passant par 1 et 5.

Comme 4 est différent de zéro (autrement dit, les points 2, 3 et 5 ne sont ni alignés ni cocycliques), on peut gagner en cherchant à annuler la nim-somme, c’est-à-dire en remplaçant un des points par un autre, plus petit que lui, et qui soit aligné avec les deux autres. Ici comme 5 est plus grand que 1 qui est aligné avec 2 et 3, on enlève 4 jetons de la pile de 5 pour arriver à la configuration deux, trois et un jeton qui est perdante pour l’adversaire.

En fait, la construction du plan de Fano utilise le fait qu’il existe une structure de corps sur l’ensemble à deux éléments Z/2Z : on assimile tout sommet du cube (espace vectoriel de dimension 3 sur Z/2Z) autre que l’origine à la droite le joignant à l’origine, ce qui donne 8-1=7 points.

Comme il existe une structure de corps sur Z/3Z, on peut faire pareil : le cube a 27 points, soit 26 autres que l’origine, et chaque droite passant par l’origine contient deux autres points, ce qui donne une structure de plan projectif à 26:2=13 points. En fait cette structure est la configuration hessienne, connue depuis 1844 avec une publication d’Otto Hesse.

De même, il y a une structure de corps à 4 éléments, ce qui permet de construire un plan projectif ayant (4³-1)(4-1)=63/3=21 points.

Il existe également une structure de corps sur Z/5Z donc il existe un plan projectif d’ordre 5, d’ailleurs utilisé par le dobble junior (6 symboles par carte).

Comme 6 n’est ni un nombre premier, ni une puissance de nombre premier, il n’y a pas de moyen simple de trouver un éventuel plan projectif d’ordre 6 : il n’existe pas de corps à 6 éléments.

Mais de là à prouver la non existence d’un plan projectif à 43 points, il reste un fossé à franchir. Ce fossé a été franchi en 1949 avec le théorème de Bruck-Ryser-Chowla : pour n congru à 1 ou 2 modulo 4, il ne peut y avoir de plan projectif d’ordre n que si n est somme de deux carrés.

Or 6 et 14 ne sont pas sommes de deux carrés, donc il n’existe pas de plan projectif d’ordre 6 ou 14.

Ensuite viennent 7 (nombre premier, à l’origine du dobble), 8 (cube d’un nombre premier), 9 (carré d’un nombre premier) et 10 qui est congru à 2 modulo 4 mais qui est somme de deux carrés (3²+1²=9+1=10). La question se pose alors de savoir s’il existe un plan projectif d’ordre 10.

On connaît depuis 1971 trois structures de plan projectif non arguésien d’ordre 9 (Room et Kirkpatrick), en plus de celle sur le corps à 9 éléments. Mais qu’en est-il de l’ordre 10 ?

En 1983 Cedric Lam résout un sous-problème, lié à la théorie des codes correcteurs d’erreur, sur un VAX-11. La durée du calcul est 183 jours ! La suite a été faite sur un ordinateur Cray, en plusieurs milliers d’heures. La conclusion est la suivante :

Théorème : Il n’existe pas de plan projectif d’ordre 10.

En 2001, Curtis et al ont reprouvé ce théorème, à l’aide d’un réseau de processeurs tournant à 2 GHz, en 1832 heures de calcul.

Le fait qu’on ne connaisse pas de preuve suffisamment simple de ce résultat pour être vérifiable sans ordinateur, ne signifie pas qu’il y n’y en a pas. Mais pour l’instant l’ordinateur (et même une grande puissance de calcul) a été nécessaire pour établir ce résultat.

Ensuite, il y a l’ordre 11 (qui est premier), donc on sait qu’il existe un plan projectif de 11²+11+1=133 points, puis l’ordre 12 (qui n’est congru ni à 1, ni à 2, modulo 4) est, à l’heure actuelle, le plus petit sur lequel on ne connaît pas la réponse : existe-t-il un plan projectif ayant 12²+12+1=157 points ?. Pour prouver que non, des moyens informatiques bien plus puissants qu’un Cray risquent de s’avérer nécessaires !

Noter qu’ensuite, il y a l’ordre 14 (réponse négative), puis 15 (absence de réponse), puis 16 etc, avec beaucoup de plans projectifs mais bien loin de l’exhaustivité.