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\title{Exercice sur les Nombres Complexes}
\author{}
\date{}

\begin{document}

\maketitle

\section*{Énoncé}

Soit $A$, $B$ et $C$ trois points d'affixes respectives :
\[
    z_A = 9 + 2i, \quad z_B = 3 - i, \quad z_C = -1 - 3i.
\]

\begin{enumerate}
    \item Déterminer la forme algébrique de \( k = \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \).
    \item En déduire un argument de $k$.
    \item Que peut-on en déduire ?
\end{enumerate}

\section*{Correction}

\begin{enumerate}
    \item \textbf{Forme algébrique de \( k \)}
    \[
    z_C - z_A = (-1 - 3i) - (9 + 2i) = -10 - 5i.
    \]
    \[
    z_B - z_A = (3 - i) - (9 + 2i) = -6 - 3i.
    \]
    \[
    k = \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \frac{-10 - 5i}{-6 - 3i}.
    \]
    
    On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué de $-6 - 3i$ :
    \[
    k = \frac{(-10 - 5i)(-6 + 3i)}{(-6 - 3i)(-6 + 3i)}.
    \]
    \[
    (-6 - 3i)(-6 + 3i) = 36 - (-9i^2) = 36 + 9 = 45.
    \]
    \[
    (-10 - 5i)(-6 + 3i) = (-10)(-6) + (-10)(3i) + (-5i)(-6) + (-5i)(3i).
    \]
    \[
    = 60 - 30i + 30i - 15i^2 = 60 - 15(-1) = 60 + 15 = 75.
    \]
    Donc :
    \[
    k = \frac{75}{45} = \frac{5}{3}.
    \]

    \item \textbf{Argument de $k$}
    
    Comme $k = \frac{5}{3}$ est un nombre réel strictement positif, son argument est :
    \[
    \text{Arg}(k) = 0.
    \]

    \item \textbf{Interprétation}
    
    La valeur de $k$ montre que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, ce qui signifie que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
\end{enumerate}

\end{document}
