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\title{Exercice sur les Nombres Complexes}
\author{}
\date{}

\begin{document}

\maketitle

\section*{Énoncé}

Soit $A$, $B$ et $C$ trois points d'affixes respectives :
\[
    z_A = 9 + 2i, \quad z_B = 3 - i, \quad z_C = -1 - 3i.
\]

\begin{enumerate}
    \item Déterminer la forme algébrique de \( k = \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \).
    \item En déduire un argument de $k$.
    \item Que peut-on en déduire ?
\end{enumerate}

\section*{Correction}

\begin{enumerate}
    \item \textbf{Forme algébrique de \( k \)}
    \[
    z_C - z_A = (-1 - 3i) - (9 + 2i) = -10 - 5i.
    \]
    \[
    z_B - z_A = (3 - i) - (9 + 2i) = -6 - 3i.
    \]
    \[
    k = \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \frac{-10 - 5i}{-6 - 3i}.
    \]
    
    On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué de $-6 - 3i$ :
    \[
    k = \frac{(-10 - 5i)(-6 + 3i)}{(-6 - 3i)(-6 + 3i)}.
    \]
    \[
    (-6 - 3i)(-6 + 3i) = 36 + 9 = 45.
    \]
    \[
    (-10 - 5i)(-6 + 3i) = 60 - 30i + 30i - 15 = 60 + 15i.
    \]
    \[
    k = \frac{60 + 15i}{45} = \frac{60}{45} + \frac{15i}{45} = \frac{4}{3} + \frac{1}{3}i.
    \]

    \item \textbf{Argument de $k$}
    
    La forme algébrique de $k$ est $k = \frac{4}{3} + \frac{1}{3}i$. On détermine son argument :
    \[
    \tan(\theta) = \frac{\text{Im}(k)}{\text{Re}(k)} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{1}{4}.
    \]
    Ainsi, $\theta = \arctan\left(\frac{1}{4}\right)$.

    \item \textbf{Interprétation}
    
    La valeur de $k$ correspond au rapport des longueurs des segments pondéré par une rotation. L'argument de $k$ indique l'angle de rotation entre les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$. Cela montre que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés car l'argument de $k$ n'est pas nul.
\end{enumerate}

\end{document}
