1. Le CREM et le logiciel Apprenti Géomètre mobile

  1.1. Le CREM

Le CREM, Centre de Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques (Belgique), s’est constitué comme association sans but lucratif, en 1992, suite au rapport de la « Commission scientifique sur l’Enseignement des Mathématiques ».

Les recherches du CREM s’inscrivent dans la perspective selon laquelle l’éducation mathématique forme un tout de la prime enfance à l’âge adulte. Elles se font dans le souci d’aider les élèves et les enseignants dans leurs difficultés réelles, et de lutter contre l’échec en propageant le goût des mathématiques.

Elles comportent des expérimentations dans des classes et aboutissent à des publications, en particulier de documents pour élèves et professeurs, qui sont diffusés le plus largement possible, notamment lors des formations continues, des présentations dans des congrès en Belgique et à l’étranger et via le site internet crem.be.

  1.2. Le logiciel Apprenti Géomètre et sa version mobile

Le logiciel Apprenti Géomètre a été conçu en 2004 à la demande du ministre de l’enfance de l’époque, qui souhaitait un logiciel de géométrie particulièrement adapté à l’enseignement fondamental. Il a connu différentes adaptations ultérieures pour une utilisation dans l’enseignement secondaire. Il y a quelque temps, le CREM a commencé à mettre au point une version mobile. Le travail est actuellement suffisamment abouti pour mettre les quatre interfaces à disposition des enseignants et de leurs élèves. Apprenti Géomètre mobile est libre d’accès et disponible à l’adresse https://ag.crem.be/. La version mobile fonctionne sur tous les supports numériques : ordinateur, tablette et téléphone, mais la manipulation des formes géométriques peut être ardue avec un écran trop petit, comme celui d’un téléphone. La version mobile est disponible pour tous les systèmes d’exploitation.

La mise en place d’une version mobile d’Apprenti Géomètre répond à la nécessité de s’adapter au terrain. En effet, si les enseignants n’ont pas facilement accès à des salles informatiques, les écoles sont en revanche de mieux en mieux équipées en tablettes. Cette nouvelle version destinée à une utilisation tactile est particulièrement adaptée aux enfants de l’école primaire.

Fig. 1 : Interfaces du logiciel

Apprenti Géomètre constitue un environnement informatique particulier où l’utilisateur, enseignant ou élève, se trouve dans une situation de grande autonomie [1]. Il permet notamment de travailler les mathématiques élémentaires, non seulement la géométrie euclidienne mais également des concepts tels que grandeurs, fractions, mesures ou arithmétique. C’est la raison pour laquelle cette version mobile propose plusieurs interfaces (figure 1).

 2. La séquence d’apprentissage

La séquence d’apprentissage sur la comparaison d’aires se déroule entièrement dans l’environnement « Grandeurs ». Cet environnement a été programmé spécifiquement pour créer un milieu contraint [2] dans lequel seuls certains outils de construction sont disponibles. Les choix didactiques effectués visent à amener l’apprenant à développer des stratégies qui mettent en œuvre les concepts de rapports de longueurs et d’aires, indépendamment de la mesure. Dans l’environnement « Grandeurs », les figures disponibles gardent toujours les mêmes rapports de longueurs entre elles, un point ne peut être construit sur un côté d’une figure que comme point de subdivision de ce côté, le seul point disponible à l’intérieur d’une figure est son centre.

Cette séquence d’apprentissage a été très largement testée en 2023 dans une trentaine de classes de la région wallonne, de la troisième primaire (CM1) à la sixième (qui correspond à la sixième du collège en France). L’équipe a ainsi été confrontée à des élèves de niveaux et d’acquis assez différents. La séquence combine différents modules disponibles sur le site spécifiquement dédié à Apprenti Géomètre mobile https://agmobile.crem.be/. Celle-ci introduit ou réactive la notion d’aire (selon le niveau des classes où elle est utilisée) et s’appuie sur les rapports d’aires pour introduire des écritures fractionnaires. En fin de primaire, les premiers modules ont servi à réactiver la notion d’aire tout en s’appropriant le logiciel et son fonctionnement. Les élèves ont découvert des stratégies de comparaison d’aires sans mesure tout au long de la séquence d’apprentissage. Les activités ont amené dans un premier temps les élèves à utiliser les termes de comparaison (plus grand, plus petit, égal). Dans un deuxième temps, les rapports d’aires ont été sollicités afin d’introduire les fractions. Finalement, les élèves ont investi ces stratégies pour installer les notions de fractions équivalentes et les opérations sur les fractions.

Ce qui suit présente tout à la fois la séquence d’apprentissage et les réactions des élèves lors des expérimentations.

 3. Comparaisons d’aires

La première fiche propose aux élèves de s’intéresser à la comparaison de deux figures. Les fichiers Apprenti Géomètre sont disponibles en ligne en suivant « Réactivation » puis « Comparer deux figures ». Les activités décrites sont accessibles sur cette page.

Fiche 1.
Y a-t-il une figure plus grande que l’autre ? Explique comment tu as procédé pour le vérifier.

Pour répondre à cette question volontairement peu explicite, les élèves partent dans diverses directions. Certains comparent les hauteurs, d’autres les largeurs, d’autres encore les aires… L’important est de faire émerger du vocabulaire et d’en arriver à l’importance de préciser le terme « grand ». Cette activité ayant été présentée aux élèves comme activité de découverte d’Apprenti Géomètre mobile, plusieurs ont demandé des règles graduées avant de se rendre compte que le logiciel permettait de comparer autrement que via la mesure.

Les élèves sont très créatifs dans leurs justifications. L’un a fait remarquer que « la base du triangle peut être superposée sur la longueur du rectangle ». Sur base d’un autre agencement des figures, un élève a observé que « et ils ont même hauteur aussi » et que « il reste des parties ». Un élève a pour sa part utilisé un carré pour montrer que le rectangle occupait la moitié et le triangle moins de place que cette moitié (figure 2).

Fig. 2 : Représentations d’élèves pour répondre à la question

Toutes les propositions permettant de répondre à la question de départ volontairement imprécise, on s’accorde avec les élèves pour préciser la question pour la suite de l’activité et pour s’intéresser dorénavant à la comparaison des aires des figures.

Avant cette mise au point, cette question assez vague a permis de repérer les élèves qui comparent spontanément les aires et ceux qui comparent des longueurs, largeurs ou hauteurs.

La suite de l’activité s’intéresse à comparer les aires, dans un premier temps, par superpositions ou juxtapositions.

Voici les deux figures auxquelles on propose de s’intéresser dans la deuxième fiche.

Fiche 2.
Y a-t-il un carré qui a une aire plus grande que celle de l’autre ? Explique comment tu as procédé.

Il suffit de faire tourner l’un des deux carrés pour observer qu’ils se superposent parfaitement. Pourtant, plusieurs propositions d’élèves ont émergé dont l’une incorrecte. Sur base de la figure 3, l’élève a soutenu que la figure foncée était « plus grande car elle dépasse ». C’était sans remarquer que le carré clair dépassait également…

Certains élèves se sont raccrochés à la mesure en utilisant l’outil « grille » du logiciel (figure 4). Ils ont ainsi vérifié que les carrés avaient tous deux un côté de deux unités de longueur.

Fig. 3 : Glissement d’un carré sur l’autre

Fig. 4 : Utilisation de la grille

La fiche suivante complexifie la comparaison au vu du placement initial des figures.

Fiche 3.
Y a-t-il un triangle qui a une aire plus grande que celle de l’autre ? Explique comment tu as procédé.

La figure 5 illustre différents essais des élèves. Seul le dernier agencement des triangles convainc parfaitement tous les élèves.

Fig. 5 : Agencements des deux triangles

Certains élèves aiment revenir à leurs formules si rassurantes en utilisant à nouveau une grille pour vérifier l’égalité des longueurs de base et comparer la hauteur des triangles (figure 6).

Fig. 6 : Utilisation de la grille triangulée pour comparer les triangles

Tout ce travail se déroulant uniquement sur l’ordinateur, un espace est réservé sur les fiches élèves pour y garder une trace des manipulations réalisées à l’écran. La figure 7 en donne un exemple.

Fig. 7 : Trace des manipulations d’une élève à l’écran

On institutionnalise alors sur le fait que si une figure est complètement incluse dans une autre, son aire est plus petite.

La fiche proposée par la suite rend les manipulations sur Apprenti Géomètre mobile plus complexes, mais a amené à une richesse de stratégies de la part des enfants. Cette comparaison leur a donné du fil à retordre afin d’intégrer entièrement l’un des parallélogrammes dans l’autre.

Fiche 4.
Y a-t-il un parallélogramme qui a une aire plus grande que celle de l’autre ?
Explique comment tu as procédé.

La figure 8 présente plusieurs configurations proposées par les élèves. La première figure à gauche n’a pas suffi pour affirmer qu’un parallélogramme était de plus grande aire. La suivante a permis à un élève de sixième primaire de répondre à la question car il a observé que, pour une même hauteur, une des bases était plus petite. En retournant le parallélogramme clair comme dans la troisième figure, on arrive à superposer les deux parallélogrammes, ce qui permet de répondre à la question sans même faire intervenir la connaissance de formules. La dernière illustration à droite permet d’atteindre cette même conclusion, après différents essais et découpes d’un parallélogramme.

Fig. 8 : Configurations proposées par les élèves pour comparer les parallélogrammes

Pour certains élèves, on retrouve de nouveau l’utilisation rassurante de la grille pointée (figure 9).

Fig. 9 : Grille pointée pour comparer les parallélogrammes

Et, lorsque la grille n’est pas utilisée, des élèves utilisent d’autres outils afin de visualiser clairement la différence de hauteurs des parallélogrammes, comme sur la figure 10.

Fig. 10 : Comparaison des hauteurs

Fiche 5.
Y a-t-il un rectangle qui a une aire plus grande que celle de l’autre ?
Explique comment tu as procédé.

La comparaison de ces deux rectangles nécessite au moins un découpage : soit on découpe horizontalement le rectangle de gauche pour superposer les deux moitiés au rectangle de droite, soit on découpe verticalement le rectangle de droite pour superposer les deux moitiés au rectangle de gauche.

Fig. 11 : Découpage et superposition

Une dernière fiche propose de comparer un carré et un losange.

Fiche 6.
Y a-t-il une figure qui a une aire plus grande que celle de l’autre ?
Explique comment tu as procédé.

Ici non plus, une simple superposition ne permet pas de voir quelle figure a l’aire la plus grande (figure 12).

Fig. 12 : Superposition des figures

Grâce à une superposition judicieuse suivie de plusieurs découpes, on peut se convaincre de l’égalité des aires. La figure 13 en est une illustration, mais d’autres découpages sont apparus lors des expérimentations. On institutionnalise alors le fait que si deux figures sont composées des mêmes « morceaux », elles sont de même aire.

Fig. 13 : Découpes jusqu’à la superposition

Tout ce travail de comparaison d’aires est mené notamment afin d’avoir les démarches et outils appropriés pour comparer les aires de figures particulières. La suite de la séquence s’intéresse en effet aux rapports d’aires qui existent entre les figures de la fiche 6.

 4. Rapports d’aires

Fiche 7.
De combien de triangles équilatéraux as-tu besoin pour paver les figures de droite ?
Écris ci-dessous, pour chaque ligne, ton estimation.
Sur le logiciel, vérifie ton estimation en effectuant le pavage des figures de droite à partir de copies
du triangle équilatéral. Note ensuite ta réponse.

Si les élèves rencontrent la notion de pavage pour la première fois, une brève mise au point s’avère nécessaire. Dans un pavage, la figure à paver doit être exactement recouverte par les « pavés » sans que ceux-ci ne se chevauchent. Deux autres fiches similaires sont proposées : l’une dans laquelle le triangle équilatéral est remplacé par le triangle isocèle de la même famille, l’autre où il est remplacé par le triangle rectangle de cette même famille (voir les triangles en question dans le tableau ci-dessous). Pour chacune d’elles, il est possible de compléter les deux tableaux suivants, après la manipulation des figures sur le logiciel (copies de figures, glissements, rotations ou retournements).

Dans le premier tableau, les élèves synthétisent le nombre d’exemplaires de figures pleines dont ils ont eu besoin pour paver les figures vides.

Pour remplir le deuxième tableau, ils déduisent un rapport d’aire entre chaque couple de figures.

Tout en restant dans le domaine des grandeurs (et non des mesures) on amène les élèves à effectuer des comparaisons sous forme de nombres. Cette réflexion menée pas à pas amène les élèves à tisser des liens entre les différents rapports d’aires.

Certains pavages se révèlent fastidieux et délicats. Par exemple, il faut 18 triangles isocèles pour paver l’hexagone. Une solution pour travailler de manière plus efficace est de repérer des groupements. Par exemple, les élèves pourraient reconstruire le triangle équilatéral avec trois triangles isocèles, en faire un groupe en utilisant l’outil « Grouper » et les copier ensuite en une fois pour paver les autres figures. De là, des élèves visualisent d’autres régularités et peuvent effectuer des groupes de groupes pour faciliter le pavage des figures d’aires plus grandes. Par exemple, il faut deux trapèzes pour paver un hexagone (figure 14).

Fig. 14 : Groupements de triangles pour faciliter le dénombrement

Ces observations font émerger des stratégies pour remplir les tableaux plus rapidement. Ces tableaux de nombres qui en résultent et leur structure sont ainsi eux-mêmes porteurs de nouveaux apprentissages. Les rapports inverses sont clairement illustrés, mais des rapports de proportionnalité peuvent également être travaillés à travers cette activité.

 5. En guise de conclusion…

Ces séquences illustrent les propos que Nicolas Rouche tenait déjà en 1994 :

[…] il faut enseigner les grandeurs dans les écoles maternelles et primaires. […] Il faut faire vivre et comprendre aux élèves l’essentiel des phénomènes familiers liés à la comparaison de deux grandeurs de même espèce, à l’addition des grandeurs, à leur multiplication et leur division par un nombre naturel. Ces phénomènes sont plus nombreux qu’on le croirait de prime abord. [3]

Pour en savoir plus

• Brousseau, G., Le contrat didactique : le milieu. Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 9, n° 3, pp. 309–336. 1988.
• CREM, Apprenti Géomètre, Grandeurs, fractions et mesures. Nivelles, CREM. 2003.
• CREM, Impact du logiciel « Apprenti Géomètre » sur certains apprentissages. Nivelles, CREM. 2007.
• CREM, L’apprentissage et l’enseignement des nombres décimaux. Nivelles, CREM. 2010.
• CREM, Apprenti Géomètre mobile (ressource en ligne). https://ag.crem.be/. 2023.
• Papert, S., Mindstorms : children, computer and powerful ideas. ISBN 978-0465046744.1993.
• Rouche, N., Qu’est-ce qu’une grandeur ? Analyse d’un seuil épistémologique. Repères-IREM, n°15, pp. 25–36. 1994.
• Rouche, N., Du quotidien aux mathématiques (1). Nombres, grandeurs, proportions. Paris, Ellipses. 2006

Marie-France Guissard, Valérie Henry et Pauline Lambrecht coordonnent avec Marie-Françoise Van Troeye les recherches du CREM liées au logiciel Apprenti Géomètre mobile.