Suites de Beatty différenciées

Une suite de Beatty est associée à un nombre r irrationnel. Le terme d'indice 0 est supposé non défini, et le terme d'indice n s'obtient en

Alors la suite de Beatty associée à r est une suite d'entiers. Dans la suite (!) on considérera la suite des différences entre ces entiers (ou suite de Beatty différenciée). Si r est supérieur à 1, ces entiers (les différences) sont les hauteurs des marches de l'escalier qui, selon l'algorithme de Bresenham, approche la droite d'équation y=r×x.

Essayer dans la figure ci-dessous, de rendre r supérieur à 1 (en glissant le point bleu vers le haut, pour voir que les marches d'escalier n'ont que deux hauteurs possibles :

Pavages apériodiques

Méthode de Jarkko Kari

Kari a choisi comme multiplicateurs les nombres 2 et 2/3. Il les a combinés en une fonction ƒ définie sur [1/3,2] par

Le calcul effectué par le pavage revient alors à itérer cette fonction, soit à simuler un système dynamique qui n'a pas de périodes. Ce qui illustre que le pavage est apériodique. Les cas où on multiplie par 2 fournissent 4 pavés, alors que les cas où on multiplie par 2/3 en fournissent 10. Ce qui donne un ensemble de 14 pavés fournissant un pavage apériodique du plan.

On peut vérifier sur le diagramme en toile d'araignée, que le système dynamique de Kari est chaotique :

Méthode de Karel Culik

Son collègue Culik a décidé d'utiliser la fonction suivante :

Ce qui lui a donné un ensemble de 8 pavés pour la multiplication par 3, plus 5 pavés pour la division par 2 (dont l'automate de Mealy est décrit ci-dessus), soit 13 pavés seulement. Mais par la suite, Kari a découvert que parmi ses 14 pavés, il y en avait un qui ne servait jamais. Les deux constructions sont donc des pavages apériodiques à 13 pavés.

Là encore, la fonction est chaotique :

Stanley Eigen, Jorge Navarro et Vidhu S. Prasad

Eigen et al ont proposé en 2007 une variante avec la fonction

, tout aussi chaotique que la version de Kari, qui donne aussi 13 pavages, mais avec plus de simplicité dans les démonstrations d'apériodicité et de pavage de tout le plan.