import matplotlib.pyplot as plt  

def f(x):
    '''la fonction qu'on veut representer'''
    return(x**2/2 - 3*x/2 + 2)

def graphe(f,a,b,N):
    '''trace le graphe de la fonction f entre a et b avec N segments'''
    lx = [a+i*(b-a)/N for i in range(N+1)]
    ly = [f(x) for x in lx]
    return(plt.plot(lx,ly,'m',label ="$f$"))

def suite_rec(f,u0,a,b,N):
    '''dessine sur [a,b] la suite des segments reliant les points qui 
    representent la suite u_{n+1}=f(u_n) partant de u0 avec N termes'''
    u,v = u0,0
    # on crée les listes des abscisses et ordonnées des segments
    lx = [u] ; ly = [v]
   v = f(u) ; lx.append(u) ; ly.append(v) # premier segment vertical
    for i in range(N):
        u = v ; lx.append(u) ; ly.append(u) # segment horizontal
        v = f(u) ; lx.append(u) ; ly.append(v) # segment vertical
    plt.plot(lx,ly,'r',label = "$u_{n+1} =f(u_n)$")
    # on trace la droite d'équation y = x
    plt.plot([a,b],[a,b],'b',label = "$y=x$")
    #on trace le graphe de f sur le même intervalle
    graphe(f,a,b,30)
    plt.legend(loc='upper left') # ces legendes doivent avoir ete creees (option 'label' de plot)
    plt.title("$u_{0} = $ "+str(u0)+",   $N = $"+str(N))
    # on ajoute les axes
    plt.axhline(color = 'k')
    plt.axvline(color='k')
    # et une grille 
    plt.grid()
    # on affiche !
    plt.show()